單軸倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)及matlab仿真畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-07-24 13:34 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ｍ 擺桿質(zhì)量 ｂ 小車摩擦力 ?。臁 [桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度 ?。椤 [桿質(zhì)量 *m*m ?。啤 〖釉谛≤嚿系牧Α 。 ⌒≤囄恢谩 [桿與垂直方向的夾角圖2－2是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，Ｎ和Ｐ為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向己經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖，圖示方向?yàn)槭噶空较颉? 圖2－2 倒立擺受力分析應(yīng)用Newton方法來建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程過程如下：分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式： 把這個(gè)等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： 21為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： 力矩平衡方程如下：注意：此方程中力矩的方向，由于故等式前面有負(fù)號(hào)。合并這兩個(gè)方程，約去Ｐ和Ｎ，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： 22假定＝（是擺桿與垂直向上方向之間的一個(gè)很小的夾角），則可以進(jìn)行近似處理：。用ｕ來代表被控對(duì)象的輸入力Ｆ，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下： 23對(duì)方程組23進(jìn)行拉普拉斯變換，得到 24注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為0。由于輸出為角度，求解方程組24的第一個(gè)方程，可以得到把上式代入方程組24的第二個(gè)方程，得到整理后得到傳遞函數(shù)：其中 在Matlab中，拉普拉斯變換后得到的傳遞函數(shù)可以通過計(jì)算并輸入分子和分母矩陣來實(shí)現(xiàn)。求系統(tǒng)傳遞函數(shù)的ｍ文件內(nèi)容如下： M=。m=。b=。i=。g=。l=。q=(M+m)*(i+m*l^2)(m*l)^2。 %simplifies inputnum=[m*l/q 0]den=[1 b*(i+m*l^2)/q (M+m)*m*g*l/q b*m*g*l/q]執(zhí)行上面的文件，就可以求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子與分母多項(xiàng)式的Matlab表示?！um = 0den = 更進(jìn)一步，給小車施加一個(gè)脈沖推力，要得到系統(tǒng)的開環(huán)脈沖響應(yīng)，可以在上面的ｍ文件后加上幾行：t=0::5。impulse(num,den,t)axis([0 1 0 60])可以得到系統(tǒng)開環(huán)脈沖響應(yīng)的曲線如下： 圖2－3 系統(tǒng)開環(huán)脈沖響應(yīng)曲線圖 如上圖所示，可以看出系統(tǒng)的開環(huán)是不穩(wěn)定的。第三章 倒立擺系統(tǒng)控制算法的根軌跡法設(shè)計(jì)用根軌跡法設(shè)計(jì)控制器，使得當(dāng)在小車上施加1N的脈沖信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：1. 擺桿穩(wěn)定時(shí)間小于5秒2. 被控對(duì)象的傳遞函數(shù)是其中 代入?yún)?shù)，解出傳遞函數(shù)為 給系統(tǒng)施加脈沖擾動(dòng)，輸出量為擺桿位置時(shí)，系統(tǒng)框圖如下：圖 3－1 系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)框圖考慮到輸入r(s)=0，結(jié)構(gòu)圖可以很容易的變換成該系統(tǒng)的輸出為 其中，num—被控對(duì)象傳遞函數(shù)的分子項(xiàng) den—被控對(duì)象傳遞函數(shù)的分母項(xiàng) numlead和denlead—控制器超前環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的分子項(xiàng) numlag和denlag—控制器滯后環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的分子項(xiàng)和分母項(xiàng) k—控制器增益閉環(huán)傳遞函數(shù)可以由Matlab程序求出，在這里，我們首先來畫出引入控制器前系統(tǒng)的根軌跡。根軌跡圖如下，可以看出閉環(huán)傳遞函數(shù)的一個(gè)極點(diǎn)位于右半平面，并且有一條根軌跡起始于該極點(diǎn)，并沿著實(shí)軸向左跑到位于原點(diǎn)的零點(diǎn)處，這意味著無論增益如何變化，這條根軌跡總是位于右半平面，即系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。圖3－2 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)根軌跡圖為了解決這個(gè)問題，我們在原點(diǎn)處增加一個(gè)額外的極點(diǎn)，使得原點(diǎn)處的零極點(diǎn)對(duì)消掉，可以繪出新的根軌跡。根軌跡如下圖圖3－3 原點(diǎn)處增加額外極點(diǎn)的系統(tǒng)根軌跡圖增加一個(gè)位于原點(diǎn)的極點(diǎn)后系統(tǒng)共有一個(gè)零點(diǎn)，四個(gè)極點(diǎn)，分別為零點(diǎn) 0極點(diǎn) 0 這說明有三根漸近線，一根在負(fù)實(shí)軸方向上，另外兩根與第一根夾角為120度。在上面這種情況下，有兩根根軌跡永遠(yuǎn)不會(huì)到達(dá)左半平面，我們必須通過在控制器中增加一個(gè)零點(diǎn)來把漸近線的數(shù)目減少到2。但是如果只增加一個(gè)零點(diǎn)的話，漸近線的交點(diǎn)為[(++0+0)(0+0+)]/2,這意味著兩根漸近線離開實(shí)軸的位置是(1/2)，即使取得足夠?。俣拷c(diǎn)），跟軌跡處在左半平面的部分很少，很快就進(jìn)入右半平面了（），不能滿足設(shè)計(jì)要求。解決這個(gè)問題的方法是在左半平面再增加一個(gè)遠(yuǎn)離其他零極點(diǎn)的極點(diǎn)，為了保證漸近線的數(shù)目為2，同時(shí)再增加一個(gè)零點(diǎn)，要求其中極點(diǎn)相對(duì)較大而零點(diǎn)相對(duì)較小，具體數(shù)值沒有要求。經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)后可以得到一組零極點(diǎn)（不是唯一的），校正后系統(tǒng)的根軌跡如下圖圖3－4 增加額外零極點(diǎn)的系統(tǒng)根軌跡圖為了看到更清楚，改變坐標(biāo)軸使圖形放大：圖3－5 原點(diǎn)處放大后的根軌跡圖我們只要在根軌跡上選擇一對(duì)位于左半平面的共扼復(fù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根，就可以得到穩(wěn)定的系統(tǒng)。即用鼠標(biāo)在根軌跡上選擇一點(diǎn)，即可得到根據(jù)所選根求得的系統(tǒng)增益Ｋ，解出控制器的傳遞函數(shù)。校正后擺桿位置的脈沖擾動(dòng)的響應(yīng)曲線如下圖所示。大約在2秒處擺桿達(dá)到穩(wěn)定，可以看出系統(tǒng)響應(yīng)滿足指標(biāo)要求。圖3－6 根軌跡法控制的擺桿位置的脈沖擾動(dòng)響應(yīng)前面討論的輸出量只考慮了擺桿位置，小車位置響應(yīng)的推導(dǎo)如下：改進(jìn)的小車位置系統(tǒng)框圖如下圖： 小車位置輸出為其中，，分別是被控對(duì)象1（擺桿）和被控對(duì)象2（小車）傳遞函數(shù)的分子和分母。可以看出，Ｘ和Ｆ之間的傳遞函數(shù)可以簡化成：根據(jù)位置的傳遞函數(shù)和控制器傳遞函數(shù)可以求出小車位移。擺桿角度和小車位移的響應(yīng)曲線如下：圖3－7 擺桿位置和小車位移的響應(yīng)曲線圖 由圖3－7可以看出，擺桿穩(wěn)定時(shí)間小于5秒，達(dá)到了系統(tǒng)的性能指標(biāo)，而對(duì)于小車的位置并未加以控制。 第四章 倒立擺系統(tǒng)控制算法的頻率響應(yīng)法設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)要求用頻率響應(yīng)法設(shè)計(jì)控制器，使得當(dāng)在小車上施加1Ｎ的脈沖信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：1. 擺桿穩(wěn)定時(shí)間小于5秒2. 理論分析被控對(duì)象的傳遞函數(shù)是 其中 代入?yún)?shù)，解出傳遞函數(shù)為 現(xiàn)在，我們可以用Nyquist圖來設(shè)計(jì)倒立擺系統(tǒng)的控制器（因?yàn)橄到y(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，不能使用波特圖法）。引入控制器后系統(tǒng)的方框圖如下： 校正前系統(tǒng)的零極點(diǎn)為零點(diǎn) 0 0
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