【正文】 器相匹敵；一般來說，所有的模擬濾波器都有無限長脈沖響應。 因此， IIR 濾波器設計的基本方法是利用復值映射將大家熟知的模擬濾波器變?yōu)閿?shù)字濾波器。這一方法的優(yōu)勢在于各種模擬濾波器的設計（ AFD）表格和映射在文獻中普遍都能獲得。這個基本方法稱為 A/D（模擬 數(shù)字）濾波器變換。然而， AFD 表格僅對低通濾波器適用，而同時也想要涉及其他頻率選擇性濾波器（高通、帶同、帶阻等等）。為此，需要對低通濾波器實行頻帶變換，這些變換也是復值映射，在各種文獻中也能得到。這種 IIR 濾波器設計的基本方法存在兩種途徑： 途徑 1 期望的 IIR 濾波器 途徑 2 期望的 IIR 濾波器 在 MATLAB 中采用第 1 種途徑設計 IIR 濾波器。這些 MATLAB 函數(shù)的直接使用并沒有給出有關任何設計方法的細節(jié)，因此，將研究第 2 種途徑，因為它涉及數(shù)字域的頻帶變換，這樣沒在這種 IIR 濾波器設計方法將按下列步驟進行： （ 1） 設計模擬低通濾波器 （ 2） 研究并實行濾波器變換以得到數(shù)字低通濾波器。 （ 3） 研究并實行頻帶變換以便于數(shù)字低通濾波器得到其他數(shù)字濾波器。 這些途徑存在的主要問題是在 IIR 濾波器的相位特性上沒有一點控設計模擬低通濾波器 實行頻帶交換 S S 實行濾波器交換 S Z 設計模擬 低通濾波器 實行濾波器變換 S Z 實行頻帶交換 Z Z 4 制能力，因此 IIR 濾波器設計將僅作為幅度設計對 待。能夠同時在幅度和相位響應上進行逼近的一些更改復雜的方法需要先進的優(yōu)化工具，從而不再本書的覆蓋范圍之內(nèi)。 首先討論模擬濾波器的設計指標以及在標定模擬濾波器的技術要求中所使用到的幅度水平響應的性質。這將導致三種廣泛采用的模擬濾波器特性，即巴特沃茲（ Butterworth），切比雪夫（ Chbyshev）和橢圓（ Elliptic）濾波器。然后在研究將這些原模擬濾波器轉換到不同的頻率選擇性數(shù)字濾波器的各種變換。最后，對 FIR 和 IIR 數(shù)字濾波器的比較和性能評價做一討論作為本章結束。 某些預備知識 這一節(jié)要討論兩個基 本的問題，第一是要考慮幅度水平響應的技術指標要求，這些模擬（從而在 IIR）濾波器中是更為典型的，而這些技術要求都是在相對線性標尺上給出的。第二是要研究幅度平方響應的性質。 相對線性標尺 設 4H （ j? ）是某個模擬濾波器的頻率響應，那么低通濾波器在幅度平方響應上的技術指標給出為 ||.1|)(H|0||,1H1222211 2?????????????Ajjapa ）（? （ ） 式中 e 是通帶波紋參數(shù)， p? 是通帶截止頻率以 rad/s（弧度 /秒）計， A是阻帶衰減參數(shù)，以及 e? 是阻帶截止頻率以 rad/s 計。這些參數(shù)如圖 所示。 5 由圖可見， 2a )(H ?j 必需滿足 sappaAjHjH???????????,1|)(|,1 1|)(|2222? （ ） 參數(shù) ? 和 A 是分別與以 dB 計的參數(shù) ep AR和 有關系的，這些關系是 10/R101 1l og10 210 pPR ????? ?? （ ） 和 20/210 101log10 AAAA ????? （ ） 波紋 1? 和 2? 的絕對標尺是通過下列式與 ? 和 A有關系的 ： 12 1211 11 111 ?????? ??????? 和 2112 111 ? ??? ????? AA 6 2|)(| ?jHa 性質 利用幅度平方響應給出的模擬濾波器要求（ ）式不包括任何相位信息?，F(xiàn)在，為了要求 s域的系統(tǒng)函數(shù) )(sHa ，考慮 ???? jsHjH saa |)()( 那么有 ???????????? jssHjHjHjHjHjH saaaaaaa |)(H)()()()()(|)(| 42 或者有 jsjHsHsH aaa /||)(|)()( 2??? （ ） 因此，幅度平方函數(shù)的零點和極點相對于 ?j 軸是以鏡像對稱方式分布的。另外， 對于實系數(shù)的濾波器來說，零極點是共軛成對出現(xiàn)的（或者說對實軸成鏡像對稱） c 一種典型的 )()( sHsH aa ? 零極點圖如圖 所示，從這張可以夠造出 )(sHa ，它就是模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。總是要將)(sHa 表示為一個因果和穩(wěn)定的濾波器，那么 )(sHa 的全部極點都必須位于 s平面的左半面。因此將 )()( sHsH aa ? 的全部左半面的極點賦予 )(sHa ，然而， )(sHa 的零極點可位于 s 平面的任何地方。除非這些零極點全都位于 ?j 軸上，否則它們不能唯一地被確定?，F(xiàn)在選取位于左半 面或位于 ?j軸的 )()( sHsH aa ? 零極點作為 )(sHa 的零點。這樣所得到的濾波器稱為最小相位濾波器。 7 圖 典型的 )()(a sHs ?? 零極點圖 原型模擬濾波器特性 IIR 濾波器設汁方法依賴于已有的模擬濾波器得到數(shù)字濾波器，我們將這些模擬濾波器稱作原型揀波器。在實際，扣廣泛采用二種原型濾波器。這一節(jié) 中 簡要綜 述這些原型低通濾波器的特性 :巴特沃茲低通，切比雪夫低通 (I 和 II 型 )和橢圓低通 :盡管我們還是用 MATLAR 函數(shù)來設計這些濾波器，但是仍有必安懂得這些濾波器的特性，以便在 MATIAB 函數(shù)中能使用適當?shù)膮?shù)得出正確的結果。 巴特沃茲低通濾波器 這個濾波器是用這個性質表征的 :它的幅度響應在通帶和 阻帶都是平坦的。一個 N 階低通濾波器的幅度平方響應給出為 Nca jH 22 )_(11|)(|?????? （ ） 式中 N 是濾波器的階， c? (rad/s)是截止頻率。幅度平方響應的圖如下圖所示。 8 從這張圖可看出下面兒個性質 : （ 1） ? =0， 1|)0(| 2?jHa ，對全部 cN （ 2） c??? ，21|)(H| 2??ja，對全部 N，這意味著在 c? 有 3dB 衰減。 (3) 2|)(| ?jHa 是 ? 的單調(diào)下降的函數(shù)。 (4)} 2|)(| ?jHa 隨 N ?? 向一個理想低通濾波器趨近。 (5) 2|)(| ?jHa 在 0?? 是最大平坦，因 為在這里所有階的導數(shù)存在且等于零。 為了確定系統(tǒng)函數(shù) )(sIIa ，現(xiàn)將（ ）式的形式得到 NlNNcjaaa jsjjsjHsHsH s 222)()()(11||)(|)()(?????????? ?? （ ） 由（ ）式分母多項式的根（或 )()( sHsH aa ? 的極點）給出為 12...,1,0,)()1( )12(22 1 ??????? ? Nkejp k r nNrjcNk （ ） （ ）式的一種解釋是： （ 1） )()( sHsH aa ? 總共有 2N 個極點，它們均勻分布在半徑為 c? 的圖上，相隔 N/? 弧度。 （ 2）對 N 為奇數(shù)，極點給出為 12... ,1,0,)12(2 ???? ? Nkp kr nNrjek 。 （ 3）對 N 為偶數(shù)，極點給出為 12... ,1,0,)2( ???? ? Nkp NkNjek ?? 。 （ 4）極點對 ?j 軸是對稱分布的。 （ 5）極點永遠不會落在虛軸上，且僅當 N 為奇數(shù)時才會落在實軸上。 作為一個例子，三階和四階巴特沃茲濾波器的極點分布如圖（ ）所示。 9 圖 巴特沃茲濾波器的極點圖 通過選取在左 半面的極點就能給出一個穩(wěn)定和因果的 )(sHa ，并且能將 )(sHa 寫成 )()( kNpslfea sH???? （ ） 例題 已知6641 1)( ????jH a，求該模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) )(sHa 。 題解 由已知幅度平方相應 )(62)(116411|)(|???????? la jH 與表達式（ ）式比較后得到 N=3 和 )()(. sHsH aac ??? 的極點如圖 所示 圖 例題 的極點圖 所以 ))()(()( 4323ssssssjH ca ??? ??? 10 ))()(( 8/1 jssjs ?????? ))(( ???? sss MATLAB 實現(xiàn) MATLAB 提供了一個稱為 [z,p,k]=buttap(N)的函數(shù)用于設計一個歸一化（即 c? =1）的 N 階巴特沃茲模擬原型濾波器，它產(chǎn)生在數(shù)組 z 中 的零點，數(shù)組 P 中的極點和增益值 k。然而，需要的是具有任意 c? 的非歸一化的巴特沃茲濾波器。從例題 可見不存在零點，而非歸一化濾波器的極點是位于半徑為 c? 的圓上而不是在單位圓上。這意味著必須將這個歸一化濾波器的數(shù)組 P 倍乘以 c? ，而增益 K 倍乘以 Nc? 。在下面的函數(shù) ),( om egacNbuttap?? 中，設計這個非歸一化的巴特沃茲模擬原型 濾波器。 Function［ b,a］ =u_buttap(N,omegac)。 %unnormalized Butterworth Analog Lovpass Filter Prototype % %［ b,a］ =U_buttap(N,omegac)。 % b=numerator polynomial coefficients of Ha(s) % a=denominator poltnomial coefficients of Ha(s) % N=Order of the Butterworth Filter %Omegac=Cutpff frequency in radians/sec %omegac=cutoff frequency in radians/sec % [z,p,k]=buttap(N)。 P=pomegac K=komegacN B=real(poly(z))。 b0=k 11 b=k*B。 a=real(poly(P))。 上面函數(shù)提供了一種直接型（或分子 分母型）結構。也常常需要一種級聯(lián)型結構。第 6 章已經(jīng)研究過如何將一個直接型轉換為一種級聯(lián)型。下面的 sdir2cas 函數(shù)描述了適用于模擬濾波器的這一過程。 Function[c,b,a]=sdir2cas(b,a)。 %DIRECTform to cascadefprm conversion in splane % %[C,B,A]=sdir2cas(b,a) %C=gain coefficienr %B=k by 3 matrix of real coeefficients containing bk’s %A=k by 3 matrir of real coefficients containing ak’s %b=numerator polynomial coefficients of DIRECT form %a=denominator polynomial coefficients of DIRECT form % Na=length(a)1。Nb=length(b)1。 %pite gaom coefficient C B0=b(1)。 b=b/b0。 A0=a(1)。a=a/a0。 C=b0/a0。 % %Denominator secondordersections： P=cplxpair(roots(a))； K=floor(Ka/2)； If k*2==Na %Computation when Na is even A=zeros(K， 3)； For n=1： 2： Na Arow=p(n： 1： n+1，： )； Arow=poly(Arow)； A(fix((n+1)/2))=real(Arow)； End Else if NA==1 % Computation when Na=1 A=[0， real(poly(p))]； Else %putation when Na is odd and 1 A=zeros(K+1， 3)； For n=1： 2： 2*k Arow=p(n： 1： n+1)； Arow=poly(Arow)； 12 A(fix((n+1)/2))=real(Arow)； End A= (K+1， )； =[0， real(poly(p(Na)))] End %Numerator secondordersections： z=cplxpair(roots(b))； K=floor(Nb/2)； If Nb==0 %Computation when Nb=0 B=zeros(K， 3)； For n=1： 2： Nb Brow=z(n： 1： n+1，： )； Brow=poly(Brow)； B(fix((n+1)/2)，： )=real(Brow)； End Else %putation when Nb is odd and 1 B=zeros(K+1， 3)； For n=1： 2： 2*k Brow=z(n： 1： n+1，： )； Brow=poly(Brow)； B(fix((n+1)/2)，： )=real(Brow)； End B(K+1，： )=[0real(poly(z(Nb)))]； End 例題 設計一個 ??c 由例題 給出的三階巴特沃茲模擬原型濾波器。 題解 ―――――――― MATLAB 腳本 N=3。 Omegac=。