單軸倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計及matlab仿真畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-24 13:34 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ｍ 擺桿質(zhì)量 ｂ 小車摩擦力 ?。臁 [桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 ?。椤 [桿質(zhì)量 *m*m Ｆ 加在小車上的力 ?。 ⌒≤囄恢谩 [桿與垂直方向的夾角圖2－2是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，Ｎ和Ｐ為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向己經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖，圖示方向為矢量正方向。 圖2－2 倒立擺受力分析應用Newton方法來建立系統(tǒng)的動力學方程過程如下：分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式： 把這個等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程： 21為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程： 力矩平衡方程如下：注意：此方程中力矩的方向，由于故等式前面有負號。合并這兩個方程，約去Ｐ和Ｎ，得到第二個運動方程： 22假定＝（是擺桿與垂直向上方向之間的一個很小的夾角），則可以進行近似處理：。用ｕ來代表被控對象的輸入力Ｆ，線性化后兩個運動方程如下： 23對方程組23進行拉普拉斯變換，得到 24注意：推導傳遞函數(shù)時假設(shè)初始條件為0。由于輸出為角度，求解方程組24的第一個方程，可以得到把上式代入方程組24的第二個方程，得到整理后得到傳遞函數(shù)：其中 在Matlab中，拉普拉斯變換后得到的傳遞函數(shù)可以通過計算并輸入分子和分母矩陣來實現(xiàn)。求系統(tǒng)傳遞函數(shù)的ｍ文件內(nèi)容如下： M=。m=。b=。i=。g=。l=。q=(M+m)*(i+m*l^2)(m*l)^2。 %simplifies inputnum=[m*l/q 0]den=[1 b*(i+m*l^2)/q (M+m)*m*g*l/q b*m*g*l/q]執(zhí)行上面的文件，就可以求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子與分母多項式的Matlab表示?！um = 0den = 更進一步，給小車施加一個脈沖推力，要得到系統(tǒng)的開環(huán)脈沖響應，可以在上面的ｍ文件后加上幾行：t=0::5。impulse(num,den,t)axis([0 1 0 60])可以得到系統(tǒng)開環(huán)脈沖響應的曲線如下： 圖2－3 系統(tǒng)開環(huán)脈沖響應曲線圖 如上圖所示，可以看出系統(tǒng)的開環(huán)是不穩(wěn)定的。第三章 倒立擺系統(tǒng)控制算法的根軌跡法設(shè)計用根軌跡法設(shè)計控制器，使得當在小車上施加1N的脈沖信號時，閉環(huán)系統(tǒng)的響應指標為：1. 擺桿穩(wěn)定時間小于5秒2. 被控對象的傳遞函數(shù)是其中 代入?yún)?shù)，解出傳遞函數(shù)為 給系統(tǒng)施加脈沖擾動，輸出量為擺桿位置時，系統(tǒng)框圖如下：圖 3－1 系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)框圖考慮到輸入r(s)=0，結(jié)構(gòu)圖可以很容易的變換成該系統(tǒng)的輸出為 其中，num—被控對象傳遞函數(shù)的分子項 den—被控對象傳遞函數(shù)的分母項 numlead和denlead—控制器超前環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的分子項 numlag和denlag—控制器滯后環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的分子項和分母項 k—控制器增益閉環(huán)傳遞函數(shù)可以由Matlab程序求出，在這里，我們首先來畫出引入控制器前系統(tǒng)的根軌跡。根軌跡圖如下，可以看出閉環(huán)傳遞函數(shù)的一個極點位于右半平面，并且有一條根軌跡起始于該極點，并沿著實軸向左跑到位于原點的零點處，這意味著無論增益如何變化，這條根軌跡總是位于右半平面，即系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。圖3－2 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)根軌跡圖為了解決這個問題，我們在原點處增加一個額外的極點，使得原點處的零極點對消掉，可以繪出新的根軌跡。根軌跡如下圖圖3－3 原點處增加額外極點的系統(tǒng)根軌跡圖增加一個位于原點的極點后系統(tǒng)共有一個零點，四個極點，分別為零點 0極點 0 這說明有三根漸近線，一根在負實軸方向上，另外兩根與第一根夾角為120度。在上面這種情況下，有兩根根軌跡永遠不會到達左半平面，我們必須通過在控制器中增加一個零點來把漸近線的數(shù)目減少到2。但是如果只增加一個零點的話，漸近線的交點為[(++0+0)(0+0+)]/2,這意味著兩根漸近線離開實軸的位置是(1/2)，即使取得足夠?。俣拷c），跟軌跡處在左半平面的部分很少，很快就進入右半平面了（），不能滿足設(shè)計要求。解決這個問題的方法是在左半平面再增加一個遠離其他零極點的極點，為了保證漸近線的數(shù)目為2，同時再增加一個零點，要求其中極點相對較大而零點相對較小，具體數(shù)值沒有要求。經(jīng)過多次實驗后可以得到一組零極點（不是唯一的），校正后系統(tǒng)的根軌跡如下圖圖3－4 增加額外零極點的系統(tǒng)根軌跡圖為了看到更清楚，改變坐標軸使圖形放大：圖3－5 原點處放大后的根軌跡圖我們只要在根軌跡上選擇一對位于左半平面的共扼復根和一個負實根，就可以得到穩(wěn)定的系統(tǒng)。即用鼠標在根軌跡上選擇一點，即可得到根據(jù)所選根求得的系統(tǒng)增益Ｋ，解出控制器的傳遞函數(shù)。校正后擺桿位置的脈沖擾動的響應曲線如下圖所示。大約在2秒處擺桿達到穩(wěn)定，可以看出系統(tǒng)響應滿足指標要求。圖3－6 根軌跡法控制的擺桿位置的脈沖擾動響應前面討論的輸出量只考慮了擺桿位置，小車位置響應的推導如下：改進的小車位置系統(tǒng)框圖如下圖： 小車位置輸出為其中，，分別是被控對象1（擺桿）和被控對象2（小車）傳遞函數(shù)的分子和分母。可以看出，Ｘ和Ｆ之間的傳遞函數(shù)可以簡化成：根據(jù)位置的傳遞函數(shù)和控制器傳遞函數(shù)可以求出小車位移。擺桿角度和小車位移的響應曲線如下：圖3－7 擺桿位置和小車位移的響應曲線圖 由圖3－7可以看出，擺桿穩(wěn)定時間小于5秒，達到了系統(tǒng)的性能指標，而對于小車的位置并未加以控制。 第四章 倒立擺系統(tǒng)控制算法的頻率響應法設(shè)計 設(shè)計要求用頻率響應法設(shè)計控制器，使得當在小車上施加1Ｎ的脈沖信號時，閉環(huán)系統(tǒng)的響應指標為：1. 擺桿穩(wěn)定時間小于5秒2. 理論分析被控對象的傳遞函數(shù)是 其中 代入?yún)?shù)，解出傳遞函數(shù)為 現(xiàn)在，我們可以用Nyquist圖來設(shè)計倒立擺系統(tǒng)的控制器（因為系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，不能使用波特圖法）。引入控制器后系統(tǒng)的方框圖如下： 校正前系統(tǒng)的零極點為零點 0 0
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