【文章內(nèi)容簡介】 通濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬低通濾波器的技術(shù)指標。 (3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標設(shè)計過渡模擬低通濾波器。 (4)用所選的轉(zhuǎn)換方法，將模擬濾波器 )(sHa 轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù) )(zH 。 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計 流程圖如下： 圖 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟流程圖 成熟的 數(shù)字 濾波器設(shè)計方法主要有脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。 用脈沖相應(yīng)不變法設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器 一 設(shè)計原理 利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列 h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)，即將 ha(t)進行等間隔采樣，使 h(n)正好等于 ha(t)的采樣值，滿足h(n)=ha(nT)，式中 T是采樣周期。 )(ZfS? 數(shù)字濾波器 技術(shù)指標 模擬濾波器 技術(shù)指標 數(shù)字濾波 器 )(ZH 模擬濾波器 )(SHa 模擬濾波器 設(shè)計方法 變換 )(?g?? 變換 西北工業(yè)大學(xué)明德學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計論文 14 如果令 Ha(s)是 ha(t)的拉普拉斯變換， H(z)為 h(n)的 Z 變換，利用采樣序列的 Z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關(guān)系得 ?? ????????? ?????? ????? k ak sagz kTjsXTjksXTzX xT ?21)(1|)( () 則可看出，脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器的 S 平面變換成數(shù)字濾波器的 Z平面，這個從 s到 z的變換 z=esT是從 S平面變換到 Z平面的標準變換關(guān)系式。 j?3 ?? / T?? / T－ 3?? / T－ ?? / To o? － 1 1j I m [z ]R e [ z ]Z 平面S 平面 圖 脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系 由（ ）式，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為 ????? ?????? ??k aj T kjHTeH ??? 21)( () 這就是說，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時，即 0)( ??jHa 2sT ???? ? () 才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真，即 ??????? TjHTeH ae j ?? 1)( ??? () 但是，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴格限帶的， 變換后就會西北工業(yè)大學(xué)明德學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計論文 15 產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真 。 這時數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響 ，而帶有一定的失真。當模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。 － 3? － 2?… …)j(aΩH?oo－ ? 2 ? 3 ?? ? ＝ ? ? T)(ej ?HTπ2TπTπTπ2－ 圖 對某一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng) ha(t)進行采樣，采樣頻率為 fs，若使 fs增加，即令采樣時間間隔（ T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之間相距更遠，因而可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。 二 脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點 從以上討論可以看出，脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時域逼近良好，而且模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間呈線性關(guān)系 ω =Ω T。因而，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然 是一個線性相位的數(shù)字濾波器。 脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以，脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器 (例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器 )，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。至于高通和帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。如果要對高通和帶阻濾波器采用脈沖響應(yīng)西北工業(yè)大學(xué)明德學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計論文 16 不變法，就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。當然這樣會進一步增加設(shè)計復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)。 雙線性變換法設(shè)計 IIR 數(shù) 字濾波器 一 設(shè)計原理 脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是因為從 S 平面到Ｚ平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到 π /T～π /T 之間，再用 z=esT 轉(zhuǎn)換到 Z平面上。也就是說，第一步先將整個 S平面壓縮映射到 S1平面的 π /T～π /T 一條橫帶里；第二步再通過標準變換關(guān)系 z=es1T將此橫帶變換到整個 Z 平面上去。這樣就使 S平面與 Z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖 。 o－ 1 1Z 平面j I m [z ]R e [ z ]?? / Tj?1?1－ ?? / TS1平面S 平面j?? o o 圖 為了將 S平面的整個虛軸 jΩ 壓縮到 S1平面 jΩ 1軸上的 π /T到π /T段上，可以通過以下的正切變換實現(xiàn) ????????? 2tan2 1TT () 西北工業(yè)大學(xué)明德學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計論文 17 式中 ,T仍是采樣間隔。 當 Ω 1 由 π /T 經(jīng)過 0 變化到 π /T 時， Ω 由 ∞經(jīng)過 0 變化到 +∞，也即映射了整個 jΩ 軸。將式（ 26）寫成 2/2/2/2/11TjTjTjTjeeeeTj ????????? () 將此關(guān)系解析延拓到整個 S平面和 S1 平面，令 jΩ =s， jΩ 1=s1，則得 TsTsTsTsTsTsiiiiieeTTsTee eeTs ????????????????? a n 112/2/2/2/ () 再將 S1平面通過以下標準變換關(guān)系映射到 Z平面 Tsez 1? () 從而得到 S平面和 Z平面的單值映射關(guān)系為： 11112????? zzTs () sTsTsTsTz?????? 222121 () 式（ ）與式（ ）是 S 平面與 Z 平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換 式（ ）與式（ 的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點要求。 首先 ,把 z=ejω ，可得 ???????????? ?? jTjeeTs jj 2ta n2112 ??? （ ） 即 S 平面的虛軸映射到 Z平面的單位圓。 其次，將 s=σ +jΩ 代入式（ 212），得 ???????jTjTz??22 （ ） 因此 西北工業(yè)大學(xué)明德學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計論文 18 222222???????? ????????? ????TTz （ ） 由此看出，當 σ 0 時， |z|1；當 σ 0 時， |z|1。也就是說， S 平面的左半平面映射到 Z平面的單位圓內(nèi)， S平面的右半平面映射到 Z 平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到 Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。 二 雙線性變換法優(yōu)缺點 雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因為 S平面與 Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系。 S 平 面整個 jΩ 軸單值地對應(yīng)于 Z 平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個關(guān)系如式（ ）所示，重寫如下： ???????? 2tan2 ?T （ ） 上式表明， S平面上 Ω 與 Z平面的 ω 成非線性的正切關(guān)系，如圖 所示。 由圖 看出，在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當 Ω 進一步增加時， ω 增長得越來越慢，最后當 Ω →∞時，ω 終止在折疊頻率 ω =π處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻 部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。 圖 ?－ ? ?o? ?2t a n2 ?T? ＝西北工業(yè)大學(xué)明德學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計論文 19 但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴重非線性關(guān)系而得到的，如式（ ）及圖 。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所 產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會有畸變，如圖 所示 : ?o ?oo??)j(a ΩH)(ej ?H? ???ooo)](ea r g [j ?H)]j(a r g [ a ΩH 圖 對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)畸 變 來加以校正。也就是將臨界 模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上 。西北工業(yè)大學(xué)明德學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計論文 20 第 4 章 IIR 數(shù)字濾波器的實現(xiàn) 利用 MATLAB設(shè)計濾波器 ,可以按照設(shè)計要求非常方便地調(diào)整設(shè)計參數(shù) ,極大地減輕了設(shè)計的工作量 ,有利于濾波 器設(shè)計的最優(yōu)化 。 MATLAB因其強大的數(shù)據(jù)處理功能被廣泛應(yīng)用于工程計算 ,其豐富的工具箱為工程計算提供了便利 ,利用MATLAB信號處理工具箱可以快速有效地設(shè)計各種數(shù)字濾波器 ,設(shè)計簡單方便。 MATLAB 簡介 MATLAB 的概況 MATLAB 是矩陣實驗室（ Matrix Laboratory）之意。除具備卓越的數(shù)值計算能力外，它還提供了專業(yè)水平的符號計算，文字處理，可視化建模仿真和實時控制等功能。 MATLAB 的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達式與數(shù)學(xué) ,工程中常用的形式十分相似 ,故用 MATLAB來解算問題要比用 C,FORTRAN等語言完 成 相同的事情簡捷得多 . MATLAB 擁有數(shù)百個內(nèi)部函數(shù)的主包和三十幾種工具包 (Toolbox).工具包又可以分為功能性工具包和學(xué)科工具包 .功能工具包用來擴充 MATLAB 的符號計算 ,可視化建模仿真 ,文字處理及實時控制等功能 .學(xué)科工具包是專業(yè)性比較強的工具包 ,控制工具包 ,信號處理工具包 ,通信工具包等都屬于此類 . 開放性使 MATLAB廣受用戶歡迎 .除內(nèi)部函數(shù)外 ,所有 MATLAB主包文件和各種工具包都是可讀可修改的文件 ,用戶通過對源程序的修改或加入自己編寫程序構(gòu)造新的專 用工具包 . MATLAB 的語言特點 MATLAB 最突出的特點就是簡潔。 MATLAB 用更直觀的，符合人們思維習(xí)慣的西北工業(yè)大學(xué)明德學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計論文 21 代碼，代替了 C 和 FORTRAN 語言的冗長代碼。 MATLAB 給用戶帶來的是最直觀，最簡潔的程序開發(fā)環(huán)境。以下簡單介紹一下 MATLAB 的主要特點： （ 1） 語言簡潔緊湊，使用方便靈活，庫函數(shù)極其豐富。 MATLAB 程序書寫形式自由，利用起豐富的庫函數(shù)避開繁雜的子程序編程任務(wù)，壓縮了一切不必要的編程工作。由于庫函數(shù)都由本領(lǐng)域的專家編寫，用戶不必擔心函數(shù)的可靠性。可以說，用 MATLAB 進行科技開發(fā) 是站在專家的肩膀上。 （ 2） 運算符豐富。由于 MATLAB 是用 C 語言編寫的， MATLAB 提供了和 C 語言幾乎一樣多的運算符，靈活使用 MATLAB 的運算符