【文章內容簡介】 此稱為雙線性變換式（26）與式（210）的雙線性變換符合映射變換應滿足的兩點要求。首先,把z=ejω，可得（式212）即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次，將s=σ+jΩ代入式（212），得 （式213）因此 （式214）由此看出，當σ0時，|z|1；當σ0時，|z|1。也就是說，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經雙線性變換后所得的數字濾波器也一定是穩(wěn)定的。二、雙線性變換法優(yōu)缺點雙線性變換法與脈沖響應不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應的混疊現象。這是因為S平面與Z平面是單值的一一對應關系。S平面整個jΩ軸單值地對應于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關系。這個關系如式（210）所示，重寫如下： （式215）上式表明，S平面上Ω與Z平面的ω成非線性的正切關系，如圖24所示。由圖24看出，在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數字頻率ω之間的變換關系接近于線性關系；但當Ω進一步增加時，ω增長得越來越慢，最后當Ω→∞時，ω終止在折疊頻率ω=π處，因而雙線性變換就不會出現由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現象，從而消除了頻率混疊現象。圖25雙線性變換法的頻率變換關系但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴重非線性關系而得到的，如式（212）及圖24所示。由于這種頻率之間的非線性變換關系，就產生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經雙線性變換后得到非線性相位的數字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數型的，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特性），不然變換所產生的數字濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變，如圖25所示。圖26雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射對于分段常數的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點產生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預畸變來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經變換后正好映射到所需要的數字頻率上。第三章 IIR濾波器的MATLAB設計MATLAB是矩陣實驗室（Matrix Laboratory）之意。除具備卓越的數值計算能力外，它還提供了專業(yè)水平的符號計算，文字處理，可視化建模仿真和實時控制等功能。MATLAB的基本數據單位是矩陣，它的指令表達式與數學,工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB來解算問題要比用C,FORTRAN,c++ ,用戶也可以將自己編寫的實用程序導入到MATLAB函數庫中方便自己以后調用，此外許多的MATLAB愛好者都編寫了一些經典的程序，用戶可以直接進行下載就可以用，非常的方便。模擬濾波器的理論和設計方法已發(fā)展得相當成熟，且有一些典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth )濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer )濾波器、貝塞爾(Bessel )濾波器等，這些典型的濾波器各有特點。用MATLAB進行數字濾波器的設計的步驟如下:（1） 將設計指標歸一化處理。如果采用雙線性變換法，還需進行預畸變。（2） 根據歸一化頻率，確定最小階數N和頻率參數Wn。可供選用的階數擇函數有:buttord，cheblord，cheb2ord，ellipord等。（3） 運用最小階數N設計模擬低通濾波器原型。模擬低通濾波器的創(chuàng)建函數有:buttap,cheblap, cheb2ap,ellipap和besselap，這些函數輸出的是零極點式形式，還要用zp2tf函數轉換成分子分母多項式形式。如果想根據最小階數直接設計模擬低通濾波器原型，可用butter,chebyl,cheby2,ellip,bessel等函數，只是注意要將函數中的Wn設為1。（4） 根據第2步的頻率參數Wn，模擬低通濾波原型轉換模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器，可用函數分別是：lp21p,lp2hp,lp2bp,lp2bs。（5） 運用脈沖響應不變法或雙線性變法把模濾波器轉數字濾波器，調用的函數是impinvar和bilinear。脈沖響應不變法適用于采樣頻率大于4倍截止頻率的銳截止低通帶通濾波器，而雙線性變換法適合于相位特性要求不高的各型濾波器。（6） 根據輸出的分子分母系數，調用函數buttord計算N和wc，有系數向量可以寫出數字濾波器系統(tǒng)函數Z,再用freqz函數驗證設計結果。第一節(jié) IIR數字濾波器的典型設計法設計巴特沃斯數字低通濾波器和橢圓數字低通濾波器，要求通帶邊界頻fp=，通帶最大衰減Rp=；阻帶邊界頻率fs=8kHZ，阻帶最小衰減Rs=30dB,采樣頻率為Fs=20kHZ。低通巴特沃斯濾波器設計步驟如下：（1） 確定階數N。 取N=4（2） 求極點，， 歸一化低通原型系統(tǒng)函數為由N=4直接查表得到：極點： 歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數為式中，,（3） 將去歸一化最終得到通過計算可以總結出過程太麻煩，而且容易出錯，結果不直觀。下面用M程序設計來實現用脈沖響應不變法設計的巴特沃斯數字低通濾波器的M程序如下：fp=2100。fs=8000。 Fs=20000。Rp=。Rs=30。T=1/Fs。 %設計指標W1p=fp/Fs*2。W1s=fs/Fs*2。%求歸一化頻率[N,Wn]=buttord(W1p,W1s,Rp,Rs,39。s39。)。%確定butterworth的最小介數N和頻率參數Wn[z,p,k]=buttap(N)。 %設計模擬低通原型的零極點增益參數[bp,ap]=zp2tf(z,p,k)。 %將零極點增益轉換成分子分母參數[bs,as]=lp2lp(bp,ap,Wn*pi*Fs)。%將低通原型轉換為模擬低通[bz,az]=impinvar(bs,as,Fs)。 %用脈沖響應不變法進行模數變換 sys=tf(bz,az,T)。 %給出傳輸函數H(Z)[H,W]=freqz(bz,az,512,Fs)。 %生成頻率響應參數subplot(2,1,1)。plot(W,20*log10(abs(H)))。 %繪制幅頻響應grid on。 %加坐標網格xlabel(39。頻率/Hz39。)。 ylabel(39。振幅/dB39。)。subplot(2,1,2)。 plot(W,abs(H))。 grid on。 xlabel(39。頻率/Hz39。)。 ylabel(39。振幅/H39。)。運行后的波形如下：圖31 典型濾波器在Matlab上運行波形運行結果：N =4bz = az= 可以得出：只需編程，結果非常直觀。雙線性變換法設計步驟如下：（1）首先寫出該濾波器的系統(tǒng)函數（2）利用雙線性變換法轉換，數字濾波器的系統(tǒng)函數為 用雙線性變換法設計橢圓數字低通濾波器的M程序如下： fs=20000。 wp=2*pi*2100/fs。 ws=2*pi*8000/fs。 Rp=。 Rs=30。 Ts=1/fs。 Wp=2/Ts*tan(wp/2)。Ws=2/Ts*tan(ws/2)。 %按頻率轉換公式進行轉換 [N,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,39。s39。)。 %計算模擬濾波器的最小階數 [z,p,k]=ellipap(N,Rp,Rs)。%設計模擬原型濾波器 [Bap,Aap]=zp2tf(z,p,k)。 %零點極點增益形式轉換為傳遞函數形式 [b,a]=lp2lp(Bap,Aap,Wn)。 %低通轉換為低通濾波器的頻率轉化 [bz,az]=bilinear(b,a,fs)。 %運用雙線性變換法得到數字濾波器傳遞函數 [H,f]=freqz(bz,az,512,fs)。 subplot(2,1,1)。 plot(f,20*log10(abs(H)))。 title(39。N=2 頻率響應39。)。 grid on。 xlabel(39。頻率/Hz39。)。 ylabel(39。振幅/dB39。)。 subplot(2,1