直線倒立擺系統(tǒng)的lqr控制器設(shè)計(jì)及仿真_畢業(yè)設(shè)計(jì)(編輯修改稿)
2024-10-03 07:32 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖 21 所示。 我們不妨做如下表 21 假設(shè)： 表 21 直線一級(jí)倒立擺相關(guān)假設(shè)量 字母 代表的對(duì)象 M 小車質(zhì)量 m 擺桿質(zhì)量 b 小車摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 I 擺桿慣量 F 加在小車上的力 x 小車的位置 10 圖 21 直線一級(jí)倒立擺模型 ? 擺桿與垂直向上方向的夾角 ? 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下） 圖 22 是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中， N 和 P 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。 注意：在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測(cè)和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義 如 圖 22 示方向。 圖 22 矢量正方向 根據(jù) 小車水平方向受的合力，可以列出以下方程： NxbFxM ??? ? （ 21） F P N F x x? xb? P ? mg N X F ? 擺桿 l 11 根據(jù)擺桿水平方向的受力情況可以得到下面的等式： )s in(22 ?lxdtdmN ?? （ 22） 即： ???? s inc os 2????? mlmlxmN ??? （ 23） 把式（ 23）代入式（ 21）中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： FmlmlxbxmM ????? ???? s i nc o s)( 2?????? （ 24） 為了推導(dǎo)系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： )co s(22 ?ldtdmmgP ?? （ 25） ???? c o ss in 2??? mlmlmgP ???? （ 26） 力矩平衡方程如下： ??? ??INlPl ??? c oss in （ 27） 注意：此方程中力矩的方向，由于 ,s ins in,c osc os, ??????? ??????故等式前面有負(fù)號(hào)。 合并這兩個(gè)方程，約去 P 和 N，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： ??? c o ss in)( 2 xmlm g lmlI ???? ???? （ 28） 設(shè) ??? ?? （ 是擺桿與垂直向上方向之間的夾角 ），假設(shè) ? 與 1（單位是弧度）相比很小，即 ? 1，即可以進(jìn)行近似處理： 0)(,s in,1c o s 2 ???? dtd ???? 。 用 u 來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力 F，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下： ??? ???? ??? umlxbxmM xmlm g lmlI ??? ????? ????)( )( 2 （ 29） 對(duì)式（ 29）進(jìn)行拉普拉斯變換，得到 ??? ???? ??? )()()()()( )()()()(22222sUssmlssbXssXmM ssml Xsmg lssmlI ??? （ 210） 注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為 0. 由于輸出為角度 ? ，求 解方程組的第一個(gè)方程，可以得到： 12 )(])([)(22 ssgmlmlIsX ???? （ 211） 或 m glsmlI m l ssX s ??? 222)()( )(? （ 212） 如果令 xv ?? ，則有： m g lmlI mlSV s s)()( )( 22??? （ 213） 把式（ 213）代入式（ 210）的第二個(gè)方程，得到： )()()()()()()( 22222 sUssmlsssgml mlIbsssgml mlImM ???????? ????????? ??? ???（ 214） 整理后得到傳遞函數(shù)： sqb m g lsq m g lmMsq mlIbssqmlsUs??????23242)()()()(? （ 215） 其中 ])())([( 22 mlmlImMq ???? 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為： DCXy BuAXX ?? ??? （ 216） 方程組對(duì) ???,x 解代數(shù)方程，得到解如下： ??????????????????????????????????uM mlmMImlM mlmMImMmg lxM mlmMIml buM mlmMImlIM mlmMIglmxM mlmMIbmlIxxx2222222222)()()()()()()()()(???????????????（ 217） 整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)方程： 13 uM m lmMImlM m lmMImlIxxM m lmMImMmglM m lmMIm l bM m lmMIglmM m lmMIbmlIxx???????????????????????????????????????????????????????????????????????????2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010????????????uxxxy?????????????????????????????????0001000001????? （ 218） 由（ 29）的第一個(gè)方程為： xmlm g lmlI ????? ?? 22 )( 對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺桿有： 231mlI? 于是可以得到： xmlmg lmlml ???? ??? ??)31( 22 化簡(jiǎn)得到： xllg ???? 4343 ?? ?? （ 219） 設(shè) ? ? xuxxX ???? ??? , ?? 則有： uxxxyulxxlgxx?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????00010000014301004300100000000010????????????????? （ 220） 另外，也可以利用 Matlab 中 tf2ss 命令對(duì)（ 213）式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求的上訴狀態(tài)方程。 14 實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下表 22 所示： 表 22 直線一級(jí)倒立擺模型相關(guān)參數(shù) 字母 代表的對(duì)象 實(shí)際數(shù)據(jù) M 小車質(zhì)量 m 擺桿質(zhì)量 b 小車摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 I 擺桿慣量 *m*m 把表 22 中的參數(shù)代入，可以得到系統(tǒng)的實(shí)際模型。 擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)： 2 67 10 21 0 27 )( )( 22?? s ssX s? （ 24） 擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為： )( )( 2 ?? ssV s? （ 225） 擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)： 3 0 9 4 1 6 8 8 3 1 6 3 5 6 5 )( )( 23 ???? sss ssU s? （ 226） 以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： uxxxyuxxxx?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????00010000013 5 6 5 08 8 3 1 6 008 2 8 3 5 6 5 100006 2 9 3 1 8 8 3 1 6 0010????????????????? （ 227） 以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： 15 uxxxyuxxxx?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????00010000013010100000000010????????????????? （ 228） 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)能控性與能觀性分析 能控性與能觀性是現(xiàn)代控制理論中兩個(gè)重要的基本概念，它是卡爾曼在1960 年首先提出來(lái)的。在現(xiàn)代控制理論中，分析和設(shè)計(jì)一個(gè)控制系統(tǒng)時(shí)，必修研究這個(gè)系統(tǒng)的能空性和能觀性。 狀態(tài)方程描述了輸入 u（ t）引起狀態(tài) x（ t）的變化過(guò)程；輸出方程則描述了由狀態(tài)
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