【正文】 直線倒立擺系統(tǒng)的 LQR 控制器設(shè)計及仿真 摘 要 倒立擺系統(tǒng)是非線形、強(qiáng)耦合、多變量和自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)。在控制過程中能反映控制理論中的許多關(guān)鍵問題，如鎮(zhèn)定問題、非線性問題、魯棒性問題以及跟蹤問題等。不僅是驗證現(xiàn)代控制理論方法的典型實驗裝置，而且其控制方法和思路對處理一般工業(yè)過程亦有廣泛的用途，因此對倒立擺系統(tǒng)的研究具有重要的理論研究和實際應(yīng)用價值。本文以固高公司直線倒立擺為研究對象，利用 Newton 法建立直線一級倒立擺的動力學(xué)模型。先對系統(tǒng)狀態(tài)方程進(jìn)行能控性和能觀性分析，之后借助固高科技 Matlab 實時控制軟件實驗平臺，設(shè)計 LQR控制器，并利用 LQR 控制方法對直線一級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了 Simulink 在線實時仿真實驗，并對實驗結(jié)果分析，調(diào)節(jié) LQR 參數(shù)，使之達(dá)到最佳穩(wěn)定調(diào)節(jié)狀態(tài)，通過在線對系統(tǒng)施加一定的擾動，系統(tǒng)均能在很短的時間里恢復(fù)平衡，取得了較好的實時控制效果。 關(guān)鍵詞： 直線倒立擺；建模；穩(wěn)定性； LQR；仿真 ABSTRACT Inverted pendulum system is nonlinear, strongly coupled, multivariable and naturally instable. In the control process this system can reflect some key problems of control theory, such as stabilization problem, nonlinear problems, robustness, and tracking problem. It’s a typically experimental facility which can verify the methods of modern control theory, moreover the control methods and thoughts play an important role in dealing with the general industrial process. So the studies of inverted pendulum system are theoretically and practically valued. Googol pany linear inverted pendulum, Newton39。s method to create a straight line an inverted pendulum dynamic model using the Lagrange equation deduced straight line double inverted pendulum mathematical model of analytical mechanics methods. This thesis adopts Googol pany linear inverted pendulum as the study object,. First controllability and observability analysis of system state equation should be analyzed, afterwards, with the Googol hightech Matlab realtime control software experimental platform, LQR controller can be designed and LQR control method can conduct online realtime simulation experiment on straight line, double inverted pendulum Simulink, analyze results of experiment and adjust LQR parameters so as to achieve the best stability and regulation state. Some certain disturbance online imposed on the system enables it to restore the balance in a very short time, and achieve very good realtime control effects. Keywords： linear inverted pendulum。 modeling； stability； LQR； Simulation 目 錄 第一章 緒 論 ............................................................................. 1 倒立擺系統(tǒng)概述 .................................................................... 1 倒立擺系統(tǒng)發(fā)展及研究現(xiàn)狀 ................................................. 4 本文的主要研究內(nèi)容與章節(jié)安排 ......................................... 7 第二章 直線倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立 ................................. 9 直線一級倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 ........................................... 9 直線一級倒立擺系統(tǒng)能控性與能觀性分析 ...................... 15 本章小結(jié) ........................................................................... 177 第三章 直線倒立擺系統(tǒng) LQR 控制器設(shè)計與仿真 ........... 188 線性二次最優(yōu)控制 LQR 基本原理及分析 ....................... 188 直線一級倒立擺系統(tǒng) LQR 控制器設(shè)計與仿真 ............... 199 本章小結(jié) .............................................................................. 23 第四章 直線倒立擺的實物穩(wěn)定控制 .................................... 24 直線一級倒立擺 LQR 實物穩(wěn)定控制 ................................. 24 本章小結(jié) ............................................................................ 299 結(jié)論與展望 ............................................................................... 300 附 錄 ........................................................................................ 311 參考文獻(xiàn) .................................................................................... 332 致 謝 ........................................................................................ 334 1 第一章 緒 論 倒立擺系統(tǒng)概述 倒立擺控制系統(tǒng)是一個復(fù)雜的、高階次、多變量、不穩(wěn)定的、非線性并強(qiáng)耦合系統(tǒng)。特點是重心在上、支點在下，正是這個特點使 倒立擺是控制理論、機(jī)器人技術(shù)、計算機(jī)控制等多種技術(shù)、多個領(lǐng)域的有機(jī)結(jié)合，可以作為一個典型的控制對象對其進(jìn)行研究。 倒立擺分類 倒立擺系統(tǒng)開始為單級直線形式，即僅有的一級擺桿其一端自由，另一端則連接在可以在直線導(dǎo)軌上自由滑動的小車上。在此基礎(chǔ)上，人們又進(jìn)行了拓展，產(chǎn)生了多種類型的倒立擺。典型的有直線倒立擺，平面倒立擺，環(huán)形倒立擺和復(fù)合倒立擺等， 倒立擺系統(tǒng)是在運(yùn)動模塊上裝有倒立擺裝置，正由于在相同的運(yùn)動模塊上可以配置不同的倒立擺，所以倒立擺的種類豐富 許多，按倒立擺的結(jié)構(gòu)來分，有以下類型的倒立擺： (1) 直線倒立擺系列 直線倒立擺是在直線運(yùn)動模塊上有擺體組件，直線運(yùn)動模塊具有一個自由度，小車可以沿導(dǎo)軌水平運(yùn)動，在小車上裝載不同的擺體組件，可以組成很多類別的倒立擺，直線柔性倒立擺和一般直線倒立擺的不同之處在于，柔性倒立擺有兩個可以沿導(dǎo)軌滑動的小車，并且在主動小車和從動小車之間增加了一個彈簧，作為柔性關(guān)節(jié)。直線倒立擺系列產(chǎn)品如圖 11 所示。 (2) 環(huán)形倒立擺系列 環(huán)形倒立擺是在圓周運(yùn)動模塊上裝有擺體組件，圓周運(yùn)動模塊有一個自由度，可以圍繞齒輪中心做圓周運(yùn) 動，在運(yùn)動手臂末端裝有擺體組件，根據(jù)擺體組件的級數(shù)和串連或并聯(lián)的方式，可以組成很多形式的倒立擺。如圖 12 所示。 (3) 平面倒立擺系列 平面倒立擺是在可以做平面運(yùn)動的運(yùn)動模塊上裝有擺桿組件，平面運(yùn)動模塊主要有兩類：一類是 XY 運(yùn)動平臺，另一類是兩自由度 SCARA 機(jī)械臂；擺體組件也有一級、二級、三級和四級很多種。如圖 14 所示 (4) 復(fù)合倒立擺系列 復(fù)合倒立擺為一類新型倒立擺如圖 13 所示，由運(yùn)動本體和擺桿組件組成，其運(yùn)動本體可以很方便的調(diào)整成三種模式，一種是（ 2）中所述的環(huán)形倒立擺，還可以把本體 翻轉(zhuǎn) 90 度，連桿豎直向下和豎直向上組成托擺和頂擺兩種形式 2 的倒立擺。 按倒立擺的級數(shù)來分：有一級倒立擺、兩級倒立擺、三級倒立擺和四級倒立擺，一級倒立擺常用于控制理論的基礎(chǔ)實驗，多級倒立擺常用于控制算法的研究，倒立擺的級數(shù)越高，其控制難度更大，目前，可以實現(xiàn)的倒立擺控制最高為四級倒立擺。 圖 11 直線倒立擺系列 圖 12 環(huán)形倒立擺系列 圖 13 復(fù)合倒立擺系列 3 圖 14 平面倒立擺系列 倒立擺特性 倒立擺的形式和結(jié)構(gòu)盡管不同，但卻都具有相同的特性。 (1) 非線性 倒立擺雖 是一個典型的非線性復(fù)雜系統(tǒng)。但實際可以通過線性化得到系統(tǒng)的近似模型，對線性化之后的系統(tǒng)進(jìn)行控制，也可以不采用線性化處理，利用非線性控制理論直接對其進(jìn)行控制，由此倒立擺的非線性控制正成為一個研究的熱點。 (2) 不確定性 造成不確定性的因素主要是指模型誤差、機(jī)械傳動間隙和各種阻力等。實際控制中必修通過減少各種誤差來解決問題，如通過施加預(yù)緊力減少皮帶或齒輪的傳動誤差，或利用滾珠軸承減少摩擦阻力等不確定性因素。 (3) 強(qiáng)耦合性 倒立擺的各級擺桿之間，以及擺桿和運(yùn)動模塊之間都有很強(qiáng)的耦合關(guān)系，在倒立擺的控制中一般 都得先在平衡點附近進(jìn)行解耦計算，次要的耦合量就可以忽略。 (4) 開環(huán)不穩(wěn)定性 倒立擺的穩(wěn)定狀態(tài)只有兩個，即垂直向上的狀態(tài)和垂直向下的狀態(tài)，其中垂直向上為絕對不穩(wěn)定的平衡點，垂直向下為穩(wěn)定的平衡點。 (5) 約束限制 倒立擺系統(tǒng)的約束限制