【正文】 器相匹敵；一般來說，所有的模擬濾波器都有無限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)。 因此， IIR 濾波器設(shè)計(jì)的基本方法是利用復(fù)值映射將大家熟知的模擬濾波器變?yōu)閿?shù)字濾波器。這一方法的優(yōu)勢(shì)在于各種模擬濾波器的設(shè)計(jì)（ AFD）表格和映射在文獻(xiàn)中普遍都能獲得。這個(gè)基本方法稱為 A/D（模擬 數(shù)字）濾波器變換。然而， AFD 表格僅對(duì)低通濾波器適用，而同時(shí)也想要涉及其他頻率選擇性濾波器（高通、帶同、帶阻等等）。為此，需要對(duì)低通濾波器實(shí)行頻帶變換，這些變換也是復(fù)值映射，在各種文獻(xiàn)中也能得到。這種 IIR 濾波器設(shè)計(jì)的基本方法存在兩種途徑： 途徑 1 期望的 IIR 濾波器 途徑 2 期望的 IIR 濾波器 在 MATLAB 中采用第 1 種途徑設(shè)計(jì) IIR 濾波器。這些 MATLAB 函數(shù)的直接使用并沒有給出有關(guān)任何設(shè)計(jì)方法的細(xì)節(jié)，因此，將研究第 2 種途徑，因?yàn)樗婕皵?shù)字域的頻帶變換，這樣沒在這種 IIR 濾波器設(shè)計(jì)方法將按下列步驟進(jìn)行： （ 1） 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器 （ 2） 研究并實(shí)行濾波器變換以得到數(shù)字低通濾波器。 （ 3） 研究并實(shí)行頻帶變換以便于數(shù)字低通濾波器得到其他數(shù)字濾波器。 這些途徑存在的主要問題是在 IIR 濾波器的相位特性上沒有一點(diǎn)控設(shè)計(jì)模擬低通濾波器 實(shí)行頻帶交換 S S 實(shí)行濾波器交換 S Z 設(shè)計(jì)模擬 低通濾波器 實(shí)行濾波器變換 S Z 實(shí)行頻帶交換 Z Z 4 制能力，因此 IIR 濾波器設(shè)計(jì)將僅作為幅度設(shè)計(jì)對(duì) 待。能夠同時(shí)在幅度和相位響應(yīng)上進(jìn)行逼近的一些更改復(fù)雜的方法需要先進(jìn)的優(yōu)化工具，從而不再本書的覆蓋范圍之內(nèi)。 首先討論模擬濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)以及在標(biāo)定模擬濾波器的技術(shù)要求中所使用到的幅度水平響應(yīng)的性質(zhì)。這將導(dǎo)致三種廣泛采用的模擬濾波器特性，即巴特沃茲（ Butterworth），切比雪夫（ Chbyshev）和橢圓（ Elliptic）濾波器。然后在研究將這些原模擬濾波器轉(zhuǎn)換到不同的頻率選擇性數(shù)字濾波器的各種變換。最后，對(duì) FIR 和 IIR 數(shù)字濾波器的比較和性能評(píng)價(jià)做一討論作為本章結(jié)束。 某些預(yù)備知識(shí) 這一節(jié)要討論兩個(gè)基 本的問題，第一是要考慮幅度水平響應(yīng)的技術(shù)指標(biāo)要求，這些模擬（從而在 IIR）濾波器中是更為典型的，而這些技術(shù)要求都是在相對(duì)線性標(biāo)尺上給出的。第二是要研究幅度平方響應(yīng)的性質(zhì)。 相對(duì)線性標(biāo)尺 設(shè) 4H （ j? ）是某個(gè)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，那么低通濾波器在幅度平方響應(yīng)上的技術(shù)指標(biāo)給出為 ||.1|)(H|0||,1H1222211 2?????????????Ajjapa ）（? （ ） 式中 e 是通帶波紋參數(shù)， p? 是通帶截止頻率以 rad/s（弧度 /秒）計(jì)， A是阻帶衰減參數(shù)，以及 e? 是阻帶截止頻率以 rad/s 計(jì)。這些參數(shù)如圖 所示。 5 由圖可見， 2a )(H ?j 必需滿足 sappaAjHjH???????????,1|)(|,1 1|)(|2222? （ ） 參數(shù) ? 和 A 是分別與以 dB 計(jì)的參數(shù) ep AR和 有關(guān)系的，這些關(guān)系是 10/R101 1l og10 210 pPR ????? ?? （ ） 和 20/210 101log10 AAAA ????? （ ） 波紋 1? 和 2? 的絕對(duì)標(biāo)尺是通過下列式與 ? 和 A有關(guān)系的 ： 12 1211 11 111 ?????? ??????? 和 2112 111 ? ??? ????? AA 6 2|)(| ?jHa 性質(zhì) 利用幅度平方響應(yīng)給出的模擬濾波器要求（ ）式不包括任何相位信息?，F(xiàn)在，為了要求 s域的系統(tǒng)函數(shù) )(sHa ，考慮 ???? jsHjH saa |)()( 那么有 ???????????? jssHjHjHjHjHjH saaaaaaa |)(H)()()()()(|)(| 42 或者有 jsjHsHsH aaa /||)(|)()( 2??? （ ） 因此，幅度平方函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)相對(duì)于 ?j 軸是以鏡像對(duì)稱方式分布的。另外， 對(duì)于實(shí)系數(shù)的濾波器來說，零極點(diǎn)是共軛成對(duì)出現(xiàn)的（或者說對(duì)實(shí)軸成鏡像對(duì)稱） c 一種典型的 )()( sHsH aa ? 零極點(diǎn)圖如圖 所示，從這張可以夠造出 )(sHa ，它就是模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。總是要將)(sHa 表示為一個(gè)因果和穩(wěn)定的濾波器，那么 )(sHa 的全部極點(diǎn)都必須位于 s平面的左半面。因此將 )()( sHsH aa ? 的全部左半面的極點(diǎn)賦予 )(sHa ，然而， )(sHa 的零極點(diǎn)可位于 s 平面的任何地方。除非這些零極點(diǎn)全都位于 ?j 軸上，否則它們不能唯一地被確定。現(xiàn)在選取位于左半 面或位于 ?j軸的 )()( sHsH aa ? 零極點(diǎn)作為 )(sHa 的零點(diǎn)。這樣所得到的濾波器稱為最小相位濾波器。 7 圖 典型的 )()(a sHs ?? 零極點(diǎn)圖 原型模擬濾波器特性 IIR 濾波器設(shè)汁方法依賴于已有的模擬濾波器得到數(shù)字濾波器，我們將這些模擬濾波器稱作原型揀波器。在實(shí)際，扣廣泛采用二種原型濾波器。這一節(jié) 中 簡(jiǎn)要綜 述這些原型低通濾波器的特性 :巴特沃茲低通，切比雪夫低通 (I 和 II 型 )和橢圓低通 :盡管我們還是用 MATLAR 函數(shù)來設(shè)計(jì)這些濾波器，但是仍有必安懂得這些濾波器的特性，以便在 MATIAB 函數(shù)中能使用適當(dāng)?shù)膮?shù)得出正確的結(jié)果。 巴特沃茲低通濾波器 這個(gè)濾波器是用這個(gè)性質(zhì)表征的 :它的幅度響應(yīng)在通帶和 阻帶都是平坦的。一個(gè) N 階低通濾波器的幅度平方響應(yīng)給出為 Nca jH 22 )_(11|)(|?????? （ ） 式中 N 是濾波器的階， c? (rad/s)是截止頻率。幅度平方響應(yīng)的圖如下圖所示。 8 從這張圖可看出下面兒個(gè)性質(zhì) : （ 1） ? =0， 1|)0(| 2?jHa ，對(duì)全部 cN （ 2） c??? ，21|)(H| 2??ja，對(duì)全部 N，這意味著在 c? 有 3dB 衰減。 (3) 2|)(| ?jHa 是 ? 的單調(diào)下降的函數(shù)。 (4)} 2|)(| ?jHa 隨 N ?? 向一個(gè)理想低通濾波器趨近。 (5) 2|)(| ?jHa 在 0?? 是最大平坦，因 為在這里所有階的導(dǎo)數(shù)存在且等于零。 為了確定系統(tǒng)函數(shù) )(sIIa ，現(xiàn)將（ ）式的形式得到 NlNNcjaaa jsjjsjHsHsH s 222)()()(11||)(|)()(?????????? ?? （ ） 由（ ）式分母多項(xiàng)式的根（或 )()( sHsH aa ? 的極點(diǎn)）給出為 12...,1,0,)()1( )12(22 1 ??????? ? Nkejp k r nNrjcNk （ ） （ ）式的一種解釋是： （ 1） )()( sHsH aa ? 總共有 2N 個(gè)極點(diǎn)，它們均勻分布在半徑為 c? 的圖上，相隔 N/? 弧度。 （ 2）對(duì) N 為奇數(shù)，極點(diǎn)給出為 12... ,1,0,)12(2 ???? ? Nkp kr nNrjek 。 （ 3）對(duì) N 為偶數(shù)，極點(diǎn)給出為 12... ,1,0,)2( ???? ? Nkp NkNjek ?? 。 （ 4）極點(diǎn)對(duì) ?j 軸是對(duì)稱分布的。 （ 5）極點(diǎn)永遠(yuǎn)不會(huì)落在虛軸上，且僅當(dāng) N 為奇數(shù)時(shí)才會(huì)落在實(shí)軸上。 作為一個(gè)例子，三階和四階巴特沃茲濾波器的極點(diǎn)分布如圖（ ）所示。 9 圖 巴特沃茲濾波器的極點(diǎn)圖 通過選取在左 半面的極點(diǎn)就能給出一個(gè)穩(wěn)定和因果的 )(sHa ，并且能將 )(sHa 寫成 )()( kNpslfea sH???? （ ） 例題 已知6641 1)( ????jH a，求該模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) )(sHa 。 題解 由已知幅度平方相應(yīng) )(62)(116411|)(|???????? la jH 與表達(dá)式（ ）式比較后得到 N=3 和 )()(. sHsH aac ??? 的極點(diǎn)如圖 所示 圖 例題 的極點(diǎn)圖 所以 ))()(()( 4323ssssssjH ca ??? ??? 10 ))()(( 8/1 jssjs ?????? ))(( ???? sss MATLAB 實(shí)現(xiàn) MATLAB 提供了一個(gè)稱為 [z,p,k]=buttap(N)的函數(shù)用于設(shè)計(jì)一個(gè)歸一化（即 c? =1）的 N 階巴特沃茲模擬原型濾波器，它產(chǎn)生在數(shù)組 z 中 的零點(diǎn)，數(shù)組 P 中的極點(diǎn)和增益值 k。然而，需要的是具有任意 c? 的非歸一化的巴特沃茲濾波器。從例題 可見不存在零點(diǎn)，而非歸一化濾波器的極點(diǎn)是位于半徑為 c? 的圓上而不是在單位圓上。這意味著必須將這個(gè)歸一化濾波器的數(shù)組 P 倍乘以 c? ，而增益 K 倍乘以 Nc? 。在下面的函數(shù) ),( om egacNbuttap?? 中，設(shè)計(jì)這個(gè)非歸一化的巴特沃茲模擬原型 濾波器。 Function［ b,a］ =u_buttap(N,omegac)。 %unnormalized Butterworth Analog Lovpass Filter Prototype % %［ b,a］ =U_buttap(N,omegac)。 % b=numerator polynomial coefficients of Ha(s) % a=denominator poltnomial coefficients of Ha(s) % N=Order of the Butterworth Filter %Omegac=Cutpff frequency in radians/sec %omegac=cutoff frequency in radians/sec % [z,p,k]=buttap(N)。 P=pomegac K=komegacN B=real(poly(z))。 b0=k 11 b=k*B。 a=real(poly(P))。 上面函數(shù)提供了一種直接型（或分子 分母型）結(jié)構(gòu)。也常常需要一種級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。第 6 章已經(jīng)研究過如何將一個(gè)直接型轉(zhuǎn)換為一種級(jí)聯(lián)型。下面的 sdir2cas 函數(shù)描述了適用于模擬濾波器的這一過程。 Function[c,b,a]=sdir2cas(b,a)。 %DIRECTform to cascadefprm conversion in splane % %[C,B,A]=sdir2cas(b,a) %C=gain coefficienr %B=k by 3 matrix of real coeefficients containing bk’s %A=k by 3 matrir of real coefficients containing ak’s %b=numerator polynomial coefficients of DIRECT form %a=denominator polynomial coefficients of DIRECT form % Na=length(a)1。Nb=length(b)1。 %pite gaom coefficient C B0=b(1)。 b=b/b0。 A0=a(1)。a=a/a0。 C=b0/a0。 % %Denominator secondordersections： P=cplxpair(roots(a))； K=floor(Ka/2)； If k*2==Na %Computation when Na is even A=zeros(K， 3)； For n=1： 2： Na Arow=p(n： 1： n+1，： )； Arow=poly(Arow)； A(fix((n+1)/2))=real(Arow)； End Else if NA==1 % Computation when Na=1 A=[0， real(poly(p))]； Else %putation when Na is odd and 1 A=zeros(K+1， 3)； For n=1： 2： 2*k Arow=p(n： 1： n+1)； Arow=poly(Arow)； 12 A(fix((n+1)/2))=real(Arow)； End A= (K+1， )； =[0， real(poly(p(Na)))] End %Numerator secondordersections： z=cplxpair(roots(b))； K=floor(Nb/2)； If Nb==0 %Computation when Nb=0 B=zeros(K， 3)； For n=1： 2： Nb Brow=z(n： 1： n+1，： )； Brow=poly(Brow)； B(fix((n+1)/2)，： )=real(Brow)； End Else %putation when Nb is odd and 1 B=zeros(K+1， 3)； For n=1： 2： 2*k Brow=z(n： 1： n+1，： )； Brow=poly(Brow)； B(fix((n+1)/2)，： )=real(Brow)； End B(K+1，： )=[0real(poly(z(Nb)))]； End 例題 設(shè)計(jì)一個(gè) ??c 由例題 給出的三階巴特沃茲模擬原型濾波器。 題解 ―――――――― MATLAB 腳本 N=3。 Omegac=。