【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的 π /T～π/T一條橫帶里；第二步再通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系 z=es1T將此橫帶變換到整個(gè) Z平面上去。這樣就使 S平面與 Z平面建立了一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖 23 所示。 圖 24 雙線性變換的映射關(guān)系 為了將 S平面的整個(gè)虛軸 jΩ 壓縮到 S1平面 jΩ 1軸上的 π /T到π /T段上，可以通過(guò)以下的正切變換實(shí)現(xiàn) ????????? 2tan2 1TT （ 式 26） 式中 ,T 仍是采樣間隔。 當(dāng) Ω 1 由 π /T 經(jīng)過(guò) 0 變化 到 π /T 時(shí)， Ω 由 ∞經(jīng)過(guò) 0 變化到 +∞，也即映射了整個(gè) jΩ 軸。將式（ 26）寫成 2/2/2/2/11TjTjTjTjeeeeTj ????????? （ 式 27） 將此關(guān)系解析延拓到整個(gè) S 平面和 S1 平面，令 jΩ =s， jΩ 1=s1，則得 o－ 1 1Z 平面jI m [ z ]R e [ z ]?? / Tj?1?1－ ?? / TS1平面S 平面j?? o o重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） １０ TsTsTsTsTsTsiiiiieeTTsTee eeTs ????????????????? a 112/2/2/2/ （ 式 28） 再將 S1 平面通過(guò)以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到 Z平面 Tsez 1? （ 式 29） 從而得到 S平面和 Z平面的單值映射關(guān)系為： 11112????? zzTs （ 式 210） sTsTsTsTz?????? 222121 （ 式 211） 式（ 210）與式（ 211）是 S平面與 Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個(gè)線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換 式（ 26）與式（ 210）的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。 首先 ,把 z=ejω ，可得 ???????????? ?? jTjeeTs jj 2t a n2112 ??? （ 式 212） 即 S 平面的虛軸映射到 Z平面的單位圓。 其次，將 s=σ +jΩ 代入式（ 212），得 ???????jTjTz??22 （ 式 213） 因此 222222???????? ????????? ????TTz （ 式 214） 由此看出，當(dāng) σ 0 時(shí)， |z|1；當(dāng) σ 0 時(shí)， |z|1。也就是說(shuō)， S 平面的左半平面映射到 Z平面的單位圓內(nèi)， S 平面的右半平面映射到 Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到 Z 平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。 重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） １１ 二、 雙線性變換法優(yōu)缺點(diǎn) 雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因?yàn)?S平面與 Z平面是單值的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。 S平面整個(gè) jΩ 軸單值地對(duì)應(yīng)于 Z 平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個(gè)關(guān)系如式 （ 210）所示，重寫如下： ???????? 2tan2 ?T （ 式 215） 上式表明， S 平面上 Ω 與 Z 平面的 ω 成非線性的正切關(guān)系，如圖 24所示。 由圖 24 看出，在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng) Ω 進(jìn)一步增加時(shí)， ω 增長(zhǎng)得越來(lái)越慢，最后當(dāng) Ω →∞時(shí)，ω 終止在折疊頻率 ω =π處，因而雙線性變換就不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過(guò)折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。 圖 25 雙線性變換法的頻率變換關(guān)系 但是雙線性變換的這個(gè)特點(diǎn)是靠 頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系而得到的，如式（ 212）及圖 24 所示。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問(wèn)題。首先，一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對(duì)于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會(huì)有畸變，如圖 25 所示。 ?－ ? ?o? ?2ta n2 ?T? ＝重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） １２ 圖 26 雙線性變換法幅度和相 位特性的非線性映射 對(duì)于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個(gè)分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過(guò)頻率的預(yù)畸 變 來(lái)加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。?o ?oo??)j(a ΩH)(e j ?H? ???ooo)](ea r g [ j ?H)]j(a r g [ a ΩH重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） １３ 第 三 章 IIR 濾波器的 MATLAB 設(shè)計(jì) MATLAB 是矩陣實(shí)驗(yàn)室（ Matrix Laboratory）之意。除具備卓越的數(shù)值計(jì)算能力外，它還提供了專業(yè)水平的符號(hào)計(jì)算，文字處理，可視化建模仿真和實(shí)時(shí)控制等功能。 MATLAB 的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá) 式與數(shù)學(xué) ,工程中常用的形式十分相似 ,故用 MATLAB來(lái)解算問(wèn)題要比用 C,FORTRAN等語(yǔ)言完相同的事情簡(jiǎn)捷得多 .在新的版本中也加入了對(duì) C,FORTRAN,c++ ,JAVA的支持 .可以直接調(diào)用 ,用戶也可以將自己編寫的實(shí)用程序?qū)氲?MATLAB 函數(shù)庫(kù)中方便自己以后調(diào)用，此外許多的 MATLAB 愛(ài)好者都編寫了一些經(jīng)典的程序，用戶可以直接進(jìn)行下載就可以用，非常的方便。 模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有一些典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯 (Butterworth )濾波器、切比雪夫 (Chebyshev)濾波器、橢圓 (Cauer )濾波器、貝塞爾 (Bessel )濾波器等，這些典型的濾波器各有特點(diǎn)。 用 MATLAB 進(jìn)行數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 的 步驟如下 : （ 1） 將設(shè)計(jì)指標(biāo)歸一化處理。如果采用雙線性變換法，還需進(jìn)行預(yù)畸變。 （ 2） 根據(jù)歸一化頻率，確定最小階數(shù) N 和頻率參數(shù) Wn?？晒┻x用的階數(shù)擇函數(shù)有 :buttord， cheblord， cheb2ord， ellipord 等。 （ 3） 運(yùn)用最小階數(shù) N 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器原型。模擬低通濾波器的創(chuàng)建函數(shù)有 :buttap,cheblap, cheb2ap,ellipap 和 besselap，這 些函數(shù)輸出的是零極點(diǎn)式形式，還要用 zp2tf 函數(shù)轉(zhuǎn)換成分子分母多項(xiàng)式形式。如果想根據(jù) 最 小 階 數(shù) 直 接 設(shè) 計(jì) 模 擬 低 通 濾 波 器 原 型 ， 可 用butter,chebyl,cheby2,ellip,bessel 等函數(shù)，只是注意要將函數(shù)中的 Wn設(shè)為 1。 （ 4） 根據(jù)第 2 步的頻率參數(shù) Wn，模擬低通濾波原型轉(zhuǎn)換模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器，可用函數(shù)分別是： lp21p,lp2hp,lp2bp,lp2bs。 （ 5） 運(yùn)用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變法把模濾波器轉(zhuǎn)數(shù)字濾波器，調(diào)用的函數(shù)是 impinvar 和 bilinear。脈沖響應(yīng)不變法適用于采樣頻率大于 4倍截止頻率的銳截止低通帶通濾波器，而雙線性變換法適合于相位特性要求不高重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） １４ 的各型濾波器。 （ 6） 根據(jù)輸出的分子分母系數(shù)， 調(diào) 用 函數(shù) buttord 計(jì)算 N 和 wc， 有系數(shù)向量可以寫出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù) Z,再用 freqz 函數(shù)驗(yàn)證設(shè)計(jì)結(jié)果。 第一節(jié) IIR 數(shù)字濾波器 的 典型設(shè)計(jì) 法 設(shè)計(jì)巴特沃 斯 數(shù)字低通濾波器和橢圓數(shù)字低通濾波器，要求通帶邊界頻fp=，通帶最大衰減 Rp=；阻帶邊界頻率 fs=8kHZ，阻帶最小衰減Rs=30dB,采樣頻率為 Fs=20kHZ。 低通巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)步驟 如下： （ 1） 確定階數(shù) N。 110 ???? psRRspk ?? pssp ff??? , ??N 取 N=4 （ 2） 求極點(diǎn) ?530 jep ? ， ?541 jep ? ， ?jep ?2 ， ?563 jep ? ， ?574 jep ? 歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為 ?? ?? 4 0 )(1)(k ka pppG 由 N=4 直接查表得到： 極點(diǎn)： j?? j?? 歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為 011223341)( bpbpbpbppG a ????? 式中， ?0b , ?1b , ?2b , ?3b （ 3） 將 )(pGa 去歸一化最終得到 重慶郵電大學(xué)高教自考畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） １５ 401312223345)(ccca bsbsbsbssH ???????? ?? 通過(guò)計(jì)算可以總結(jié)出過(guò)程太麻煩，而且容易出錯(cuò) ，結(jié)果不直觀 。 下面用 M 程序設(shè)計(jì)來(lái)實(shí)現(xiàn) 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的巴特沃 斯 數(shù)字低通濾波器的 M 程序如下： fp=2100。 fs=8000。 Fs=20200。 Rp=。 Rs=30。 T=1/Fs。 %設(shè)計(jì)指標(biāo) W1p=fp/Fs*2。W1s=fs/Fs*2。%求歸一化頻率 [N,Wn]=buttord(W1p,W1s,Rp,Rs,39。s39。)。 %確定 butterworth 的最小介數(shù) N 和頻率參數(shù) Wn [z,p,k]=buttap(N)。 %設(shè)計(jì)模擬低通原型的零極點(diǎn)增益參數(shù) [bp,ap]=zp2tf(z,p,k)。 %將零極點(diǎn)增益轉(zhuǎn)換成分子分母參數(shù) [bs,as]=lp2lp(bp,ap,Wn*pi*Fs)。%將低通原型轉(zhuǎn)換為模擬低通 [bz,az]=impinvar(bs,as,Fs)。 %用脈沖響應(yīng)不變法進(jìn)行模數(shù)變換 sys=tf(bz,az,T)。 %給出傳輸函數(shù) H(Z) [H,W]=freqz(bz,az,512,Fs)。 %生成頻率響應(yīng)參數(shù) subplot(2,1,1)。 plot(W,20*log10(abs(H)))。 %繪制幅頻響應(yīng) grid on。 %加坐標(biāo)網(wǎng)格 xlabel(39。頻率 /Hz39。)。 ylabel(39。振幅 /dB39。)。 subplot(2,1,2)。