【正文】 了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖24所示。圖24雙線性變換的映射關(guān)系為了將S平面的整個(gè)虛軸jΩ壓縮到S1平面jΩ1軸上的π/T到π/T段上，可以通過(guò)以下的正切變換實(shí)現(xiàn) （式25）式中,T仍是采樣間隔。當(dāng)Ω1由π/T經(jīng)過(guò)0變化到π/T時(shí)，Ω由∞經(jīng)過(guò)0變化到+∞，也即映射了整個(gè)jΩ軸。將式（25）寫(xiě)成 （式26）將此關(guān)系解析延拓到整個(gè)S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，則得 （式27）再將S1平面通過(guò)以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面 （式28）從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為： （式29） （式210）式（29）與式（210）是S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個(gè)線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換式（25）與式（29）的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。首先,把z=ejω，可得 （式211）即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次，將s=σ+jΩ代入式（211），得 （式212）因此 （式213）由此看出，當(dāng)σ0時(shí)，|z|1；當(dāng)σ0時(shí)，|z|1。也就是說(shuō)，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。二、雙線性變換法優(yōu)缺點(diǎn)雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因?yàn)镾平面與Z平面是單值的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。S平面整個(gè)jΩ軸單值地對(duì)應(yīng)于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個(gè)關(guān)系如式（29）所示，重寫(xiě)如下： （式214）上式表明，S平面上Ω與Z平面的ω成非線性的正切關(guān)系，如圖24所示。由圖24看出，在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)Ω進(jìn)一步增加時(shí)，ω增長(zhǎng)得越來(lái)越慢，最后當(dāng)Ω→∞時(shí)，ω終止在折疊頻率ω=π處，因而雙線性變換就不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過(guò)折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。圖25雙線性變換法的頻率變換關(guān)系但是雙線性變換的這個(gè)特點(diǎn)是靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系而得到的，如式（212）及圖24所示。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問(wèn)題。首先，一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對(duì)于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會(huì)有畸變，如圖25所示。圖26雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射對(duì)于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個(gè)分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過(guò)頻率的預(yù)畸變來(lái)加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。3 IIR濾波器的MATLAB設(shè)計(jì)用MATLAB進(jìn)行模擬原型的數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，一般步驟如下:（1）按一定規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)；（2）根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)使用濾波器階數(shù)選擇函數(shù)，確定最小階數(shù)N和固有頻率Wn，根據(jù)選用的模擬低通濾波器的類(lèi)型可分別用: buttord,cheblord，cheb2ord，ellipord等函數(shù)；（3）運(yùn)用最小階數(shù)N產(chǎn)生模擬濾波器原型，模擬低通濾波器的創(chuàng)建函數(shù)有:buttap,cheblap,cheb2ap,ellipap,besselap等；（4）運(yùn)用固有頻率Wn把模擬低通濾波器原型轉(zhuǎn)換成模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器，可分別用函數(shù)lp2lp,lp2hp,lp2bp,lp2bs；（5）運(yùn)用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法把模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，分別用函數(shù)impinva和bilinear來(lái)實(shí)現(xiàn)。低通Chebyshevl型數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì):設(shè)計(jì)中需要限定其通帶上限臨界頻率Wp,阻帶臨界濾波頻率Ws，在通帶內(nèi)的最大衰減Rp，阻帶內(nèi)的最小衰減Rs。其步驟如圖31所示。數(shù)字濾波器的參數(shù)指標(biāo)參數(shù)變化模擬濾波器的參數(shù)數(shù)字濾波器模擬濾波器離散化標(biāo)模擬濾波器的設(shè)計(jì)圖31 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)步驟 （）式中，N為正整數(shù)，稱為濾波器的階數(shù)。N值越大，通帶和阻帶的近似特性就越好。在截止頻率處，幅度平方響應(yīng)為=0處的1/2，相當(dāng)于幅度響應(yīng)的3dB衰減點(diǎn)。其系統(tǒng)函數(shù)為 （）式中，為歸一化常數(shù)，一般；為s平面左半平面的極點(diǎn)。低通巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)步驟如下：（1） 確定階數(shù)N。 取N=4（2） 求極點(diǎn)，， 歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為由N=4直接查表得到：極點(diǎn)： 歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為式中，,（3） 將去歸一化最終得到通過(guò)計(jì)算可以總結(jié)出過(guò)程太麻煩，而且容易出錯(cuò)，結(jié)果不直觀。，通帶最大衰減為1dB，阻帶最小衰減為100dB。用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)巴特沃斯高通濾波器，程序如下：Wp=*pi/T。 Ws=*pi/T。 %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率T=1。 %設(shè)置采樣周期為1fs=1/T。 %采樣頻率為周期倒數(shù)Ap=1。As=100。 %設(shè)置通帶最大和最小衰減 [N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,39。s39。)。 %調(diào)用butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù)[B,A]=butter(N,Wn,39。high39。,39。s39。)。 %調(diào)用butter函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器W=linspace(0,pi,1000*pi)。 %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W)。 %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) [D,C]=impinvar(B,A,fs)。 %調(diào)用脈沖響應(yīng)不變法 Hz=freqz(D,C,W)。 %返回頻率響應(yīng) plot(W/pi,abs(Hz))。 %繪出巴特沃斯數(shù)字高通濾波器的幅頻特性曲線grid on。xlabel(39。Frequency/Hz39。)。ylabel(39。Magnitude39。)。圖32脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的巴特沃斯高通濾波器運(yùn)行波形用雙線性變換法設(shè)計(jì)巴特沃斯高通濾波器，程序如下： Wp=*pi/T。 Ws=*pi/T。 %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率T=1。 %設(shè)置采樣周期為1fs=1/T。 %采樣頻率為周期倒數(shù)Ap=1。As=100。 %設(shè)置通帶最大和最小衰減 [N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,39。s39。)。 %調(diào)用butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù)[B,A]=butter(N,Wn,39。high39。,39。s39。)。 %調(diào)用butter函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器W=linspace(0,pi,400*pi)。 %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W)。 %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) [D,C]=bilinear(B,A,fs)。 %調(diào)用雙線性變換法 Hz=freqz(D,C,W)。 %返回頻率響應(yīng) plot(W/pi,abs(Hz))。 %繪出巴特沃斯數(shù)字高通濾波器的幅頻特性曲線grid on。xlabel(39。Frequency39。)。ylabel(39。Magnitude39。)。圖33雙線性變換法設(shè)計(jì)的巴特沃斯高通濾波器運(yùn)行波形 數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)，，通帶最大衰減為1dB，阻帶最小衰減為100dB。用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)巴特沃斯帶通濾波器，程序如下：Wp1=*pi/T。 Wp2=*pi/T。 Ws1=*pi/T。Ws2=*pi/T。 %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率T=1。 %設(shè)置采樣周期為1fs=1/T。 %采樣頻率為周期倒數(shù)Ap=1。As=100。 %設(shè)置通帶最大和最小衰減Wp=[Wp1,Wp2]。Ws=[Ws1,Ws2]。[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,39。s39。)。 %調(diào)用butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù)[B,A]=butter(N,Wn,39。bandpass39。,39。s39。)。 %調(diào)用butter函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器W=linspace(0,pi,1000*pi)。 %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W)。 %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) [D,C]=impinvar(B,A,fs)。 %調(diào)用脈沖響應(yīng)不變法 Hz=freqz(D,C,W)。 %返回頻率響應(yīng) plot(W/pi,abs(Hz))。 %繪出巴特沃斯數(shù)字帶通濾波器的幅頻特性曲線grid on。xlabel(39。Frequency39。)。ylabel(39。Magnitude39。)。圖34脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的巴特沃斯帶通濾波器運(yùn)行波形用雙線性變換法設(shè)計(jì)巴特沃斯帶通濾波器，程序如下：Wp1=*pi/T。 Wp2=*pi/T。 Ws1=*pi/T。Ws2=*pi/T。 %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率T=1。 %設(shè)置采樣周期為1fs=1/T。 %采樣頻率為周期倒數(shù)Ap=1。As=100。 %設(shè)置通帶最大和最小衰減Wp=[Wp1,Wp2]。Ws=[Ws1,Ws2]。[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,39。s39。)。 %調(diào)用butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù)[B,A]=butter(N,Wn,39。bandpass39。,39。s39。)。 %調(diào)用butter函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器W=linspace(0,pi,1000*pi)。 %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W)。 %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) [D,C]=bilinear(B,A,fs)。 %調(diào)用雙線性轉(zhuǎn)換法 Hz=freqz(D,C,W)。 %返回頻率響應(yīng) plot(W/pi,abs(Hz))。 %繪出巴特沃斯數(shù)字帶通濾波器的幅頻特性曲線grid on。xlabel(39。Frequency39。)。ylabel(39。Magnitude39。)。圖35雙線性變換法設(shè)計(jì)的巴特沃斯帶通濾波器