【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ri等人使用了兩個(gè)控制器的控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺控制。其中一個(gè)控制器用來(lái)實(shí)現(xiàn)倒立擺的自動(dòng)起擺的功能，另一個(gè)用來(lái)控制倒立擺的穩(wěn)定。1996年，TorresPomales利用滑膜控制結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了一個(gè)簡(jiǎn)單的滑膜控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)倒立擺的起擺。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于倒立擺起擺問(wèn)題的控制方法有很多種，主要包括能量控制、擬人控制等。 本文的主要研究?jī)?nèi)容與章節(jié)安排本文以固高公司直線倒立擺為研究對(duì)象，利用Newton法建立直線一級(jí)倒立擺的動(dòng)力學(xué)模型。先對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)方程進(jìn)行能控性和能觀性分析，之后借助固高科技Matlab實(shí)時(shí)控制軟件實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，設(shè)計(jì)LQR控制器，并利用LQR控制方法對(duì)直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了Simulink在線實(shí)時(shí)仿真實(shí)驗(yàn)，并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析，調(diào)節(jié)LQR參數(shù)，使之達(dá)到最佳穩(wěn)定調(diào)節(jié)狀態(tài)，通過(guò)在線對(duì)系統(tǒng)施加一定的擾動(dòng)，系統(tǒng)均能在很短的時(shí)間里恢復(fù)平衡，取得了較好的實(shí)時(shí)控制效果。本文圍繞直線一級(jí)倒立擺的動(dòng)力學(xué)建模、控制算法設(shè)計(jì)、仿真和實(shí)驗(yàn)等一系列工作展開(kāi)。具體如下：第一章為緒論，簡(jiǎn)單介紹倒立擺的分類(lèi)、特性、控制目標(biāo)等以及倒立擺系統(tǒng)發(fā)展及研究現(xiàn)狀。第二章應(yīng)用Newton法建立直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，推導(dǎo)該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，求出直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型及空間狀態(tài)方程模型，并進(jìn)一步對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性進(jìn)行分析，得出直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是線性不穩(wěn)定、完全能控、完全能觀系統(tǒng)結(jié)論。第三章簡(jiǎn)單介紹線性二次型最優(yōu)控制LQR控制原理，設(shè)計(jì)LQR控制器。借助固高M(jìn)atlab實(shí)時(shí)控制軟件，得出直線一級(jí)倒立擺LQR控制Simulink仿真圖，通過(guò)改變Simulink的LQR模塊及狀態(tài)空間模塊中的參數(shù)，觀察仿真，選取合適的控制參數(shù)從而得到最好的控制效果。第四章本章是介紹利用固高教學(xué)產(chǎn)品Matlab/Simulink實(shí)時(shí)控制軟件以及固高科技有限公司生產(chǎn)的直線一級(jí)倒立擺GLIP2001來(lái)驗(yàn)證第三章設(shè)計(jì)的LQR控制器是否成功，借助該軟件利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)直線一級(jí)倒立擺的實(shí)物系統(tǒng)的控制，給出實(shí)物系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)和受干擾時(shí)各狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線，以表明設(shè)計(jì)的控制器對(duì)實(shí)物系統(tǒng)的控制是否有效。第五章為總結(jié)與展望，對(duì)論文所做的工作進(jìn)行總結(jié)，指出進(jìn)一步工作的重點(diǎn)和方向。第二章 直線倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：實(shí)驗(yàn)建模和機(jī)理建模。實(shí)驗(yàn)建模就是通過(guò)在研究對(duì)象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號(hào)，激勵(lì)研究對(duì)象并通過(guò)傳感器檢測(cè)其可觀測(cè)的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入—輸出關(guān)系。這里面包括輸出信號(hào)的精確檢測(cè)、輸入信號(hào)的設(shè)計(jì)選取、數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容。機(jī)理建模就是在了解研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律基礎(chǔ)上，通過(guò)物理、化學(xué)的知識(shí)和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入—狀態(tài)關(guān)系。對(duì)于倒立擺系統(tǒng)，由于是不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一定的困難。但忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。本章將應(yīng)用Newton法建立直線一級(jí)倒立擺的動(dòng)力學(xué)模型，利用分析力學(xué)方法中的Lagrange方程推導(dǎo)直線二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型。 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車(chē)和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖 21 所示。我們不妨做如下表21假設(shè)：表21 直線一級(jí)倒立擺相關(guān)假設(shè)量字母代表的對(duì)象M小車(chē)質(zhì)量m擺桿質(zhì)量b小車(chē)摩擦系數(shù)l擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度I擺桿慣量F加在小車(chē)上的力x小車(chē)的位置XF擺桿l圖 21 直線一級(jí)倒立擺模型 擺桿與垂直向上方向的夾角 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）圖22是系統(tǒng)中小車(chē)和擺桿的受力分析圖。其中，N 和P 為小車(chē)與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測(cè)和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖22示方向。FPNFxPmgN圖22 矢量正方向根據(jù)小車(chē)水平方向受的合力，可以列出以下方程： （21）根據(jù)擺桿水平方向的受力情況可以得到下面的等式： （22）即： （23）把式（23）代入式（21）中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： （24）為了推導(dǎo)系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： （25） （26）力矩平衡方程如下： （27）注意：此方程中力矩的方向，由于故等式前面有負(fù)號(hào)。合并這兩個(gè)方程，約去P和N，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： （28）設(shè)（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè)與1（單位是弧度）相比很小，即1，即可以進(jìn)行近似處理：。用u來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力F，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下： （29） 對(duì)式（29）進(jìn)行拉普拉斯變換，得到 （210） 注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為0. 由于輸出為角度，求解方程組的第一個(gè)方程，可以得到： （211）或 （212）如果令，則有： （213）把式（213）代入式（210）的第二個(gè)方程，得到： （214）整理后得到傳遞函數(shù)： （215）其中 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為： （216）方程組對(duì)解代數(shù)方程，得到解如下：（217）整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)方程： （218）由（29）的第一個(gè)方程為：對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺桿有：于是可以得到：化簡(jiǎn)得到： （219）設(shè) 則有： （220）另外，也可以利用Matlab中tf2ss命令對(duì)（213）式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求的上訴狀態(tài)方程。實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下表22所示：表22 直線一級(jí)倒立擺模型相關(guān)參數(shù)字母代表的對(duì)象實(shí)際數(shù)據(jù)M小車(chē)質(zhì)量m擺桿質(zhì)量b小車(chē)摩擦系數(shù)l擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度I擺桿慣量*m*m把表22中的參數(shù)代入，可以得到系統(tǒng)的實(shí)際模型。擺桿角度和小車(chē)位移的傳遞函數(shù)： （224）擺桿角度和小車(chē)加速度之間的傳遞函數(shù)為： （225）擺桿角度和小車(chē)所受外界作用力的傳遞函數(shù)： （226）以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： （227）以小車(chē)加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： （228） 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)能控性與能觀性分析能控性與能觀性是現(xiàn)代控制理論中兩個(gè)重要的基本概念，它是卡爾曼在1960年首先提出來(lái)的。在現(xiàn)代控制理論中，分析和設(shè)計(jì)一個(gè)控制系統(tǒng)時(shí)，必修研究這個(gè)系統(tǒng)的能空性和能觀性。狀態(tài)方程描述了輸入u（t）引起狀態(tài)x（t）的變化過(guò)程；輸出方程則描述了由狀態(tài)變化引起的輸出y（t）的變化。能空性和能觀性正是分別分析u（t）對(duì)狀態(tài)x（t）的控制能力以及y（t）對(duì)狀態(tài)x（t）的反應(yīng)能力。顯然，這兩個(gè)概念是與狀態(tài)空間表達(dá)式對(duì)系統(tǒng)分段內(nèi)部描述相對(duì)應(yīng)的。設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中，x（t）——n維狀態(tài)向量 u（t）——r維輸入向量A（t）——n*n系統(tǒng)矩陣B（t）——n*r輸入矩陣（1）狀態(tài)的能控性是指系統(tǒng)的輸入能否控制狀態(tài)的變化。若存在輸入信號(hào)u（t），能在有限時(shí)間內(nèi)，將系統(tǒng)從任意非零初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)，那么，稱該系統(tǒng)的狀態(tài)在時(shí)刻是完全能控的，或簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是能控的。否則，系統(tǒng)就是不完全能控的，或簡(jiǎn)稱不能控。若系統(tǒng)在任意一個(gè)初始時(shí)刻是能控的，則稱系統(tǒng)是一致完全能控的。對(duì)于此倒立擺經(jīng)過(guò)上面的數(shù)學(xué)建模已經(jīng)得到：系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的條件為：當(dāng)且僅當(dāng)向量組是線性無(wú)關(guān)的，或n*n維矩陣的秩為n。系統(tǒng)的輸出可控性的條件為：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)闹鹊扔谳敵鱿蛄縴的維數(shù)。（2）狀態(tài)的能觀性是指系統(tǒng)狀態(tài)的變化能否由系統(tǒng)的輸出反應(yīng)出來(lái)。如果對(duì)初始時(shí)刻的任意初始狀態(tài)，在有限觀測(cè)時(shí)間，能夠根據(jù)輸出y（t）在內(nèi)的測(cè)量值，唯一的確定系統(tǒng)在時(shí)刻的