【文章內容簡介】 . 81ω /π幅度（H） 圖 Chebyshev I型的 MATLAB仿真 同樣，我們也可以設計出 Chebyshev II 型的 M 程序： Fs=1000。 Flp=300。 Fls=400。 Wp=2*Flp/Fs。 Ws=2*Fls/Fs。 Rp=1。 Rs=30。 [N,Wn]=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs)。 [b,a]=cheby2(N,Rs,Wn)。 [hw,w]=freqz(b,a)。 subplot(2,1,1)。 plot(w/pi,20*log10(abs(hw)))。grid on。 xlabel(39。ω/π39。)。ylabel(39。幅度（ dB） 39。) 11 title(39。切比雪夫 II 型幅頻響應 39。)。 subplot(2,1,2)。plot(w/pi,abs(hw))。 grid on。 xlabel(39。ω/π39。)。ylabel(39。幅度（ H） 39。)。 得運行后圖形： 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 8 0 6 0 4 0 2 00ω /π幅度（dB）切比雪夫 II 型幅頻響應0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 100 . 20 . 40 . 60 . 81ω /π幅度（H） 圖 Chebyshev II型 MATLAB仿真 直接設計法的優(yōu) 缺點 時域直接設計法中采用逼近的方式設計需要求解 N+M+1 個方程組成的一個方程組，求解比較麻煩，易出錯；頻域直接設計法中采用迭代方式計算較之更簡便些，采用這種算法也是的系統(tǒng)的穩(wěn)定性和收斂性好，性能良好。 脈沖響應不變法設計 IIR 數(shù)字低通濾波器 設計方法及原理 用脈沖響應不變法來設計 IIR 數(shù)字低通濾波器，應使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列 h（ n)模仿模擬濾波器的沖擊響應 ha(t)，使 h(n)正好等于 ha(t)的抽樣值，即 h（ n)=ha(nT) 12 其中 T為采樣周期。 脈 沖響應不變法利用了模數(shù)轉換的思想把模擬濾波器 S平面轉換到數(shù)字濾波器的 Z平面，其映射關系如下圖所示： 圖 映射關系圖 模擬濾波器的傳遞函數(shù)若只有單極點，且分母的階數(shù)高于分子的階數(shù) NM，則可表達為部分分式形式： ?? ?? Ni iia ss AsH 1)( 其拉式反變換為 ??? Ni tsia tueAth i1 )()( 其中 u(t)為單位階躍函數(shù)。對 ha(t)采樣就得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列 ?? ?? ?? Ni intta nueAthn 1 ns )()()(h i 再對 h(n)取 z 變換，得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) ?? ? ? ? ? ????? ? ? ?? ??? ???? ni si inn Ni Ni n nsiinsin zeAzeAeAzzH i 1 10 1 1 0 1)( 為避免濾波器的增益太高而使數(shù)字濾波器頻率響應不隨抽樣頻率變化，以此做了以下修正，令 )()(h nTThn a? 則有 j?3 ?? / T?? / T－ 3?? / T－ ?? / To o? － 1 1j I m [z ]R e [z ]Z 平面S 平面 13 ?? ??? Ni s TzeT A iH i1 11z）（ MATLAB 設計 本部分將采用所給參數(shù)使用脈沖響應不變法來設計巴特沃斯數(shù)字低通濾波器，其設計步驟如下： （ 1） 先討論 f 與 ω的關系及數(shù)字域性能的公式表示。有模擬頻率與數(shù)字頻率之 間的線性關系，ω =Ω T=2π fT， 3101 ???sfT， T為抽樣周期，則有 z300Hfc? 對應于 ??? 1 0 0 013002c ???? Hz400fst ? 對應于 ??? 0 0 014 0 02st ???? 由衰減知： 1)( elo g20 010 ??j jeHH ）（ 30)( )H ( elo g20 010 ??ejH j ω =0 處頻率響應幅度歸一化為 1，即 1)( 0 ?jeH ，則上式變?yōu)? 1)(log20 ???jeH 30)(10log20 ???jeH （ 2） 這里將數(shù)字濾波器的性能要求轉變?yōu)槟M濾波器的性能要求。由 T??? )()()( ??? jHTjHeH aaj ?? ， ??? 給出模擬濾波器指標 1)600(lo g20)(lo g20 1010 ??? ?? jHaTjH a 30)8 0 0(l o g20)(l o g20 1010 ??? ?? jHTjH aa （ 3） 計算所需階數(shù) N及 3dB 截止頻率 c? 。巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函 數(shù)為 NcjH 22a )(1 1)(????? 用分貝形式表示 14 ?????? ?????? Na jH 21010 )c(1lo g10)(lo g20 把求出的性能指標關系式帶入得 16001log10 210 ?????????? ?????? ??? Nc? 308001log10 2c10 ?????????? ?????? ??? N? 用等號來滿足指標 c 106 0 01 ??????? ?? N? 32 108001 ??????? ?? Nc? 聯(lián)立方程求解得 N= , ?? ,由于 N必須去整數(shù)故 N=6 得 ?? （ 4） 使用查表法，當 N=6 時，歸一化原型模擬低通巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 )19 3 5 1 6 5 )(14 1 4 2 1 3 5 )(15 1 7 6 3 8 0 (118 6 3 7 0 3 6 4 1 0 1 4 0 6 2 0 6 4 1 0 1 6 3 7 0 3 1)(22223456??????????????sssssssssssssH a 以上便是利用采用沖擊響應不變法設計巴特沃斯數(shù)字低通濾波器的步驟，可知運用這種方式進行設計運算非常復雜，而且容易出錯，通過 MATLAB 程序設計來進行設計更加的方便簡單。 下面通過 M程序實現(xiàn)： fp=300。 Fs=400。 Fs=1000。 Rp=1。 Rs=30。 T=1/Fs。 W1p=fp/Fs*2。W1s=fs/Fs*2。 [N,Wn]=buttord(W1p,W1s,Rp,Rs,39。s39。)。 [z,p,k]=buttap(N)。 15 [bp,ap]=zp2tf(z,p,k)。 [bs,as]=lp2lp(bp,ap,Wn*pi*Fs)。 [bz,az]=impinvar(bs,as,Fs)。 sys=tf(bz,az,T)。 [H,W]=freqz(bz,az,512,Fs)。 subplot(2,1,1)。 plot(W,20*log10(abs(H)))。 grid on。 xlabel(39。頻率 /Hz39。)。 ylabel(39。振幅 /dB39。)。 subplot(2,1,2)。 plot(W,abs(H))。grid on。 xlabel(39。頻率 /Hz39。)。 ylabel(39。振幅 /H39。)。 運行后產(chǎn)生圖形如下圖所示 : 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 1 0 0 5 0050頻率 / H z振幅/dB0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50000 . 511 . 5頻率 / H z振幅/H 圖 脈沖響應不變法的 MATLAB仿真 脈沖響應不變法優(yōu)缺點 脈沖響應不變法能使數(shù)字濾波器沖擊響應完全的模仿模擬濾波器的沖擊響應，時域逼近比較好，且使數(shù)字頻率 ω和 模擬頻率 Ω呈線性ω =Ω T。 因此一具有線性相位的模擬濾波器可映射成一線性相位數(shù)字濾波器。但由于頻響混疊，因而脈沖響應不變法值適用于帶限模擬 濾波器而對于高通和帶阻濾波器則不適合采用 16 該設計方法。對于帶通和低通濾波器而言，都需要充分帶限，帶阻衰減越大則混疊效應越小。 雙線性變換法設計 IIR數(shù)字低通濾波器 設計方法及原理 雙線性變換法是使數(shù)字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應相似的一種變換方法。 就這種變換方法其實就是采用頻率壓縮的方式來說，先將 S 平面頻率軸壓縮到 π /T～π /T 內，再通過標準變換關系 z=es1T轉換到 Z平面上，于是 S 平面與平面便建立了一種一一對應的關系，這樣一來便消除了多值變換的可能性，從而不會再有頻 譜混疊的發(fā)生。如下圖所示： 圖 雙線性變換法的映射關系圖 將 S平面的整個虛軸 jΩ壓縮到 S1 平面 jΩ 1軸上的 π /T 到π /T一段，可用以下變換關系： )2tan( 1T??? (31) 如此一來， Ω =177。∞變換到Ω 1=177。π /T，Ω =0 變到Ω 1=0，則有： 22221111TjTjTjTjeeeej?????????? （ 32） 解析延拓到整個 s平面和 s1平面，令 jΩ =s,jΩ 1=s1,則有 TsTsTsTsTsTseeTstheeee11111111]2[s12222??????????? （ 33） o－ 1 1Z 平面j I m [z ]R e [ z ]?? / Tj?1?1－ ?? / TS1平面S 平面j?? o o 17 再將 s1平面通過 Tsez 1? 映射到 z平面 最后得到 S平面和 z 平面的單值映射關系為 1111????? zzs （ 34） ssz ???11 （ 35） 引入待定常數(shù) c 可得，使得（ 21）式和（ 23）式變成 )2tan( 1Tc ??? (36) TsTseecTscths1111)2( 1?????? （ 37） 依然將 Tsez 1? 代入，得 1111????? zzcs (38) sc scz ??? (39) 對于常數(shù) c的選擇，一般有以下兩種方式 低頻處時模擬濾波器與數(shù)字濾波器有比較確切的對應關系，即低頻處Ω≈Ω 1。Ω 1較小時 2)2(tan