【文章內容簡介】 用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到 π /T～π /T 之間，再用 z=esT 轉換到 Z平面上。也就是說，第一步先將整個 S 平面壓縮映射到 S1平面的 π /T～π /T 一條橫帶里；第二步再通過標準變換關系 z=es1T將此橫帶變換到整個 Z 平面上去。這樣就使 S平面與 Z平面建立了一一對應的單值關系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關系如圖 13 所示。 圖 13雙線性變換的映射關系 為了將 S平面的整個虛軸 jΩ 壓縮到 S1平面 jΩ 1軸上的 π /T到π /T段上，可以通過以下的正切變換實現(xiàn) （ 15） 式中 ,T 仍是采樣間隔。 當 Ω 1 由 π /T 經(jīng)過 0 變化到 π /T 時， Ω 由 ∞ 經(jīng)過 0 變化到 +∞，也即映射了整個 jΩ 軸。將式（ 15）寫成 o－ 1 1Z 平面jI m [ z ]R e [ z ]?? / Tj?1?1－ ?? / TS1平面S 平面j?? o o????????? 2tan2 1TT2/2/2/2/11112TjTjTjTj ee eeTj????? ?????將此關系解析延拓到整個 S 平面和 S1 平面，令 jΩ =s， jΩ 1=s1，則得 再將 S1 平面通過以下標準變換關系映射到 Z平面 z=es1T 從而得到 S平面和 Z平面的單值映射關系為： （ 16） （ 17） 式（ 16）與式（ 17）是 S平面與 Z平面之間的單值映射關系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換 式（ 15）與式（ 16）的雙線性變換符合映射變換應滿足的兩點要求。 首先 ,把 z=ejω ，可得 （ 18） 即 S 平面的虛 軸映射到 Z平面的單位圓。 其次，將 s=σ +jΩ 代入式（ 18），得 因此 由此看出，當 σ 0 時， |z|1；當 σ 0 時， |z|1。也就是說， S 平面的左半平面映射到 Z平面的單位圓內， S 平面的右半平面映射到 Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到 Z 平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。 雙線性變換法優(yōu)缺點 雙線性變換法與脈沖響應不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應的混TsTsTsTsTsTseeTTsTee eeTs 1111 11 1122t a nh22 12/2/2/2/???????????????????11112????? zzTssTsTsTsTz?????? 222121???????????? ?? jTjeeTs jj 2t a n2112 ??????????jTjTz??22222222||???????? ????????? ????TTz疊現(xiàn)象。這是因為 S平面與 Z平面是單值的一一對應關系。 S平面整個 jΩ 軸單 值 地對應于 Z 平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關系。這個關系如式（ 18）所示，重寫如下： 上式表明， S 平面上 Ω 與 Z 平面的 ω 成非線性的正切關系，如圖 77所示。 由圖 77 看出，在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關系接近于線性關系；但當 Ω 進一步增加時， ω 增長得越來越慢，最后當 Ω →∞時，ω 終止在折疊頻率 ω =π處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。 圖 14雙線性變換法的頻率變換關系 但是雙線性變換的這個特點是靠頻率 的嚴重非線性關系而得到的，如式（ 18）及圖 14 所示。由于這種頻率之間的非線性變換關系，就產生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特性），不然變換所產生的數(shù)字濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變，如圖 15 所示。 ???????? 2tan2 ?T?－ ? ?o? ?2ta n2 ?T? ＝ 圖 15 雙線性變換法幅度和相位特 性的非線性映射 對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點產生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預畸來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。 IIR 濾波器的設計過程及 MATLAB 實現(xiàn) IIR 濾波器的設計過程 根據(jù)以上 IIR 數(shù)字濾波器設計 方法，下面 運用 雙線性變換法 基于 MATLAB設計一個 IIR 帶通濾波器，其中帶通的中心頻率為ω p0=， 。通帶截止頻率ωp1= ,ω p2= 。通帶最大衰減α p=3dB。阻帶最小衰減α s=15dB。阻帶截止頻率ω s2= 步驟 ： (1)根據(jù)任務 ,確定性能指標 :在設計帶通濾波器之前 ,首先根據(jù)工程實際的需要確定濾波器的技術指標 : 帶通濾波器的阻帶邊界頻率關于中心頻率ω p0 幾何對稱，因此 ws1=wp0 (ws2wp0)= 通帶截止頻率 wc1= ,wc2= 。阻帶截止頻率 wr1=， wr2=；阻帶最小衰減α s=3dB 和通帶最大衰減α p=15dB。 (2)用Ω =2/T*tan(w/2)對帶通數(shù)字濾波器 H(z)的數(shù)字邊界頻率預畸變，得到帶?o ?oo??)j(a ΩH)(e j ?H? ???ooo)](ea r g [ j ?H)]j(a r g [ a ΩH通模擬濾波器 H(s)的邊界頻率主要是通帶截止頻率ω p1,ω p2。阻帶截止頻率ω s1，ω s2 的轉換。 為了計算簡便，對雙線性變換法一般 T=2s 通帶截止頻率 wc1=(2/T)*tan(wp1/2)=tan( /2)= wc2=(2/T)*tan(wp2/2)=tan( /2)= 阻帶截止頻率 wr1=(2/T)*tan(ws1/2)=tan( /2)= wr2=(2/T)*tan(ws2/2)=tan( /2)= 阻帶最小衰減α s=3dB 和通帶最大衰減α p=15dB。 (3)運用低通到帶通頻率變換公式 λ =(((Ω ^2)(Ω 0^2))/(B*Ω ))將模擬帶通濾波器指標轉換為模擬低通濾波器指標。 B=wc2wc1= normwr1=(((wr1^2)(w0^2))/(B*wr1))= normwr2=(((wr2^2)(w0^2))/(B*wr2))= normwc1=(((wc1^2)(w0^2))/(B*wc1))=1 normwc2=(((wc2^2)(w0^2))/(B*wc2))=1 得出， normwc=1， normwr= 模擬低通濾波器指標： normwc=1， normwr=，α p=3dB，α s=15Db (4)設計模擬低通原型濾波器。用模擬低通濾波器設計方法得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù) Ha(s)。借助巴特沃斯 (Butterworth)濾波器、切比雪夫 (Chebyshev)濾波器、橢圓 (Cauer)濾波器、貝塞爾 (Bessel)濾波器等 。 (5)調用 lp2bp 函數(shù)將模擬低通濾波器轉化為模擬帶通濾波器。 (6)利用雙線性變換法將模擬帶通濾波 器 Ha(s)轉換成數(shù)字帶通濾波器 H(z). IIR 濾波器的 流程框圖 開始 ↓ 讀入數(shù)字濾波器技術指標 ↓ 將指標轉換成歸一化模擬低通濾波器的指標 ↓ 設計歸一化的模擬低通濾波器階數(shù) N和 3db截止頻率 ↓ 模擬域頻率變換，將 G(P)變換成模擬帶通濾波器 H(s) ↓ 用雙線性變換法將 H(s)轉換成數(shù)字帶通濾波器 H(z) ↓ 輸入信號后顯示相關結果 ↓ MATLAB 程序 MATLAB 程序如下 : clear wp0=*pi。wp1=*pi。wp2=*pi。 Ap=3。ws2=*pi。As=15。T=2。 %數(shù)字帶通濾波器技術指標 ws1=wp0(ws2wp0)。 %計算帶通濾波器的阻帶下截止頻率 wc1=(2/T)*tan(wp1/2)。wc2=(2/T)*tan(wp2/2)。 wr1=(2/T)*tan(ws1/2)。wr2=(2/T)*tan(ws2/2)。 w0=(2/T)*tan(wp0/2)。 %頻率預畸變 B=wc2wc1。 %帶通濾波器的通帶寬度