【文章內容簡介】 (21) 在 z 域內有如下關系 : y(z) h(z)* x(z) (22) 式中 x(z), y(z)分別是 x(n), y(n)的 z 變換。 在頻域內有如下關系 : Y(jw)=h(jw)*x(jw) (23) 式中 how)是數(shù)字濾波器的頻率特性 。xOw), yOw)分別是 x(n), y(n)的頻譜，而 w 是數(shù)字角頻率。 數(shù)字濾波器總體可以分為兩大類，一類稱為經(jīng)典濾波器，輸入信號中的有用成分和希望濾除的成分占用不同的頻帶，通過適當?shù)倪x頻濾波器可實現(xiàn)濾波 。另一類稱為現(xiàn)代濾波器，如維納濾波器、卡 爾曼濾波器等，其輸入信號中有用信號和希望濾除的乘法頻帶交疊。對于經(jīng)典濾波器，從頻域上還可以分為低通、高通、帶通、帶阻濾波器。從時域特性上來看，數(shù)字濾波器還可以分為有限沖激響應數(shù)字濾波器 (FIR)和無限沖激響應數(shù)字濾波器 (IIR )。對于有限沖激響應數(shù)字濾波器 (FIR)其輸出y(n)只取決于有限個過去和現(xiàn)在的輸入 x(n),x(n1)... x(nm)。對于無限沖激響應數(shù)字濾波器 (IIR )，它的輸出不僅取決于過去和現(xiàn)在的輸入，還跟過去的輸出有關。 FIR 和 IIR 濾波器不論是在性能還是在設計方法上都有著很大的 區(qū)別， FIR 濾波器可以根據(jù)給定的頻率特性直接設和 IIR，其設計步驟如下： (1)確定指標 :在設計一個濾波器前必須有一些指標，這些指標需要根據(jù)應用確定。 (2)模型逼近 :一旦確定了指標就可以利用一些基本原理和關系式提出一個濾波器模型來逼近給定的指標體系。這是濾波器設計所要研究的主要問題。 (3)實現(xiàn) :上面兩步結果得到的濾波器通常是以差分方程系統(tǒng)函數(shù)或脈沖響應來描述的。根據(jù)這個描述用硬件和計算機軟件來實現(xiàn)。 對于許多應用來說，數(shù)字濾波器一般具有如下差分方程 : y(n)=∑ kx(nk)+bky(nk) (24) 式中， x(n)為輸入序列， y(n)為輸出序列， ak 和 bk 為濾波器系數(shù)，若 bk=0，則有 : y(n)=I:akx(nk) (25) 式 (25)就是 FIR 濾波器的差分方程，不失一般性，下面我們用 y(n)=j:h(k)x(nk) (26) 來表示 FIR 濾波器的差分方程，對式 (26)進行 z 變換，整理后可得到 FIR 濾波器的傳遞函數(shù) : H (z)=lh(k)zk 在數(shù)字濾波器中， FIR 濾波器具有如下幾個優(yōu)點： (1)可以在幅度特性隨意設計的同時保證精確嚴格的線性相位 。 (2)由于 FIR 濾波器的單位脈沖 h(n)是有限長序列，因此 FIR 濾波器沒有不穩(wěn)定的問題 。 (3)由于 FIR 濾波器一般為非遞歸結構，因此在有限精度運算下，不會出現(xiàn)遞歸型結構中的極限震蕩等不穩(wěn)定現(xiàn)象，誤差較小 。 (4) FIR 濾波器可采用 FFT 算法實現(xiàn)，從而提高運算效率。 設數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) H (e39。39。)用下式表示 : H(已 w)=!H(e39。 W)}e,qW (28) ︳ H (e39。)︳ 為幅頻特性， 0w 為相頻特性。幅頻特性表示信號通過濾波器后頻率成分的衰減情況，相頻特性則反應各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況。通常，選頻濾波器的指標要求都以幅頻特性給出，對相頻 特性不作要求，如果需要對輸出波形有嚴格要求，如語音合成、波形傳輸?shù)?，則要求設計線性相位數(shù)字濾波器。 數(shù)字濾波器的參數(shù)指標與模擬濾波器類似，它們是 wp, ws,助 .義相同，這里不再說明。 FIR 和 IIR 數(shù)字濾波器的比較 在很多實際應用中如語音和音頻信號處理中，數(shù)字濾波器來實現(xiàn)選頻功能。因此，指標的形式應為頻域中的幅度和相位響應。在通帶中，通常希望具有線性相位響應。在 FIR濾波器中可以得到精確的線性相位。在 IIR 濾波器中通帶的相位是不可能得到的，因此主 要考慮幅度指標。 IIR 數(shù)字濾波器的設計和模擬濾波器的設計有著緊密的聯(lián)系，通常要設計出適當?shù)啬M濾波器，再通過一定的頻帶變換把它轉換成為所需要的數(shù)字 IIR 濾波器。此外，任何數(shù)字信號處理系統(tǒng)中也還不可避免地用到模擬濾波器，比如 A/D 變換器前的抗混疊濾波器及 D/A 轉換后的平緩濾波器，因此模擬濾波器設計也是數(shù)字信號處理中應當掌握的技術。 從性能上來說， IIR 數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)包括零點和極點兩組可調因素，對極點的唯一限制是在單位圓內。因此可用較低的階數(shù)獲得高的選擇性，所用的存儲單元少、計算量小、效率高。但是這 個高效率是以相位的非線性為代價的。選擇性越好，則相位非線性越嚴重。 FIR 濾波器傳遞函數(shù)的極點是固定在原點，是不能動的，它只能靠改變零點位置來改變它的性能，所以要達到高的選擇性，必須用高的階數(shù)，對于同樣的濾波器設計指標， FIR 濾波器所要求的階數(shù)可能比 IIR 濾波器高5^10 倍，結果成本高信號延時也較大，如果按線性相位要求來說，則 IIR 濾波器就必須加全通網(wǎng)絡進行相位校正，同樣大大增加了濾波器的階數(shù)和復雜性。而 FIR濾波器卻可以得到嚴格的線性相位。 從結構上看， IIR 濾波器必須采用遞歸結構來配置極點，并保 證極點位置在單位圓內。由于有限字長效應，運算過程中將對系數(shù)進行舍入處理，引起極點的偏移，這種情況有時會造成穩(wěn)定性問題，甚至造成寄生振蕩。相反， FIR 濾波器只要采用非遞歸結構，不論在理論上還是實際的有限精度運算中都不存在穩(wěn)定性問題，因此造成的頻率特性誤差也較小。此外 FIR濾波器可以采用快速傅立葉變換算法，在相同的階數(shù)條件下運算速度可以快的多。 從設計工具看， IIR 濾波器可以借助模擬濾波器的成果，因此一般都有有效的封閉形式的設計公式可供參考，計算工作量比較小，而且對計算工具的要求不高 。FIR 濾波器一般沒 有封閉形式的設計公式。窗函數(shù)法設計 FIR 濾波器也僅給出了窗函數(shù)的計算公式，但是在計算通帶阻帶衰減時無顯示表達式。一般 FIR 濾波器的設計只有計算程序可循，因此它對計算工具要求較高。 在設計和實現(xiàn)上 FIR 濾波器具有如下優(yōu)越性 : (1)相位響應可為嚴格的線性，因此它不存在延遲失真，只有固定的時間延遲。 (2)由于不存在穩(wěn)定性問題，所以設計相對簡單。 (3)只包含實數(shù)算法，不涉及復數(shù)算法，不需要遞推運算，長度為 M的濾波器 (階數(shù)為 M1)，它的計算值約為 M/2 。 另外，也應看到， IIR 濾波器雖然設計簡單，但主要是用于設計具有分段常數(shù)特性的濾波器，如低通、高通、帶通和帶阻等，往往脫離不了模擬濾波器的格局。而 FIR 濾波器則要靈活的多，尤其是他易于適應某些特殊應用，如構成數(shù)字微分器或希爾伯特變換器等，因而有更大的適應性和廣闊的應用領域。 從上面的簡單比較可以看到 IIR 與 FIR 濾波器各有所長，所以在實際應用時應該從多方面考慮來加以選擇。從使用要求來看，在對相位要求不敏感的場合，如語言通信等選用 IIR 較為合適，這樣可以充分發(fā)揮其經(jīng)濟高效的特點 。對于圖像信號處理，數(shù)據(jù)傳輸?shù)纫圆ㄐ螖y帶信息的系統(tǒng)，則 對線性相位要求較高。如果有條件，采用 FIR濾波器較好。當然在實際應用中可能還要考慮更多方面的因素。 FIR 濾波器的設計方法 FIR 濾波器的設計方法主要有窗函數(shù)設計法和頻率抽樣設計法，其中窗函數(shù)設計法是最基本的設計方法， =III。在設計 FIR 濾波器中，一個最重要的計算就是加窗，采用矩形窗是最直接和簡便的方法，但采用矩形窗存在較大的 Gibbis 效應，且矩形窗的第一旁瓣與主瓣相比僅衰減 13 dB，因此實際設計中一般采用其他窗函數(shù)，比較常用的窗函數(shù)有 Hanning窗、 Hamming窗、 Blackman 窗、Kaiser 窗等，采用 Hanning 窗能使能量集中在主瓣內，第一旁瓣的衰減為 31dB,但是主瓣的寬度增加了一倍，采用 Hamming窗使 %以上的能量集中在主瓣，第一旁瓣的衰減達到 43 dB，主瓣的寬度也是矩形窗的 2 倍。 Blackman 窗進一步抑制旁瓣，使第一旁瓣的衰減達到 58 dB，但主瓣的寬度是矩形窗的 3 倍，以上三種窗函數(shù)都是以增加主瓣寬度為代價換取一定程度的旁瓣抑制。而 Kaise:窗可以通過調整參數(shù)值來折中選擇主瓣寬度和旁瓣衰減，采用 Kaise:窗設計 FIR濾波器具有很大的靈活性。武漢理 工大學碩士學位論文 MATLAB 是美國 Mathworks公司與 1967年推出的軟件包，它是一個功能強、效率高、便于進行科學計算和工程計算的交互式軟件包，其中包括 :一般數(shù)值分析、矩陣運算、數(shù)字信號處理、建模和系統(tǒng)控制、優(yōu)化等應用程序。 MATLAB 中的工具箱 (Toolbox)包含了許多實用程序。濾波器設計包含在 Toolbox 下的 Signal 中 I9I。目前，新版本的 MATLAB 軟件 ()已經(jīng)集成了 TI 公司的 C2021, C5000, C6000 系列 DSP 的開發(fā)工具包，可在 MATLAB/SIMULINK環(huán)境中用圖形化的方式進行 DSP 的設計和仿真驗證，并能將設計的圖形文件 .mdl直接轉換成 C語言程序，其中 C2021系列的開發(fā)工具是 Embedded Target for TI C2021 DSP。該工具包是 TI 公司與 Mathmorks 公司共 同開發(fā)的產(chǎn)品，在 MATLAB/SIMULINK環(huán)境中嵌入了 eXpressDSP 工具箱，支持 C24X 及 C28X 系列的 DSP 處理器。在 C24X 系列 DSP 工具箱中包含了 DSP 處理器中的模 /數(shù)轉換 ADC, CAN 發(fā)送及接收、 PWM控制等模塊。用戶可以在 MATLAB 中調用這些圖形化的功能模塊及 S IMULINK 環(huán)境中的其他模塊建立數(shù)字信號處理的模型，并可以對模塊進行仿真驗證，然后生成 DSP 的 C 語言代碼及 CCS 的工程項目文件，在 CCS 中修改、編譯后就可以下載到 DSP 目標板中運行。 MATLAB 提供了相應的子程序來實現(xiàn)窗函數(shù)，例如 : wd=boxcar(N)數(shù)組 wd 中返回 N 點矩形窗函數(shù) wd=triang(N)%數(shù)組 wd 中返回 N 點三角窗函數(shù) wd=hanning(N)%數(shù)組 wd 中返回 N 點漢寧窗函數(shù) wd=hamming(N)%數(shù)組 wd 中返回 N 點哈明窗函數(shù) wd=blackman(N)%數(shù)組 wd 中返回 N 點布萊克曼窗函數(shù) wd=kaiser(N, beta)%數(shù)組 wd 中返回給定 beta 值時 N 點凱澤窗函數(shù) 這些函數(shù)的輸入一般只要窗函數(shù)的長度 N 就夠了，只有凱澤窗還需要規(guī)定 beta 值。輸出變元就是中心值歸一化為 1的窗函數(shù)序列 wd，它是列向量。 MATLAB 是用顏色區(qū)分并標注各條曲線的，在黑白印刷時無法表示。用戶可以在計算機上得到相似的以不同顏色區(qū)分的圖形。用窗函數(shù)設計 FIR濾波器的步驟為 : (1)根據(jù)對過渡帶寬 及阻帶衰減要求，選擇窗函數(shù)的類型并估計窗口長度 N。窗函數(shù)類型可根據(jù)其阻帶最小衰減 As 的條件獨立選擇，因為其長度 N 對阻帶最小衰減沒有影響。在確定窗函數(shù)類型后，就可以根據(jù)過渡帶寬小于給定指標的條件，確定所擬用的窗函數(shù)長度 N，設待求濾波器的過渡帶為△ w，它近似與窗口長度 N 成反比。窗函數(shù)類型確定后，其計算公式也確定了，不過這些公式是近似的，得出的長度還要在計算中逐步修正。原則是在保證阻帶最小衰減滿足要求的情況下盡量選擇較小的 N。在 N 和窗函數(shù)類型確定后即可用 MATLAB 中的窗函數(shù)求出 wd。 (2)根據(jù)待求濾波 器的理想頻率響應求出單位脈沖響應 hd(n)。如果給出待求濾波器的頻率響應為 hd(e39。W)，那么其單位脈沖響應用傅立葉反變換求出。在一般情況下， hd(n)是不能用封閉公式表示的，需要采用數(shù)值方法，從 w=0 到 w=2pi采樣 N 點，靠 IDFT 求出。對于分段為常數(shù)的理想幅頻特性，可以利用 MATLAB 編出一個計算理想低通濾波器頻率特性的子程序。其他選頻濾波器特性都可以由低通特性合成。因此可以調用這個子程序進行代數(shù)運算得到其理想特性。其子程序如下 : function hd=ideallp(wc, N)。 % hd=點 0 到 N1 之間的理想脈沖響應 %wc=截止頻率 (弧度 ) %N=理想濾波器的長度 tao=(N1)/2。 n=(0: (N1)]。 m=ntao+epa。%加一個小數(shù)以避免零作除數(shù) hd=sin(wc*m)./(pi*m)。 對于高通、帶通、帶阻以及多段濾波特性而言，只要其理想