《iir濾波器設(shè)計(jì)》word版-文庫吧
2025-01-03 13:20 本頁面
【正文】 性濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定以后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)和，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，因此 = ()如果能由，，求出，那么就可以求出所需的，對(duì)于上面介紹的典型濾波器，其幅度平方函數(shù)有自己的表達(dá)式，可以直接引用。這里要說明的是必須是穩(wěn)定的。因此極點(diǎn)必須落在s平面的左半平面，相應(yīng)的的極點(diǎn)落在右半平面。 模擬原型濾波器及最小階數(shù)的選擇 巴特沃斯濾波器及最小階數(shù)的選擇巴特沃斯濾波器是最基本的逼近方法形式之一。它的幅頻特性模平方為 ()式中N是濾波器的階數(shù)。當(dāng)Ω=0時(shí)，；當(dāng)Ω=時(shí)，是3dB截止頻率。，這一幅頻特性具有下列特點(diǎn)：（1）最大平坦性：可以證明：在Ω=0點(diǎn)，它的前（2N1）階導(dǎo)數(shù)都等于0，這表明巴特沃斯濾波器在Ω=0附近一段范圍內(nèi)是非常平直的，它以原點(diǎn)的最大平坦性來逼近理想低通濾波器?！白钇巾憫?yīng)”即由此而來。（2）通帶，阻帶下降的單調(diào)性。這種濾波器具有良好的相頻特性。（3）3dB的不變性：隨著N的增加，頻帶邊緣下降越陡峭，越接近理想特性，但不管N是多少，幅頻特性都通過3dB點(diǎn)。當(dāng)Ω≥時(shí)，特性以20NdB/dec速度下降。 不同階數(shù)N的巴特沃斯濾波器特性現(xiàn)根據(jù)式（）求巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha（s）。令Ω=s/j，帶入式（）對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)： ()即為的極點(diǎn)，此極點(diǎn)分布有下列特點(diǎn)：(1)的2N個(gè)極點(diǎn)以π/N為間隔均勻分布在半徑為的圓周上，這個(gè)圓稱為巴特沃斯圓。(2)所有極點(diǎn)以jΩ軸為對(duì)稱軸成對(duì)稱分布，jΩ軸上沒有極點(diǎn)。(3)當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，有兩個(gè)極點(diǎn)分布在的實(shí)軸上；N為偶函數(shù)時(shí)，實(shí)軸上沒有極點(diǎn)。所有復(fù)數(shù)極點(diǎn)兩兩呈共軛對(duì)稱分布。=3時(shí)的極點(diǎn)分布。全部零點(diǎn)位于s=∞處。jΩδ N=3時(shí)Ha（s）Ha（s）極點(diǎn)分布為得到穩(wěn)定的，取全部左半平面的極點(diǎn)。 （）當(dāng)N為偶數(shù)時(shí) （）當(dāng)N為奇數(shù)時(shí) （）為使用方便把式（）和式（）對(duì)進(jìn)行歸一化處理，為此，分子分母各除以，并令，稱為歸一化復(fù)頻率：（N為偶數(shù)） （） （N為奇數(shù)）（）用歸一化頻率表示的頻率特性稱為原型濾波特性（Ω?即歸一化復(fù)頻率s? 的虛部）。對(duì)式（）所示的低通巴特沃斯特性用Ω?表示得到： （）稱為巴特沃斯低通原型濾波器幅頻特性。在低通原型濾波頻率特性上，截止頻率=1。若給出模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)性能指標(biāo)要求：通帶邊界頻率，阻帶邊界頻率，通帶波紋，阻帶衰減，要確定butterworth ,，低通濾波器最小階數(shù)N及截止頻率。，，的意義如圖所示。當(dāng)=時(shí)， 即，以截至頻率（幅值下降3dB）為1，化為相對(duì)為相對(duì)的相對(duì)頻率由上式可寫為。同理，當(dāng)=時(shí)， 。由此可見 N應(yīng)向上取整，再用MATLAB 編程計(jì)算濾波器最小階數(shù)N和截止頻率。就是切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)，給定N，ε即可求的2N個(gè)極點(diǎn)分布。由式（）實(shí)部與虛部的正弦和余弦函數(shù)平方約束關(guān)系可以看出，此極點(diǎn)分布滿足橢圓方程，其短軸和長(zhǎng)軸分別為 （）=3時(shí)切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)分布。abσjΩ 極點(diǎn)所在的橢圓可以和半徑為a的圓和半徑為b的圓聯(lián)系起來，這兩個(gè)圓分別稱為巴特沃斯小圓和巴特沃斯大圓。N階切比雪夫?yàn)V波器極點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而橫坐標(biāo)等于N階巴特沃斯小圓極點(diǎn)的橫坐標(biāo)取左半平面的極點(diǎn)： k=1,2…，N （）則切比雪夫?yàn)V波器的系統(tǒng)函數(shù)： （）其中，常數(shù)A=。因而切比雪夫?yàn)V波器的系統(tǒng)函數(shù)表示為： （）切比雪夫?yàn)V波器的截止角頻率不是像巴特沃斯濾波器中所規(guī)定的（3dB）處角頻率，而是通帶邊緣的頻率。若波紋參數(shù)滿足，可以求的3dB處的角頻率為 （）將式（）表示的對(duì)歸一化，得到切比雪夫I型 （）對(duì)不同的N，式（）的分母多項(xiàng)式已制成表格，供設(shè)計(jì)參考。和butterworth低通模擬濾波器設(shè)計(jì)一樣，若給定性能指標(biāo)要求：，，確定Chebyshev低通模擬濾波器最小階數(shù)N和截止頻率（3dB頻率）。 Chbbyshev I型由式可得 故階數(shù)N可由下式求得 式中，截至頻率由上面兩式用Matlab 編程計(jì)算濾波器最小階數(shù)N和截止頻率 Chbbyshev II型Chbbyshev II型通帶內(nèi)是平滑的，而阻帶具有等波紋起伏特性。因此，在階數(shù)N的計(jì)算公式上是相同的，而3dB截止頻率則不同。 橢圓濾波器及最小階數(shù)的選擇橢圓的模擬低通濾波器圓形的平方幅值響應(yīng)函數(shù)為 式中，為小于1的正書，表示波紋情況；為截止頻率；）為橢圓函數(shù)，定義為當(dāng)N為偶數(shù)（N=2m）時(shí),當(dāng)N為奇數(shù)（N=2m+1）時(shí), 其中橢圓模擬濾波器特點(diǎn)是：在通帶和阻帶內(nèi)均具有等波紋起伏特性。何以上濾波器相比，相同的性能指標(biāo)所需要的階數(shù)最小。但頻率響應(yīng)應(yīng)具有明顯的非線性。由式濾波器的階數(shù)可由下式確定， ， 式中 由上式計(jì)算濾波器的最小階數(shù)N和截止頻率。貝塞爾模擬低通濾波器原型的特點(diǎn)是在零頻時(shí)具有最平坦的群延遲，并在整個(gè)通帶內(nèi)延遲幾乎不變。在零頻時(shí)的群延遲為。由于這一特點(diǎn)，貝塞爾模擬濾波器通帶內(nèi)保持信號(hào)形狀不變。濾波器傳遞漢書具有下面形式第3章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 IIR濾波器是一種數(shù)字濾波器，濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如式 （）由于它的脈沖響應(yīng)序列是無限長(zhǎng)的，故稱無限沖激響應(yīng)濾波器。IIR濾波器的設(shè)計(jì)就是根據(jù)濾波器某些性能指標(biāo)要求，設(shè)計(jì)濾波器的分子和分母多項(xiàng)式。它和FIR濾波器相比優(yōu)點(diǎn)是在滿足相同性能指標(biāo)要求條件下，IIR濾波器的階數(shù)要明顯低于FIR濾波器。但I(xiàn)IR濾波器的相位是非線性的。IIR濾波器設(shè)計(jì)方法可分為三種：模擬濾波器變換（經(jīng)典設(shè)計(jì)法）、直接設(shè)計(jì)法、參數(shù)模型設(shè)計(jì)法、最大平滑濾波器設(shè)計(jì)。 IIR濾波器經(jīng)典設(shè)計(jì) 基于模擬濾波器變換原理，首先是根據(jù)濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)出相應(yīng)的模擬濾波器，然后再將設(shè)計(jì)好的模擬濾波器變換成滿足給定技術(shù)指標(biāo)的數(shù)字濾波器。這就是IIR濾波器設(shè)計(jì)的經(jīng)典法。經(jīng)典法可設(shè)計(jì)出低通、高通、帶通、帶阻等各種IIR濾波器。在MATLAB中，經(jīng)典法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器采用下面的主要步驟：模擬低通濾波原型頻率變換模擬離散化IIR濾波器由上可見，經(jīng)典設(shè)計(jì)法是利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)成果。第二步完成后，一個(gè)達(dá)到期望性能指標(biāo)的模擬濾波器（低通、高通、帶通和帶阻）已經(jīng)設(shè)計(jì)出來。第三步離散化主要任務(wù)就是把模擬濾波器變換成數(shù)字濾波器，即把模擬濾波器的系數(shù)映射成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)工作就全部完成。實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù)s域至z域映射有脈沖響應(yīng)不變法和雙線性映射兩種方法。①脈沖響應(yīng)不變法利用模擬濾波器成熟的理論和設(shè)計(jì)方法來設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器是經(jīng)常用的方法。設(shè)計(jì)過程是：按照技術(shù)要求設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通濾波器，得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。這樣設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題就是找這種轉(zhuǎn)換關(guān)系，將s平面上的轉(zhuǎn)換成z平面上的H(z)。為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求：（1）因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。我們知道，模擬濾波器因果穩(wěn)定要求其傳輸函數(shù)的極點(diǎn)全部位于s平面的左半平面；數(shù)字濾波器因果則要求H(z)的極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)。
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