【文章內容簡介】 術指標設計模擬低通濾波器G(s)(G(s)是低通濾波器的傳遞函數)。(3)再按照一定的規(guī)則將G(s)轉換成H(z)(H(z)是數字濾波器的傳遞函數)。若設計的數字濾波器是低通的，上述的過程可以結束，若設計的是高通、帶通或者是帶阻濾波器，那么還需要下面的步驟：將高通、帶通或帶阻數字濾波器的技術指標轉換為低通模擬濾波器的技術指標，然后設計出低通G(s)，再將G(s)轉換為H(z)。Matlab信號工具箱提供了幾個直接設計IIR數字濾波器的函數，直接調用這些函數就可以很方便地對濾波器進行設計。這里選取巴特沃斯法、切比雪夫I、切比雪夫Ⅱ、橢圓法四種方法進行比較。給出用上述方法設計數字濾波器的函數如下：其中：Wp表示通帶截止頻率；Ws表示阻帶截止頻率；Rp表示通帶紋波系數；Rs表示阻帶紋波系數；N表示濾波器最小階數；Wn表示截止頻率。b，a分別表示階次為N+1的數字濾波器系統(tǒng)傳遞函數的分子和分母多項式系數向量；Fs為采樣頻率；n為在區(qū)間[O Fs]頻率范圍內選取的頻率點數；f記錄頻率點數。n取2的冪次方，可以提高運算的速度，因為freqz函數采用基2的FFT算法。ftype=high時，為高通濾波器；ftype=bandpass時，為帶通濾波器；ftype=stop時，為帶阻濾波器。(1)在低通濾波器中的比較假如：Wp=20 Hz，Ws=50 Hz，Fs=200，Rp=1 dB，Rs=30 dB，分別用Butterworth低通濾波器、Chebyshev I型低通濾波器、ChebyshevⅡ型低通濾波器、橢圓低通濾波器四種方法進行設計，如圖1所示。(2)在高通濾波器中的比較假如：Wp=50 Hz，Ws=20 Hz，Fs=200，Rp=1 dB，Rs=30 dB，分別用Butterworth高通濾波器、Chebyshev I型高通濾波器、ChebyshevⅡ型高通濾波器、橢圓高通濾波器四種方法進行設計，如圖2所示。(3)在帶通濾波器中的比較假如：Wp=[100，200]，Ws=[50，250]，Rp=3 dB，Rs=30 dB，Fs=1 000，分別用Butterworth帶通濾波器、Chebyshev I型帶通濾波器、ChebyshevⅡ型帶通濾波器、橢圓帶通濾波器四種方法進行設計，如圖3所示。(4)在帶阻濾波器中比較假如：Wp=[100，200]，Ws=[50，250]，Rp=3 dB，Rs=30 dB，Fs=1 000，分別用Butterworth帶阻濾波器、Chebyshev I型帶阻濾波器、ChebyshevⅡ型帶阻濾波器、橢圓帶阻濾波器四種方法進行設計，如圖4所示。 比較結果分析通過對各種類型的濾波器通過不同的方法進行設計，可以使一些結論得到驗證。利用Butterworth濾波器、Chebysheve I型濾波器、ChebysheveⅡ型濾波器、橢圓濾波器都可以進行低通、高通、帶通、帶阻濾波器的設計，但是各有特點。Butterworth濾波器通帶內的幅頻響應曲線能得到最大限度的平滑，但犧牲了截止頻率的坡度。Chebysheve I型濾波器通帶內等波紋，阻帶內單調；ChebysheveⅡ型濾波器通帶內單調，然而阻帶內等波紋；橢圓濾波器阻帶和通帶內都是等波紋的，但下降的坡度更大，而且可以以更低的階數實現和其他兩類濾波器一樣的性能指標。3. IIR數字濾波器的設計過程及方法按設計任務，確定濾波器性能要求，制定技術指標用一個因果穩(wěn)定的離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數H(z)逼近此性能指標利用有限精度算法實現此系統(tǒng)函數：如運算結構、字長的選擇等實際技術實現：軟件法、硬件法或DSP芯片法IIR數字濾波器的系統(tǒng)函數是z的有理函數，可表示為： （31）系統(tǒng)函數的設計就是要確定系數或者零、極點，以使濾波器滿足給定的性能要求。這種設計一般有3種方法。零極點位置累試法。當濾波器性能未達到要求時，通過多次改變零極點的位置來達到要求。此方法只適用于簡單濾波器。用模擬濾波器理論來設計數字濾波器。在IIR數字濾波器的設計中較多的采用這種方法。本節(jié)將詳細介紹這種方法。用計算機輔助設計，優(yōu)化技術設計。要設計一個數字濾波器去仿真一個模擬濾波器有脈沖響應不變法和雙線性變換法。其設計過程都是由給定的模擬濾波器的系統(tǒng)函數去變換出相應的數字濾波器的系統(tǒng)函數。脈沖響應不變法的設計過程如下： 已知一模擬濾波器系統(tǒng)函數： (設MN) （41） 為方便求出其時域的單位脈沖響應，將上式化為部分分式之和的形式： （42） 由拉氏反變換得模擬濾波器在時域的單位脈沖響應： 由時域的數字仿真條件(即脈沖響應不變準則)可得到相應的數字濾波器的脈沖響應： (43)再對兩邊進行Z變換，即可得到數字濾波器的系統(tǒng)函數： (44) 用脈沖響應不變法來設計數字濾波器，只需將給出的模擬濾波器的系統(tǒng)函數化為部分分式之和的形式，找出極點和系數，帶入數字濾波器傳函當中即可。 （45）由上述和的表達式可看出：是模擬濾波器的一個極點，則相應的就是數字濾波器里的一個極點。推而廣之，則可得到脈沖響應不變法下的s平面和z平面的映射關系：令，可得z平面的模、幅角和s平面的實部、虛部之間的關系： ， 圖41由的周期是2可推得的周期是2/T。注意,由的周期性可見,必須滿足模擬濾波器的最高頻率或頻率響應必須在[/T, /T]上嚴格限帶的。雙線性變換法的思想是：將模擬濾波器的傳遞函數形式化為完全以積分器（1/s）構成的網絡函數形式。然后由數字網絡來代替模擬積分器，從而整個濾波器網絡都轉化成了數字的。雙線性變換法的設計過程如下：： （設M=N以方便說明） （46）：圖424. 積分器的數字形式推導已知：，若積分器的輸入輸出為、則有： （47）設有0,可得： （48）當趨于時，可得： （49）令=nTT，=nT，即，則T0時，有下式成立： （410）令y(n)=(nT),x(n)=(nT),得到數字式積分器的差分方程： （411）對數字式積分器的差分方程兩邊進行Z變換，可得數字式積分器的傳遞函數： （412），信流圖當中的模擬積分器傳遞函數就可以由數字積分器傳遞函數代替。從而得到性能與模擬濾波器相近數字濾波器。 （413）： 或 （414）所以，用雙線性變換法來設計數字濾波器，只需將給出的模擬濾波器的系統(tǒng)函數當中的s替換為一個關于z成雙線性關系的網絡即可。 （415）=+j,z=r可得z平面與s平面的映射關系： （416）即：圖43討論s平面的虛軸與z平面的單位圓之間的映射關系，令=0可得到雙線性變換法下模擬濾波器的角頻率與數字濾波器的角頻率之間的關系： 或 （417）由關系式可知與之間的非線性關系如圖：圖44從而使所設計的數字濾波器的截止頻率發(fā)生變化。設計當中應式子：把已經得到的數字濾波器截止頻率預先變換為。巴特沃斯濾波器，又被稱為“最平”的幅頻響應濾波器。這是因為，該濾波器在通帶內具有最大平坦的幅度特性，而且隨著頻率升高呈現出單調減小的特點。N階低通巴特沃斯濾波器的特性函數為 （418）其中，為通帶寬度，即截止頻率。當階次N增大時，濾波器的特性曲線變得更加陡峭，其特性就越接近于理想的矩形幅頻特性。巴特沃斯濾波器屬于全極點設計，它的極點由下式決定。 （419）