【文章內(nèi)容簡介】 遠的影響，魯棒控制這一術(shù)語也開始登上歷史舞臺。 1971 年 Davion 的論文中首次出現(xiàn)了魯棒控制理論的說法 [10]，而首先將魯棒控制寫進論文標題是從 1974 年 Pearson 等人開始的 [11]。綜上所述，魯棒控制能夠被推廣到現(xiàn)代控制理論研究的前沿，與任何一個時期的理論都是密切相關(guān)的。 Nyquist 判據(jù)在多變量系統(tǒng)中的推廣、 Youla 參數(shù)化方法和有理函數(shù)矩陣分解等基礎(chǔ)理論的進展直接影響著魯棒控制的發(fā)展。 發(fā)展到 20 世紀八十年代以后期，魯棒控制的研究引起了高度的重視，這是魯棒控制理論飛速發(fā)展的重要階段。尤其是 1981 年，魯棒 H? 控制理論框架基本形成，且提出了最優(yōu)靈敏度控制方法 [12]。 IEEE Transaction on Automatic Control 出版的題為《線性多變量控制系統(tǒng)》這個專輯中的論文強調(diào)將奇異值作為分析多變量系統(tǒng)頻域魯棒性的測度。同年， Doyle 和 Stein 提出了在頻域內(nèi)進行回路成形，使得控制系統(tǒng)設(shè)計過程中的許多性能指標，包括魯棒穩(wěn)定性問題都可以表達為特定閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣 H?的范數(shù)。在控制領(lǐng)域，這是一項重要的突破，現(xiàn)如今 H? 控制理論已經(jīng)成為魯棒控制理論的經(jīng)典工具。 簡單地說，魯棒控制處理的是具有不確定性的被控對象，包括模型參數(shù)變化 、外北華大學學士學位論文 4 部擾動、模型與實際系統(tǒng)差異和執(zhí)行器的誤差等等。魯棒控制方法是解決倒立擺這一復(fù)雜、不確定非線性對象的一種工具。雖然在倒立擺中還沒有充分展開魯棒控制算法的研究工作，但根據(jù)已有的一些研究成果進行推斷，面向不確定性的研究對象將成為魯棒控制領(lǐng)域不變的發(fā)展方向。將研究成果與實際應(yīng)用相結(jié)合，解決不確定系統(tǒng)的控制問題，是一項艱巨而復(fù)雜的工作。倒立擺是一個典型研究對象，它能夠有效的驗證控制理論的正確性和在實際應(yīng)用中的可行性，是理論研究和創(chuàng)新的試金石。將魯棒控制算法應(yīng)用到倒立擺控制系統(tǒng)研究的同時，反過來也驗證了魯棒控制算法 優(yōu)越性，最終使魯棒算法進一步的與實際應(yīng)用相結(jié)合。 ? 控制理論 任何的控制理論和方法，都要求控制對象的精確模型或要求對象模型的不確定性和外界干擾滿足特殊的假定。無論是經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論還是自適應(yīng)控制理論等，由于對象的不確定性和外界干擾往往不滿足特殊性的假設(shè)條件，導(dǎo)致在實際控制系統(tǒng)中，想要得到控制對象的精確模型非常困難，甚至不可實現(xiàn)。因而傳統(tǒng)控制理論與實際工程應(yīng)用之間的契合存在較大的差距。 總所周知， H? 控制理論是魯棒控制的一個重要分支。在 20 世紀六十年代，狀態(tài)空間方法長足發(fā)展，后來被稱為現(xiàn)代控制理論出現(xiàn)在文獻中，以 KalmanBucy 濾波器和最優(yōu)二次調(diào)節(jié)理論為基礎(chǔ)的 LQG 反饋設(shè)計 ( H? 控制 )方法相繼問世。通常在對系統(tǒng)干擾信號作苛刻的要求的同時忽略了對象的不確定性，使得一些寶貴的現(xiàn)代控制理論的成果，未能獲得較好的應(yīng)用于實際控制系統(tǒng)的設(shè)計中，例如 LQG 理論等。原因可歸結(jié)為兩個方面。首先是由于在系統(tǒng)模型具有不確定性時， LQG 設(shè)計就不能保證系統(tǒng)具有魯棒性，因此 它需要精確的數(shù)學模型；另外一方面是，在 LQG 設(shè)計中需要將干擾信號假定為白噪聲，或假定干擾信號的統(tǒng)計持續(xù)性已知，然而在實際問題中，干擾的統(tǒng)計特性已知的情況很少，且干擾信號也會隨著系統(tǒng)的運行而發(fā)生變化。由于上述原因，導(dǎo)致 LQG 設(shè)計方法在理論上做得相當成熟，卻不能有效的投入到實際應(yīng)用當中。 1981 年 Zames 提出了著名的 H? 控制思想，能夠有效解決 LQG 設(shè)計過程中干擾信號所需限制的不合理性。對于一個單輸入、輸出系統(tǒng)的設(shè)計：這類問題屬于一個特殊的干擾信號，存在于有限能量 的信號集中。目的是設(shè)計一個控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)具備工程特性，系統(tǒng)穩(wěn)定，并且外部干擾對系統(tǒng)期望輸出影響最小。有限輸入能到輸出能的最大增益可以用傳遞函數(shù)的 H? 范效來進行描述，所以對系統(tǒng)進行優(yōu)化設(shè)計的目標函數(shù)用影響傳遞函數(shù)的正細范數(shù)來表示，就可以將有限功率譜干擾對影響系統(tǒng)期望輸出的成都降到最低。綜上所述 H? 范數(shù)作為性能指標具備許多的優(yōu)點： (1)研究在有變功率譜干擾時，仍然可以處理系統(tǒng)的控制問題； (2) PQ P Q? ? ?? 稱為 H? 范數(shù)的乘法性質(zhì)，使得在具有不確定性因素時，研究對象的魯棒穩(wěn)定問題變得水到渠成。 北華大學學士學位論文 5 H? 控制理論的 發(fā)展過程是漫長的，可以系統(tǒng)的描述為三個階段。第一階段具有概念直觀的特點，不過缺乏科學的計算方法。 1981 年到 1984 年期間，逼近法和插值法是研究 H? 控制理論的主要使方法。逼近方法的基礎(chǔ)是 AAK 理論，雖然原理上較為復(fù)雜，但在算法上 已經(jīng)取得了一定的進展；插值方法通常使用的是 Nevanlinna—Pick插值理論，有時候也以矩陣形式的 Sarason 理論為基礎(chǔ)。通常所說的 “1984年方法 ”是當時 Doyle 和 Glover 等人在 Honeywell 公司的 H? 控制研討會上，對 H? 控制理論進行總結(jié)，從而形成的。 1985 年至 1988 年， H? 控制理論發(fā)展的第二階段是 H? 控制獲得成功突破的重要階段。在此期間發(fā)現(xiàn)許多控制問題都可統(tǒng)一于標準 H? 問題，包括靈敏度極小化問題、混合靈敏度優(yōu)化問題、兩自由度問題、濾波問題、魯棒鎮(zhèn)定問題、跟蹤問題和模型匹配問題等。 1987 年問世的研究 H? 控制的書 “acourseinH? controltheory”是 Francis 的得意之作，是第一部 H? 控制理 論專著。翌年，在全美控制年會上美國控制領(lǐng)域著名學者 Doyle 和英國學者 Glover 等發(fā)表了著名的 “2Riccati 方程 ”解法，這一成果的問世證明了 H? 控制問題可以通過求解兩個適當?shù)拇鷶?shù)黎卡提方程來得到。 1989 年以后， H? 控制理論發(fā)展進入了理論研究逐步完善和推廣的第三階段。在這段飛速發(fā)展的時期里，標準 H? 控制問題解法的研究成果層出不窮，有 Green 等的J 譜分解方 法、 H? 控制問題解法、 Kimura 的基于 ? ?,JJ? 無損分解理論以及微分對策方法、極大值原理方法等幾種純時域解法。此外，近年來應(yīng)用線性矩陣不等式 LMI方法求解 H? 控制問題在研究中也取得了成果。 H? 控制問題的純時域解法除了能夠解決系統(tǒng)的 H? 線性時不變問題，還可以用來處理非線性系統(tǒng)、 時變系統(tǒng)、奇異攝動系統(tǒng)、分布參數(shù)系統(tǒng)等的 H? 控制問題。作為魯棒控制理論中占有重要地位的一部分，H? 控制理論迄今為止已經(jīng)取得了豐富的研究成果，隨著科學技術(shù)和理論成果的不斷發(fā)展，在今后 H? 控制理論必將成為工程控制領(lǐng)域的研究熱點。 北華大學學士學位論文 6 第二章 預(yù)備知識 倒立擺控制系統(tǒng)概述 在多種控制理論與方法的研究和應(yīng)用中，特別是在工程實踐中，存在一種可行性的試驗問 題，將其理論和方法得到有效的經(jīng)驗，倒立擺裝置作為一個從控制理論通往實踐的橋梁，在自動控制理論中倒立擺裝置是各界學者公認的典型教學設(shè)備，是控制理論教學中具有代表性的被控科研對象，通過實施控制手段發(fā)揮控制系統(tǒng)的性能，可使之具有良好的穩(wěn)定性。想要解決控制中的理論問題，和將控制理論所涉及的三個基礎(chǔ)學科：力學、數(shù)學和電學（含計算機）有機的結(jié)合起來，可以通過對倒立擺系統(tǒng)的研究來實現(xiàn)，在倒立擺系統(tǒng)中進行綜合應(yīng)用。 在穩(wěn)定性控制問題上，倒立擺既具有普遍性又具有典型性。倒立擺系統(tǒng)是一個結(jié)構(gòu)簡單，價格低廉，方便控制的控制裝置， 便于模擬操作和數(shù)字實現(xiàn)很多種不同的控制方法，它是一個作為高階次、多變量，不穩(wěn)定、非線性、強耦合的被控對象的快速系統(tǒng)，在控制方面，只有采用行之有效的控制策略，才能使其穩(wěn)定。倒立擺系統(tǒng)可以用 PID、自適應(yīng)、狀態(tài)反饋、智能控制、模糊控制及人工神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)等多種理論和方法，來實現(xiàn)其穩(wěn)定控制，這些方法都能在倒立擺控制系統(tǒng)上得到實現(xiàn)，而且當一種新的控制理論和方法提出以后，在不能用理論加以嚴格證明的情況下，可以考慮通過倒立擺裝置來驗證這種新的控制理論的正確性和實用性。 倒立擺的種類有：懸掛式、直線、環(huán)形、平面倒立擺等。一 級、二級、三級、四級乃至多級倒立擺。 倒立擺控制系統(tǒng)由倒立擺本體、包括運動控制卡和 PC 機在內(nèi)的控制平臺和電控箱三大部分組成。 穩(wěn)定性理論概述 如今，廣泛的應(yīng)用于自動控制、生化反應(yīng)、生態(tài)生物、航空技術(shù)等工程技術(shù)和自然科學方面的穩(wěn)定性理論，是 19 世紀 80 年代俄國數(shù)學家 Lyapunov 創(chuàng)建的。他的概念和理念也發(fā)展得十分迅速，在當今社會已經(jīng)成為了控制領(lǐng)域的研究熱點。特別適合用于研究屬于 “力學中的數(shù)學方法 ”。 穩(wěn)定性的概念 由于系統(tǒng)的不同，初始值微分變化的影響也是不同的，我們假設(shè)如下 初始值問題 00, ( 0 ) x , 0 , 0dx a x x t xdt ? ? ? ? （ ） 它的解為 ? ? 0 atx t x e? ，其中 0x? 是（ ）式的一個解。當 0a 時，不管 0x 有多小，在 t??? 時，如果 0 0x ? ，始終有 ? ?xt?? ，也就是說初始值的微小變化極大的影響了解的誤差，而當 0a 時， ? ? 0 atx t x e? ，與 “零 ”解的誤差不超過初始誤差 0x ，北華大學學士學位論文 7 且隨著 t 值增加很快消失。所以， ??xt 與 “零 ”解的誤差很小的條件是 0x 足夠小。這表明 0a 時式中的 “零 ”解是穩(wěn)定的。我們給出微分方程 “零 ”解趨于穩(wěn)定的嚴格定義如下。 假設(shè)以下微分方程 ? ? ? ?00, , , ndx f t x x t x x Rdt ? ? ? （ ） 滿足 “解存在唯一 ”這個條件，它的解 ? ? ? ?00,x t x t t x? 的存在區(qū)間是 ? ? ? ?, , , xf t t?? ??還滿足條件： ? ?,0 0ft? （ ） 保證了 x(t)=0 是（ ）式的解，我們稱它為 “零 ”解。 定義：若對任意給定的 0?? ，均能找到 ? ?0,t? ? ?? ，使得當 0x ?? 時的解能夠滿足 ? ? ? ?0 0 0 0 0, , , , ,x t x x x t t x t t???且 ? ? ? ?0 0 0 0, , , ,x t x x x t t x ??， 0tt? ，則稱（ ）式的 “零 ”解是穩(wěn)定的，否則 ()式的 “零 ”解就是不穩(wěn)定的。 穩(wěn)定性定理 Lyapunov 直接法 [13]（即第二法）探討的是一個二維自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性，經(jīng)過提煉概括合理分析語言，在原始幾何思想的基礎(chǔ)之上，給出了一條穩(wěn)定性定理、一條漸近穩(wěn)定性定理和兩條不穩(wěn)定性定理。為穩(wěn)定性理論的發(fā)展和完善奠定了牢固的基礎(chǔ)，這些定理也因此被譽為穩(wěn)定性判定的基本定理。 （ a）穩(wěn)定性定理 將目標系統(tǒng)狀態(tài)方程設(shè)為 ? ?,x f x t?? ，且 0 0x? 是它的平衡態(tài)。如果連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù) ? ?,Vxt 存在且滿足下述條件： 1) ? ?,Vxt 為非正定（包括半負定）的，則系統(tǒng)在原點處的平衡態(tài)是一致穩(wěn)定的； 2) 再者，如果 ? ?,Vxt 的定義域 ? 為 nR ，當任意的 0t 和任意 ? ?0 0xt? 時， ? ?x,tV?在 0tt? 范圍內(nèi)不恒為零，則該系統(tǒng)在原點處的平衡態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的，反之不是。 隨著 x?? 有 ? ?,V x t ?? ，當前情況下系統(tǒng)在原點處的穩(wěn)定平衡態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。 （ b）漸近穩(wěn)定性定理 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下 ? ?,x f x t?? （ ） 0 0x? 為平衡態(tài)。如果存在一個滿足下述條件的有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù)? ?,Vxt ： 1）若 ? ?,V xt? 為負定的 ,則該系統(tǒng)在原點處的平衡態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的； 2）再者，隨著 x?? ，有 ? ?,V x t ?? ，那么該系統(tǒng)在原點處的平衡態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。 （ c）不穩(wěn)定性定理 北華大學學士學位論文 8 假設(shè) ? ?,x f x t?? 是系統(tǒng)的狀態(tài)方程， 其中 0 0x? 是它的平衡態(tài)。如果存在一個滿足下述條件的有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù) ? ?,Vxt ： 1) ? ?,V xt? 為正定的，則該系統(tǒng)在原點處的平衡態(tài)是不穩(wěn)定的； 2) 若 ? ?,V xt? 為非負定（不包括半負定）的，且對任意的 0t 和任意的 ? ?0 0xt? ，? ?,V xt? 在 0tt? 時不恒為零，那么該平衡態(tài) 0x 也是不穩(wěn)定的。 函數(shù)的構(gòu)造 Lyapunov 直接法的核心技巧是構(gòu)造 Lyapunov 函數(shù)，雖然人們針對不同實際問題已經(jīng)運用多種方法 (能量函數(shù)法、類比法、梯度法、變梯度法、微分矩方法等 )具體構(gòu)造出滿足需要的 Lyapunov 函數(shù)，并獲得了廣泛的承認，但構(gòu)造 Lyapunov 函數(shù)的方法仍無一般規(guī)律可循，純粹是研究工作者本人的經(jīng)驗 和技巧．這些方法都是試探性的，沒有構(gòu)造性的必然成功程序可言。 V 函數(shù)法 先設(shè)計 dVdt 負定（或半負定），然后積分求出 V ，來看 V 是否正定。若正定，便 能斷定系統(tǒng)平衡位置漸近穩(wěn)定 (穩(wěn)定 )；否則，也只好重新再找其它合適的 V函數(shù)。 V 函數(shù)法 先試探構(gòu)造出正定 的函數(shù) V （或變號 V ），然后沿系統(tǒng)解對函數(shù) V 求導(dǎo)數(shù) dVdt ，看條件能否保證