iir濾波器設(shè)計(jì)word版(編輯修改稿)
2025-02-14 13:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 因此，轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)是s平面的左半平面映射z平面的單位圓內(nèi)部。 （2）數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率至間成線性關(guān)系。 將傳輸函數(shù)從s平面?zhèn)鲹Q到z平面的方法有多種，但工程上常用的是脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。我們先研究脈沖響應(yīng)不變法。設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為，相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是，=LT[]LT[.]代表拉氏變換，對進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到，將h(n)= 作為數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)，那么數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)便是h(n)的Z變換。因此脈沖響應(yīng)不變法是一種時域上的轉(zhuǎn)換方法，它是h(n)在采樣點(diǎn)上等于。 設(shè)模擬濾波器只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將用部分分式表示： （）式中為的單階極點(diǎn)。將逆拉氏變換得到： （）式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T,得到： （） 對上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： () 、的極點(diǎn)映射到z平面，其極點(diǎn)變成，系數(shù)不變化。下面我們分析從模擬濾波器轉(zhuǎn)換到數(shù)字濾波器，s平面和z平面之間的映射關(guān)系，從而找到這種轉(zhuǎn)換方法的優(yōu)缺點(diǎn)。這里我們以采樣信號作為橋梁，推導(dǎo)其映射關(guān)系。設(shè)的采樣信號用表示， （）對進(jìn)行拉氏變換，得到： （）式中是在采樣點(diǎn)t=n T時的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)= ，因此得到：上式表示采樣信號的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示： （） 我們知道模擬信號的傅立葉變換和其采樣信號的傅立葉變換和其采樣信號的傅立葉變換之間的關(guān)系滿足式： （）將代入上式，得 （）由 （）、（）式得到： （）上式表明將模擬信號的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期延遲后，再按照（）式映射關(guān)系，映射到z平面上，就得到H（z）。（）式可稱為標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系。下面進(jìn)一步分析這種映射關(guān)系。設(shè) 按照（）式，得到：因此得到： （）那么 上式關(guān)系式說明，s平面的虛軸（）映射z平面的單位圓（），s平面左平面（）映射z平面單位內(nèi)（），s平面右半平面映射ｚ平面單位圓外（）。這說明如果因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換后得到Ｈ（ｚ）仍是因果穩(wěn)定的。另外，注意到z=是一個周期函數(shù)，可寫成M為任意整數(shù)當(dāng)不變，模擬頻率變化2/T的整數(shù)倍時，映射值不變?；蛘哒f，將s平面沿著j軸分割成一條條寬為2/T的水平帶，每條水平面都按照前面分析的映射關(guān)系對應(yīng)著整個z平面。此時所在的s平面與所在的z平面的映射關(guān)系如圖所示。當(dāng)模擬頻率從變化到時，數(shù)字頻率則從變化到，且按照（）式，即與之間成線性關(guān)系。但是，從模擬信號到采樣信號，其拉氏變換要按照 式。其為周期，沿虛軸方向進(jìn)行周期化。如果原模擬信號 得頻帶不是限于之間，則會在得奇數(shù)倍附近產(chǎn)生頻率混疊，從而映射到ｚ平面上，在附近產(chǎn)生頻率混疊。脈沖相應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象如圖所示。這種會使設(shè)計(jì)出的濾波器在附近的頻率特性，程度不同地偏離模擬濾波在 附近的頻率特性，嚴(yán)重時使濾波器不滿足給定的技術(shù)指標(biāo)。因此，希望設(shè)計(jì)的濾波器使帶限濾波器，如果不是帶限的，例如高通濾波器，帶阻濾波器，需要在高通帶阻濾波器之前加保護(hù)濾波器，濾除高于折疊頻率以上的頻帶，以避免產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。但這樣會增加系統(tǒng)的成本和復(fù)雜性，因此，高通與帶阻濾波器不適合用這種方法設(shè)計(jì)。假設(shè)沒有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足將關(guān)系式代入，得到：說明用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器可以很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻響。上式中，的幅度特性與采樣間隔成反比，這樣當(dāng)T較小時，就會有太高的增益。為避免這一現(xiàn)象，令那么,此時一般的極點(diǎn)是一個復(fù)數(shù)，且以共軛成對的形式出現(xiàn)，在式中講一對復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，形成一個二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為，極點(diǎn)為可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)（只有實(shí)數(shù)乘法）的形式為如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為，極點(diǎn)為，則對應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)的具體形式為利用以上這些變換關(guān)系，可以簡化設(shè)計(jì)。②雙線性變換法這種變換方法，采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到177。π/T之間，再用轉(zhuǎn)換到z平面上。設(shè)Ha（s），s=jΩ，經(jīng)過非線性頻率壓縮后用Ha（s1），=jΩ1表示，這里用正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮： （）式中T仍是采樣間隔，當(dāng)Ω1從π/T經(jīng)過0變化到π/T時，Ω則由∞經(jīng)過0變化到+∞，實(shí)現(xiàn)了s平面上整個虛軸完全壓縮到平面上虛軸的177。π/T之間的轉(zhuǎn)換。這樣便有 （）再通過 轉(zhuǎn)換到z平面上，得到： （） （）式（）或式（）稱為雙線性變換。從s平面映射到平面，再從平面映射到z平面。由于從s平面到平面具有非線性頻率壓縮的功能，因此不可能產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。另外，從平面轉(zhuǎn)換到z平面仍然采用標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)換關(guān)系 ，平面的 177。π/T之間水平帶的左半部分映射z平面單位圓內(nèi)部，虛軸映射單位圓。這樣，Ha（s）因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換成的H（z）也是因果穩(wěn)定的。下面分析模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間的關(guān)系。令 ，并代入（）式中，有 （）ImRez平面jΩσs平面jΩ1σ1s1平面π/Tπ/T 雙線性變換法的映射關(guān)系上式說明，s平面上Ω與平面上的ω成非線性正切關(guān)系。在ω=0附近接近線性關(guān)系；當(dāng)ω增加是，Ω增加得愈來愈快；當(dāng)ω趨近π時，Ω趨近于∞。正是因?yàn)檫@種非線性關(guān)系，消除了頻率混疊現(xiàn)象。Ωππ0 雙線性變換法的頻率變換ω與Ω之間的非線性關(guān)系是雙線性變換法的缺點(diǎn)，直接影響數(shù)字濾波器頻響逼真的模仿模擬濾波器的頻響。這種非線性影響的實(shí)質(zhì)問題是：如果Ω的刻度是均勻的，則影射到z平面ω的刻度不是均勻的，而是隨ω增加愈來愈密。000ΩΩωω000ΩΩωω 雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射雙線性變換法可由簡單的代數(shù)公式（）將Ha（s）直接轉(zhuǎn)換成H（z），這是該變換法的優(yōu)點(diǎn)。但當(dāng)階數(shù)稍高時，將H（z）整理成需要的形式，也不是一件簡單的工作。 IIR濾波器直接設(shè)計(jì) IIR數(shù)字濾波器的經(jīng)典設(shè)計(jì)法只限于幾種標(biāo)準(zhǔn)的低通、高通、帶通、帶阻濾波器，而對于具有形狀或多頻帶濾波器的設(shè)計(jì)是無能為力的。 如果所設(shè)計(jì)IIR濾波器幅頻特性比較復(fù)雜，可采用最小二乘法擬合給定的幅頻響應(yīng)，使設(shè)計(jì)的濾波器幅頻特性逼近期望的頻率特性，這種方法稱為IIR濾波器的直接設(shè)計(jì)法。 MATLAB信號處理工具箱函數(shù)YULEWALK采用直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器。函數(shù)YULEWALK采取下面步驟計(jì)算分子多項(xiàng)式：（1） 計(jì)算與分子多項(xiàng)式相應(yīng)的幅值平方響應(yīng)的輔助式；（2） 由輔助分子式和分母多項(xiàng)式計(jì)算完全的頻率響應(yīng)；（3） 計(jì)算濾波器的脈沖響應(yīng)；（4） 采用最小二乘法擬合脈沖響應(yīng)最終求得濾波器的分子多項(xiàng)式系數(shù)。 函數(shù)YULEWALK允許我們
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