【文章內容簡介】 ? ?sHLth aa 1?? 式中， ? ?? ?sHLa1?表示對 ??sHa的 Laplace 逆變換。 Laplace 變換內容請參考高等數學的積分變換或信號處理教材。 求模擬濾波器單位沖激響應 ??tha的采樣值，即數字濾波器沖激響應序列 h(n)。 第 8 頁 對數字濾波器的沖激響應 h(n)進行 z變換，得到傳遞函數 H(z)。 由上述方法推論出更直接地由模擬濾波器系統(tǒng)函數 ??sHa求出數字濾波器系統(tǒng)函數 H(z)的步驟是： 利用部分分式展開將模擬濾波器的傳遞函數 H(s)展開成： ?? ??Nk kka ps RsH1)( 在 MATLAB 中這步可通過 residue 函數實現。 若調用 residue 函數的形式為 [R,P,K]=residue(a,b) 形式，則將下式（傳遞函數形式）： )1()()2()1( )1()()2()1()( )()( 11????? ??????? ??naasnaasasa nbbsnbbsbsbsa sbsH nanbnbnba ?? 變換為： )1()2()1()( 11 ??????? ??? MKsKsKps RsH MMNk kka ? 這種形式為極點留數商向量形式，對于本節(jié)所講的特定情況， K 為空矩陣。 若為 [b,a]=residue(R,P,K)則為上面調用形式的反過程。 將模擬極點 pk 變換為數字極點 Tpke 即得到數字系統(tǒng)的傳遞函數 ?? ???Nk Tpk zeRzHk1 11)( 其中 T 為采樣間隔。 (3)將 ?? ???Nk Tpk zeRzHk1 11)(轉換為傳遞函數形式，在該步驟中，可采用[R,P,K]=residue(b,a). MATLAB 中已經提供了沖激響應不變法設計數字濾波器的函數，調用格式為： [bz,az]=impinvar(b,a[[,Fs[， Fp]) 式中， b,a 為模擬濾波器分子和分母多項式系數向量； Fs 為采樣頻率（所濾波數據），單位 Hz，缺省時為 1Hz。 Fp 為預畸變頻率（ Prewarped frequency） ,是一個 “匹配 ”頻率 ,在該頻率上，頻率響應在變換前后和模擬頻率可精確匹配。一般設計中可以不考慮。 bz,az 分別為數字濾波器分子和分母多項式系數向量。前面已提到過，函數輸 入變量中的 []表示可添加也可略去的內容。下面我們用例 第 9 頁 子說明如何使用這個函數。 （ 1）脈沖響應不變法將模擬濾波器132 23)( 2 ???? ss ssH a變換為數字濾波器H(z)，采樣周期為 T=。 %Samp6_1 b=[3 2]。a=[2 3 1]。T=。 %模擬濾波器分子和分母多項式系數及采樣間隔 [bz1,az1]=impinvar(b,a,1/T) 程序輸出為： bz1 = az1 = 在應用沖激響應不變法設計數字濾波器時要注意它的特點 。脈沖響應不變法由sTez? 這一基本關系得到數字角頻率 ? 和模擬角頻率 ? 滿足 T??? 線性變換關系， T 為采樣間隔。這使得 ?j 軸上每隔 T?2 便映射到 z域中的單位圓一周。如果模擬濾波器頻率響應是有限帶寬的話，通過變換得到的數字濾波器的頻率響應非常接近于模擬濾波器的頻率響應。由于數字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓，因此對于高通和帶阻濾波器存在混疊效應，會造成頻率響應失真，因此這種方法原則上只適用于有限帶寬濾波器。對于高通、帶阻等濾波器，由于它們高頻成分不衰減，勢必產生嚴重的混迭失真 。 雙線性變換法可以彌補這方面的不足。 雙線性變換法將 s 平面的整個頻率軸映射到 z域的一個頻率周期中。因此 s 平面到 z平面的映射是非線性的，其單值雙線性映射關系為： sTsTzzzTs2121,11211?????? ?? 式中， T 為采樣周期。 因此若已知模擬濾波器的傳遞函數 ??sHa，將（ 614）式的第一式代入 ??sHa即可得到數字濾波器的傳遞函數： 第 10 頁 11112)()( ?????? zzTsa sHzH 在雙線性變換中，模擬角頻率和數字角頻率存在下面關系： 2a rc t a n2,2tan2 TT ???? ?? 可見，模擬角頻率 ? 和數字角頻率 ? 之間的關 系是非線性的。 在 MATLAB 中，函數 bilinear 采用雙線性變換法實現模擬 s 域至數字 z域的映射，直接用于模擬濾波器變換為數字濾波器。其調用方式為： [zd,pd,kd]=bilinear(z,p,k,Fs) [numd,dend]=bilinear(num,den,Fs) 式中， z,p 分別為模擬濾波器零點、極點列向量； k為模擬濾波器的增益； Fs為采樣頻率，單位 Hz。 zd,pd,kd 為數字濾波器的零極點和增益。 num,den分別為模擬濾波器傳遞函數分子和分母多項式系數向量，模擬濾波器傳 遞函數具有下面的形式： )1()()1( )1()()1()( )()( ???? ?????? ndde nsndde nsde n nnnumsnnnumsnumsde n snumsH ndnn?? numd 和 dend 分別為數字濾波器傳遞函數分子和分母多項式系數向量。 （ 2）用雙線性變換法將模擬濾波器132 23)( 2 ???? ss ssH a變換為數字濾波器H(z)，采樣周期（間隔） T=。 %Samp6_2 b=[3 2]。a=[2 3 1]。T=。 %模擬濾波器分子和分母多項式的系數，采樣間隔 [bz1,az1]=bilinear(b,a,1/T) %將模擬濾波器傳遞函數轉換為數字濾波器傳遞函數 程序輸出為： bz1 = az1 = 雙線性變換法克服了脈沖響應不變法的頻譜混迭問題，其幅值逼近程度好，可適用于高通、帶阻等各種類型濾波器的設計。 s 域和 z域對應關系也簡單。缺點是頻率變換的非線性導致數字濾波器與模擬濾波器在幅度和頻率的對應關系上發(fā)生畸變。但一般濾波器的幅頻響應具有分段常數的特點，即濾波器允許某一頻段信號通過，而不允許另外頻段的信號通過的特點，故變換后這一特點仍保留，影響不大。由數字邊界頻率計算模擬邊界頻率時，不是按線性關系進行的，這就 第 11 頁 是所謂的 “預畸變 ”。但如果 給定預畸變頻率為邊界頻率，經預畸變頻率校正則可以保證所要設計的模擬邊界頻率精確映射在所要求的數字邊界頻率上。 freqz 對于模擬濾波器，可以用 freqs 求解濾波器的頻率響應。與之對應的函數 freqz用于求數字濾波器的頻率響應，其調用格式為： [[h,w]=]freqz(b,a,n[,’whole’])?；?[h,f]=freqz(b,a,n[,’whole’],Fs)。 式中， b,a 為數字濾波器分子和分母多項式的系數， n為復數頻率的響應點數，為整數，最好為 2 的冪，缺省時為 512； Fs 為采樣頻率，單位 Hz。如果給定該值，則 f 位置輸出為頻率 Hz，若沒有給定，則按角頻率（ Angular frequency）給定 f 的頻率矢量； ’whole’表示返回的頻率 f 或 w 值包含 z平面整個單位圓頻率矢量，即 0~2? ；缺省時，頻率 f 或 w 值包含 z平面上半單位圓（ 0~? ）之間等間距 n 個點頻率矢量。 h 為復頻率響應； w 為 n 點頻率向量（單位 rad）； f 為 n 點頻率向量 (Hz)。函數返回值缺省時，繪制幅頻響應和相頻響應圖。該函數適用于下面形式的數字濾波器： nanbznaazaa znbbzbbzA zBzH ???????? ?????? )1()2()1( )1()2()1()( )()( 11?? 函數 freqz輸出的頻率向量在 0~? 。 為了獲得一個濾波器真正的相頻特性圖，要對相位角進行解纏繞。為此 MATLAB 提供了一個函數 unwrap 來解決這個問題， P=unwrap(angle(H))。 impz impz用于產生數字濾波器的脈沖響應。調用格式為： [[h,t]=]impz(b,a[,n,Fs]) 式中， b,a 分別為濾波器分子和分母多項式系數向量； n 為采樣點數； Fs 為采樣頻率，缺省值為 1； h為濾波器單位脈沖響應向量； t 為和 h對應的時間向量。當函數輸出缺省時，繪制濾波器脈沖響應圖；當 n缺省時，函數自動選擇 n值。 (3)零極點圖 濾 波器的零極點位置決定了濾波器穩(wěn)定性和性能，因此考察濾波器的零極點的位置是分析濾波器特性的重要方面之一。 MTALAB 信號處理工具箱提供繪制數字濾波器零極點位置圖的工具 zplane,調用格式為： 第 12 頁 zplane(z,p)或 zplane(b,a) 式中， z,p 為零極點向量 (為復數 )， b,a 為濾波器分子和分母多項式的系數（為實數）。函數在 z平面繪出零點和極點。極點用 ’’表示，零點用 ’o’表示。 (4)群延遲 信號傳輸的不失真條件之一為：濾波器相頻特性是一條經過原點的直線，即? ? dt??? ?? ， dt 為常數。但一般濾波器不滿足這個條件 ，衡量實際濾波器相位平均延遲的物理量是群延遲。群延遲定義為信號通過濾波器的延遲隨頻率變化的函數，即濾波器相頻特性圖上切線的負斜率： ? ? ? ?????? ddg ?? MATLAB 信號處理工具箱提供計算群延遲函數 grpdelay，調用格式為： [gd,w]=grpdelay(b,a,n[,’whole’]) [gd,f]=grpdelay(b,a,n[,’whole’],Fs) gd=grpdelay(b,a,w) gd=grpdelay(b,a,f,Fs) grpdelay 其中， gd 為群延遲；其他各項意義同函數 freqz,函數輸出項缺省時，繪制群延遲圖。 ’whole’參數表示繪制包括大于 Nyquist 頻率的一個周期的群延遲。 （ 5） filter 函數用來實現數字濾波器對數據的濾波，函數的調用格式為： y=filter(b,a,x) 其中， b,a 分別為濾波器傳遞函數 H(z)的分子和分母多項式系數。 x為濾波器的輸入。 y為濾波器的輸出。 y為與 x具有相同大小的向量。 （ 6） filtfilt 函數實現零相位前向 與后向結合的濾波。調用格式為： y=filtfilt(b,a,x) 式中， b,a 分別為濾波器傳遞函數 H(z)的分子和分母多項式系數。 x為濾波器的輸入，為值向量。 y為濾波器的輸出。該函數對序列 x進行正常的正向濾波后，將濾波后的輸出翻轉重新用該濾波器進行濾波，第二次濾波后的輸出序列的翻轉即得到零相位的濾波輸出。這樣就可以把延遲后的相位校正至零。但該函數只能用于數字濾波器， FIR 濾波器或 IIR 濾波器均能使用。 第 13 頁 3 DSP芯片概述 芯片定義 DSP 芯片，也稱說數字信號處理器，是一種具有特殊結構的微處 理器。DSP 芯片的內部采用程序和數據分開的哈佛結構，具有專門的硬件乘法器，廣泛采用流水線操作，提供特殊的 DSP 指令，可以用來快速的實現各種數字信號處理算法。 芯片主要特點 根據數字信號處理的要求， DSP 芯片一般具有如下的一些主要特點： （ 1） 在一個指令周期內可完成一次乘法和一次加法。 （ 2） 程序和數據空間分開，可以同時訪問指令和數據。 （ 3） 片內具有快速 RAM，通?？赏ㄟ^獨立的數據總線在兩塊中同時訪問。 （ 4） 具有低開銷或無開銷循環(huán)及跳轉的硬件支持。 （ 5） 快速的中斷處理和硬件 I/O 支持。 （ 6） 具有在單周期內操作的多個硬件地址產生器。 （ 7） 可以并行執(zhí)行多個操作。 （ 8） 支持流水線操作，使取指、譯碼和執(zhí)行等操作可以重疊執(zhí)行。 與通用微處理器相比， DSP 芯片的其他通用功能相對較弱些。 芯片的優(yōu)缺點 優(yōu)點： 大規(guī)模集成性 穩(wěn)定性好，精度高 可編程性 高速性能 可嵌入性 接口和集成方便