【正文】 F， Digital Filter）。 凡是有能力進(jìn)行信號(hào)處理的裝置都可以稱為濾波器。在近代電信設(shè)備和各類控制系統(tǒng)中，濾波器應(yīng)用極為廣泛；在所有的電子部件中，使用最多，技術(shù)最為復(fù)雜的要算濾波器了。濾波器的優(yōu)劣直接決定產(chǎn)品的優(yōu)劣，所以，對(duì)濾波器的研究和生產(chǎn)歷來為各國所重視。 1917 年美國和德國科學(xué)家分別發(fā)明了 LC 濾波器，次年導(dǎo)致了美國第一個(gè) 多路復(fù)用系統(tǒng)的出現(xiàn)。 20 世紀(jì) 50 年代無源濾波器日趨成熟。自 60 年代起由于計(jì)算機(jī)技術(shù)、集成工藝和材料工業(yè)的發(fā)展，濾波器發(fā)展上了一個(gè)新臺(tái)階，并且朝著低功耗、高精度、小體積、多功能、穩(wěn)定可靠和價(jià)廉方向努力，其中小體積、多功能、高精度、穩(wěn)定可靠成為 70 年代以后的主攻方向。導(dǎo)致 RC 有源濾波器、數(shù)字濾波器、開關(guān)電容濾波器和電荷轉(zhuǎn)移器等各種濾波器的飛速發(fā)展，到 70 年代后期，上述幾種濾波器的單片集成已被研制出來并得到應(yīng)用。 80 年代，致力于各類新型濾波器的研究，努力提高性能并逐漸擴(kuò)大應(yīng)用范圍。 90 年代至現(xiàn)在主要致力于把各類濾 波器應(yīng)用于各類產(chǎn)品的開發(fā)和研制。當(dāng)然，對(duì)濾波器本身的研究仍在不斷進(jìn)行。 我國廣泛使用濾波器是 50 年代后期的事，當(dāng)時(shí)主要用于話路濾波和報(bào)路濾波。經(jīng)過半個(gè)世紀(jì)的發(fā)展，我國濾波器在研制、生產(chǎn)和應(yīng)用等方面已納入國際發(fā)展步伐，但由于缺少專門研制機(jī)構(gòu)，集成工藝和材料工業(yè)跟不上來，使得我國許多新型濾波器的研制應(yīng)用與國際發(fā)展有一段距離。 目前數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)有許多現(xiàn)成的高級(jí)語言設(shè)計(jì)程序，但他們都存在設(shè)計(jì)效率較低，不具有可視圖形，不便于修改參數(shù)等缺點(diǎn)，而 Matlab 為數(shù)字濾波的研究和應(yīng)用提供了一個(gè)直觀、高效、便捷的利器。他 以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)，把計(jì)算、可視化、程序設(shè)計(jì)融合到了一個(gè)交互式的工作環(huán)境中。尤其是 Matlab 工具箱使各個(gè)領(lǐng)域的研究人員可以直觀方便地進(jìn)行科學(xué)研究與工程應(yīng)用。其中的信號(hào)處理 第 2 頁 工具箱、圖像處理工具箱、小波工具箱等更是為數(shù)字濾波研究的蓬勃發(fā)展提供了可能。 IIR 數(shù)字濾波器選題意義 數(shù)字濾波器 (Digital Filter)在數(shù)字信號(hào)處理（ DSP, Digital Signal Processing）中具有非常重要的作用。在許多應(yīng)用中，例如數(shù)據(jù)壓縮、生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理、語音處理、數(shù)據(jù)傳輸、數(shù)字音頻、電話回音對(duì)消 等等，數(shù)字濾波器和模擬濾波器相比因?yàn)榫哂腥缦乱粋€(gè)或多個(gè)優(yōu)勢而被優(yōu)先采用。 (1) 數(shù)字濾波器可以具有模擬濾波器不可能具有的某些特征，例如真正的線性相位響應(yīng)。 (2) 數(shù)字濾波器的性能不像模擬濾波器那樣隨環(huán)境的改變（例如溫度的變化）而改變。這樣就不必經(jīng)常去校驗(yàn)。 (3) 如果利用一個(gè)可編程的處理器來實(shí)現(xiàn)，那么數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)就能被自動(dòng)地調(diào)整。這就是為什么在自適應(yīng)的濾波器中廣泛利用數(shù)字濾波器的原因。 (4) 幾個(gè)輸入信號(hào)或通道可以用一個(gè)數(shù)字濾波器來濾波，而不需要重復(fù)硬件。 (5) 濾波過的和未濾波的數(shù)據(jù)都可 以將其存儲(chǔ)以備將來使用。 (6) 可以充分利用在 VLSI 技術(shù)方面的技術(shù)進(jìn)展來制造數(shù)字濾波器，使濾波器體積更小、功耗低、價(jià)格便宜。 (7) 在實(shí)踐中，模擬濾波器能達(dá)到的精度是受限制的。例如，利用現(xiàn)有的元件設(shè)計(jì)的有源濾波器，通?？赡苓_(dá)到最大阻帶衰減是 6070dB。而對(duì)于數(shù)字濾波器，它的精度僅受限于它所采用的字長。 (8) 數(shù)字濾波器可以以極低的頻率運(yùn)行，例如在生物醫(yī)學(xué)中有許多極低頻率應(yīng)用的例子，在這些應(yīng)用中采用模擬濾波器是不現(xiàn)實(shí)的。另外，數(shù)字濾波器僅通過改變抽樣頻率就可以在很大的頻率范圍內(nèi)工作。 和模擬 濾波器相比，數(shù)字濾波器主要有以下缺點(diǎn)： (1) 速度限制：數(shù)字濾波器能實(shí)時(shí)處理的最大信號(hào)帶寬，比模擬濾波器低得多。在實(shí)時(shí)情況下，模擬 數(shù)字 模擬轉(zhuǎn)化過程對(duì)數(shù)字濾波器的性能引入了速度的限制。 ADC 的轉(zhuǎn)換時(shí)間和 DAC 的建立時(shí)間限制了能夠處理的最高頻率。此外，數(shù)字濾波器的運(yùn)行速度，依賴于所用到的數(shù)字處理器的速度，以及濾波算法必須 第 3 頁 執(zhí)行的算術(shù)操作的數(shù)目。濾波器的響應(yīng)越緊湊，則濾波器的速度越快。 (2) 有限字長效應(yīng)：數(shù)字濾波器受量化一個(gè)連續(xù)信號(hào)而引起的 ADV 噪聲的影響，以及在計(jì)算過程中發(fā)生的舍入噪聲的影響。遞歸濾波器 的階數(shù)越高，舍入噪聲的累計(jì)就越大，可能會(huì)引起濾波器的不穩(wěn)定。 (3) 設(shè)計(jì)和開發(fā)期限長：數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)和開發(fā)期限，特別是硬件的開發(fā)可能比模擬濾波器要長得多。不過，一旦硬件和 /或軟件開發(fā)出來，不需要或者稍加變動(dòng)就可以將其用在別的濾波任務(wù)或者 DSP 任務(wù)中。好的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（ CAD）支持軟件使得設(shè)計(jì)濾波器成為一項(xiàng)令人愉快的任務(wù)，但是如何充分而有效地利用這些輔助工具就需要專門的技術(shù)了。 數(shù)字濾波器的發(fā)展及前景 數(shù)字濾波是數(shù)字信號(hào)處理理論的重要組成部分。數(shù)字信號(hào)處理主要是研究用數(shù)字或符號(hào)的序列來表示 信號(hào)波形，并用數(shù)字的方式去處理這些序列， 以 便估計(jì)信號(hào)的特征參量，或削弱信號(hào)中的多余分量或增強(qiáng)信號(hào)中的有用分量。具體來說，凡是用數(shù)字方式對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波、變換、調(diào)制、解調(diào)、均衡、增強(qiáng)、壓縮、估值、識(shí)別、產(chǎn)生等加工處理，都可納入數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域。數(shù)字信號(hào)處理學(xué)科的一項(xiàng)重大進(jìn)展是關(guān)于數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法的研究。關(guān)于數(shù)字濾波器，早在上世紀(jì) 40 年代末期，就有人討論過它的可能性問題，但直到 60 年代中期，才開始形成關(guān)于數(shù)字濾波器的一整套完整的正規(guī)理論。在這一時(shí)期，提出了各種各樣的數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)，有的以運(yùn)算誤差最小為特點(diǎn)，有的 則以運(yùn)算速度高見長，而有的則二者兼而有之 ,從而出現(xiàn)了數(shù)字濾波器的各種逼近方法和實(shí)現(xiàn)方法，對(duì)遞歸和非遞歸兩類濾波器作了全面的比較，統(tǒng)一了數(shù)字濾波器的基本概念和理論。 數(shù)字濾波器領(lǐng)域的一個(gè)重要發(fā)展是對(duì)有限沖激響應(yīng) (FIR)和無限沖激響應(yīng)(IIR)關(guān)系的認(rèn)識(shí)的轉(zhuǎn)化。在初期，一般認(rèn)為 IIR 濾波器比 FIR 濾波器具有更高的運(yùn)算效率，因而明顯地傾向于前者，但當(dāng)人們提出用快速傅立葉變換 (FFT)實(shí)現(xiàn)卷積運(yùn)算的概念之后，發(fā)現(xiàn)高階 FIR 濾波器也可以用很高的運(yùn)算效率來實(shí)現(xiàn)，這就促使人們對(duì)高性能 FIR 濾波器的設(shè)計(jì)方法和數(shù)字濾波器的 頻域設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了大量的研究，從而出現(xiàn)了此后數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中頻域方法和時(shí)域方法并駕齊驅(qū)的局面。然而，這些均屬數(shù)字濾波器的早期研究。早期的數(shù)字濾波器盡管在語音、聲納、地震和醫(yī)學(xué)的信號(hào)處理中曾經(jīng)發(fā)揮過作用，但由于當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)主機(jī)的價(jià)格 第 4 頁 很昂貴，嚴(yán)重阻礙了專用數(shù)字濾波器的發(fā)展，使數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)僅僅是對(duì)相應(yīng)模擬濾波器的逼近。上世紀(jì) 70 年代科學(xué)技術(shù)蓬勃發(fā)展，數(shù)字信號(hào)處理開始與大規(guī)模和超大規(guī)模集成電路技術(shù)，微處理器技術(shù)、高速數(shù)字算術(shù)單元、雙極型高密度半導(dǎo)體存儲(chǔ)器、電荷轉(zhuǎn)移器件等新技術(shù)、新工藝相結(jié)合，并且引進(jìn)了計(jì)算機(jī)輔助設(shè) 計(jì)方法。一般說來，通過對(duì)模擬濾波器函數(shù)的變換來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，很難達(dá)到逼近任意頻率響應(yīng)或沖激響應(yīng)，而采用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)則有可能實(shí)現(xiàn)頻域或時(shí)域的最佳逼近，或頻域時(shí)域聯(lián)合最佳逼近。這樣，數(shù)字濾波器的分析與設(shè)計(jì)的內(nèi)容也更加豐富起來，各種新的數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)，也都能用專用數(shù)字硬件實(shí)時(shí)加以實(shí)現(xiàn)。 恩格斯曾經(jīng)指出 :“科學(xué)的發(fā)生和發(fā)展一開始就是由生產(chǎn)決定的 ”。數(shù)字信號(hào)處理理論與技術(shù)的發(fā)展，主要是由于電子計(jì)算機(jī)與大規(guī)模集成電路的大量生產(chǎn)和廣泛應(yīng)用，替代了原來的模擬信號(hào)處理中的線性濾波與頻譜分析所應(yīng)用的模擬計(jì)算機(jī)和分立元件 RLC線性網(wǎng)絡(luò)，高度發(fā)揮了計(jì)算技術(shù)與數(shù)字技術(shù)相結(jié)合的特色和優(yōu)越性。特別是微處理器和微型計(jì)算機(jī)技術(shù)日新月異的發(fā)展，更有利于電子儀器與電子技術(shù)應(yīng)用系統(tǒng)朝著數(shù)字化、小型化、自動(dòng)化以及多功能化等方向發(fā)展，促使它們成為富有智能型的電子系統(tǒng)?，F(xiàn)在，包括數(shù)字濾波在內(nèi)的數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)正以驚人的速度向縱深和高級(jí)的方向發(fā)展，據(jù)估計(jì)這種趨勢還要持續(xù)一個(gè)較長的時(shí)期，未來的發(fā)展可能會(huì)比過去的進(jìn)程更為激動(dòng)人心，必將引起某些領(lǐng)域的飛躍性轉(zhuǎn)折。 第 5 頁 2 數(shù)字濾波器基本理論 數(shù)字濾波器 概念： 數(shù)字濾波器是具有一定傳輸選擇特性的 數(shù)字信號(hào)處理裝置 ,其輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào) ,實(shí)質(zhì)上是一個(gè)由有限精度算法實(shí)現(xiàn)的線性時(shí)不變離散系統(tǒng)。它的基本工作原理是利用離散系統(tǒng)特性對(duì)系統(tǒng)輸入信號(hào)進(jìn)行加工和變換 ,改變輸入序列的頻譜或信號(hào)波形 ,讓有用頻率的信號(hào)分量通過 ,抑制無用的信號(hào)分量輸出。數(shù)字濾波器和模擬濾波器有著相同的濾波概念 ,根據(jù)其頻率響應(yīng)特性可分為低通、高通、帶通、帶阻等類型 ,與模擬濾波器相比 ,數(shù)字濾波器除了具有數(shù)字信號(hào)處理的固有優(yōu)點(diǎn)外 ,還有濾波精度高 (與系統(tǒng)字長有關(guān) )、穩(wěn)定性好 (僅運(yùn)行在 0 與 l 兩個(gè)電平狀態(tài) )、靈活性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。 時(shí)域離散系統(tǒng)的頻域特性 : ,其中 、 分別是數(shù)字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性（或稱為頻譜特性） , 是數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)的頻譜，又稱為數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)。輸入序列的頻譜 經(jīng)過濾波后 ,因此，只要按照輸入信號(hào)頻譜的特點(diǎn)和處理信號(hào)的目的， 適當(dāng)選擇 ， 使得濾波后的 滿足設(shè)計(jì)的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。 數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(yīng) (IIR)數(shù)字濾波器和有限長沖激響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器。 IIR 數(shù)字濾波器的特征是，具有無限持續(xù)時(shí)間沖激響應(yīng)，需要用遞歸模型來實(shí)現(xiàn) ，其差分方程為： 系統(tǒng)函數(shù)為： 設(shè)計(jì) IIR濾波器的任務(wù)就是尋求一個(gè)物理上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù) H(z)，使其頻率響應(yīng) H(z)滿足所希望得到的頻域指標(biāo)，即符合給定的通帶截止頻率、阻帶 第 6 頁 截止頻率、通帶衰減系數(shù)和阻帶衰減系數(shù)。 數(shù)字濾波器通常根據(jù)系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的長度分為兩大類，即無限長沖擊響應(yīng) (IIR, Infinite Impulse Response)濾波器和有限長沖擊響應(yīng) (FIR, Finite Impulse Response)濾波器。在基本形式上，每一種濾波器都可以用它的沖擊響應(yīng)序列h(k)(k=0,1,……) 來表示。濾波器的輸入輸出信號(hào)通過卷積和相聯(lián)系，式 (1)給出了IIR 濾波器的相關(guān)公式，式 (2)給出了 FIR 濾波器的相關(guān)公式。 y(n)=????0k)kn(x)k(h (1) y(n)=??? ?1N0k )kn(x)k(h (2) 從這些等式可知， IIR 濾波器的沖激響應(yīng)具有無限的持續(xù)時(shí)間，而 FIR 濾波器的沖激響應(yīng)具有有限持續(xù)時(shí)間，因?yàn)?FIR 的 h(k)只有 N 個(gè)值。在實(shí)際中，利用式 (1)來計(jì)算 IIR 濾波器的輸出是不可行的，因?yàn)樗臎_擊響應(yīng)的長度太長（理論上是無窮大的）。 濾波器有各種不同的分類方法，一般有以下三種。 (1) 按處理信號(hào)類型分類 根據(jù)被處理信號(hào)的類型，可分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器兩大類。其中模擬濾波器又可分為有源、無源、異類三個(gè)分類；數(shù)字濾波器又可分為數(shù)字、取樣模擬、混合三個(gè)分類。當(dāng)然，每 個(gè)分類又可繼續(xù)分下去。 實(shí)際上有些濾波器很難歸于哪一類，例如開關(guān)電容濾波器即可以屬于取樣模擬濾波器，又可以屬于混合濾波器，還可以屬于有源濾波器。因此，不必苛求這種 “精確 ”分類，只是讓人們了解濾波器的大體類型，有個(gè)總體概念就行了。 (2) 按處理的物理量分類 按處理的物理量分類，濾波器可以分為頻率選擇、幅度選擇、時(shí)間選擇（例如 PCM 制中的話路信號(hào)）和信息選擇（例如匹配濾波器）等四類濾波器。 (3) 按頻率通帶范圍分類 第 7 頁 按頻率通帶范圍分類，濾波器可分為低通、高通、帶通、帶阻、全通五個(gè)類別。 設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器通常包括下面 5 個(gè)步驟： （ 1）濾波器要求的規(guī)范。 （ 2）合適的濾波器系數(shù)的計(jì)算。 （ 3）用一個(gè)適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)來表示濾波器（實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)）。 （ 4）有限字長效應(yīng)對(duì)濾波器性能的影響的分析。 （ 5）用軟件和 /或者硬件來實(shí)現(xiàn)濾波器。 這五個(gè)步驟不是必需相互獨(dú)立的，它們也不是總要按照上面給出的順序執(zhí)行。實(shí)際上經(jīng)常把第二步、第三步和第四步組合在一起進(jìn)行。 所謂脈沖響應(yīng)不變法就是使數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)序列 h(n)等于模擬濾波器的脈沖響應(yīng) ha(t)的采樣值，即 ? ? ? ?nThthnhanTta ?? ?)( 式中， T 為采樣周期。 因此數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)可由下式求得： ? ? ? ?? ?nThZnhZzHa?? )()( Z[]表示對(duì) []的內(nèi)容進(jìn)行 Z變換， Z變換的內(nèi)容請(qǐng)參考相應(yīng)的數(shù)字信號(hào)處理教材。 如果已經(jīng)獲得了滿足性能指標(biāo)的模擬濾波器的傳遞函數(shù) ??sHa，求與之對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) H(z)的方法是： 求模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng) ??tha。 ? ? ? ?