【正文】 [C,B,A]=dir2par(b,a) C= [] 38 B= A= 這個(gè)期望的濾波器是一個(gè)六階巴特沃茲濾波器，它的系統(tǒng)函數(shù)以并聯(lián)型給出為 211211 )(?????? ?? ????? ?? zz zzz zzH 21 ????? ?? zz z 頻率響應(yīng)圖如圖 所示。 ***Butterworth Filter Oder=6 % Impulse Invariance transformation。 %prototypeStopband freq %Analog Butterworth Prototype Filter Calculation。 %Set T=1 OmegaP=wp/T。 %Stopband attenuation in dB %Analog prototype Specifications。 %digital Stopband freq in rad Rp=1。 Wp=*pi。 下面幾個(gè)例子對(duì)全部三種原型濾波器說(shuō)明脈沖響應(yīng)不變法的設(shè)計(jì) 過(guò)程。圖 中展示出模擬濾波器和所得數(shù)字濾波器的脈沖（沖激） 圖 例題 中的脈沖與頻率響應(yīng)圖 （ a）脈沖響應(yīng) 37 圖 例題 中的脈沖與頻率響應(yīng)圖 （ b）幅度響應(yīng) 響應(yīng)和幅度響應(yīng)（對(duì)采樣間斷 1/T 畫(huà)出的）。T=。 題解 MATLAB 腳本 c=[1,i]。 a=real(a’)’ 在 MATLAB 新的學(xué)生版本中可以獲得一個(gè)稱為 Impinvar 的類似函數(shù)。 [b,a]=residuez(R,P,K)。 Function [b,a]=imp_invr(c,d,T) %Implse Invariance Transformation from Analog to Digital Filter 36 % %[b,a]= imp_invr(c,d,T) % b=Numerator polynomial in z＾ (1) of the digital filter % a=Denominator polynomial in z＾ (1) of the digital filter % c= Numerator polynomial in s of the analog filter % d= Denominator polynomial in s of the analog filter % T=sampling (transfromation)parameter % [R,p,K]=residue (c,d)。然后用（ ）式將每個(gè)模擬極點(diǎn)映射為一個(gè)數(shù)字極點(diǎn)，最后能用 residuez函數(shù)將轉(zhuǎn)換為有理函數(shù)形式。那么，由（ ）式并用 T= 得出 2111213 89 11 2)( ??????? ?? ?????? zz zzezezH TT 很容易建立一個(gè) MATLAB 函數(shù)用于實(shí)現(xiàn)這個(gè)脈沖響應(yīng)不變法的映射。 （ 3） 利用部分分式展開(kāi)，將 )(sHa 展開(kāi)為 ?? ?? Nk kka ps RsH 1)( （ ） （ 4） 現(xiàn)將模擬極點(diǎn) kp 變換為數(shù)字極點(diǎn) Tpke ，得到數(shù)字濾波器 ?? ??? Nk Tp k zkeRzH 1 11)( （ ） 例題 用 T=，采用脈沖響應(yīng)不變法將 65 1)( 2 ?? ?? ss ssH a 變換為數(shù)字濾波器 H（ z）。 設(shè)計(jì)步驟 已知數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)要求 psp R,?? 和 sA ，想要通過(guò)首先設(shè)計(jì)一個(gè)等效的模擬濾波器，然后再將它映射為所期望的數(shù)字濾波器來(lái)確定 )(zH 對(duì)這個(gè)過(guò)程所要求的步驟是： （ 1） 選取 T 來(lái)確定模擬頻率 35 Tpp ???和Tss ??? （ 2） 利用設(shè)計(jì)參數(shù) , psp R?? 和 sA 設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器 )(sHa 。不過(guò)，沒(méi)有一個(gè)有限階的模擬濾波器是真正帶限。 （ 3） 由于 s 平面的整個(gè)左半面都是映射到單位圓內(nèi)，所以一個(gè)因果面穩(wěn)定的模擬濾波器映射為一個(gè)因果而而穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。因?yàn)檫@是一種采用運(yùn)算，所以模擬和數(shù)字頻率有下列聯(lián)系： T??? 和 Tjj ee ??? 由于 z= ?je 是在單位圓上， s= ?j 是在虛軸上，所以有下面從 s 平面到 z平面的變換 cTez? （ ） 系統(tǒng)函數(shù) )(zH 和 )(sHa 是經(jīng)由頻域混疊公式（ ）式聯(lián) 系的： )2(1)( kTjsHTzH k a ??? ????? 在（ ）式的映射關(guān)系下，復(fù)平面的變換如圖 所示。 脈沖響應(yīng)不變變換 在這種設(shè)計(jì)方法中，我們想要這個(gè)數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)看起來(lái)域一個(gè)頻率選擇性模擬濾波器的沖激響應(yīng)是“相似”的。在實(shí)際中采用的最為普遍的方法式雙向性變換發(fā)，它保留的是從模擬到數(shù)字域的系統(tǒng)函數(shù)表示。很多其它的方法也都是可能的。如果從模擬到數(shù)字濾波器我們想要保留脈沖響應(yīng)的形狀，那么就得到一種稱為脈沖響應(yīng)不變的方法。這些變換都是復(fù)制映射，并在文獻(xiàn)中廣泛研究過(guò)。這個(gè)選取既決定于濾波器的階次（它影響處理速度和實(shí)現(xiàn)復(fù)雜性），也取決于相位特性（它控制著失真大?。?。切比雪夫?yàn)V波器具有的相位特性位于上面兩種濾波器的兩者之間。 圖 例題 橢圓模擬低通濾波器 （ a）幅度響應(yīng)；（ b）幅度（ dB）；（ c）相位響應(yīng)；（ d）脈沖響應(yīng) 原型濾波器的相位響應(yīng) 橢圓濾波器在幅度平方響應(yīng)上提供了最優(yōu)先性能，但是在通帶內(nèi)具有高的非線性相位響應(yīng)（在許多應(yīng)用中這是不希望的）：盡管在設(shè)計(jì)中沒(méi)有 關(guān)心相位響應(yīng)，但是在整個(gè)系統(tǒng)中相位仍然是一個(gè)重要的問(wèn)題，在性能方面的另一種極端式巴特沃茲濾波器，它具有最大平坦的幅度響應(yīng)，并要求有更高的階次 N（更多的極點(diǎn)）以達(dá)到相同的阻帶衰減。 [ha,x,t]=impulse(b,a)。 [db,mag,pha,w]=freqs_m(b,a,*pi)。 [C,B,A]=sdir2cas(b,a) C= B= 0 A= 0 %Ca。 [b,a]=afd_elip(WP,Ws,Rp,As)。 Attn=10?(As/20)。 As=16。 Ws=*pi。 Fprintf(‘\n***Elliptic Filter Oder =% \n’,N) [b,a]=U_elipap(N,)。 % Version code Capk1 =ellipke([(k1 .? 2) (1k..?2)])。 K1=ep/sqrt(A*A1)。 Omegac=Wp。 (As0) % If Wp=0 Error(‘passband edge must be larger than 0’) End If Ws=Wp Error(‘Stopband edge must be larger than passband edge ‘) End If(Rp=0) | (As0) Error(‘PB ripple and/or SB attenuation ust be larger than 0’) 31 End Ep =sqrt(10?(Rp/10)1)。 Ws Wp0 %Rp=passband ripple in +dB。 % b=Numerator coefficients of Ha(s) % a=Denominator coefficients of Ha(s) %Wp=passband edge frequency in rad/sec。 %Analog Lowpass Filter Design。這個(gè)函數(shù)給出如下，并利用了由（ ）式給出的濾波器階次的計(jì)算公式。 b=k*b。 k=k*(aNu*bNn)/(aNn*bNu)。 b=real(poly(z))。 bNn=b(M)。 b=real(poly(z))。 p=p*Omegac。 A=real(poly(0))。 Rp0 % As=stopband Ripple in dB。 %Unnormalized Elliptic Analog Lowpass Filter Prototype % %[b,a]=u_elipap(N, pR ,As,omegac)。在下面的 U_elipap (N, pR ,As,Omegac)函數(shù)中，我們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)非歸一化的橢圓模擬原型濾波器，并得到直接型的 )(sHa 。我們需要一個(gè)具有任意 c? 的非歸一化橢圓濾波器。 MATLAB 提供出函數(shù) ellipke 用于數(shù)值計(jì)算 上面積分，從而可以用于計(jì)算 N 和設(shè)計(jì)橢圓和設(shè)計(jì)橢圓濾波器。對(duì)于奇數(shù)和偶數(shù) N 的典型響應(yīng)如下圖所示。這個(gè)函數(shù)的分析，即使非常的淺薄一點(diǎn)都不超出本書(shū)的范圍。 橢圓濾波器的幅度平方響應(yīng)給出為 )(11|)(|222cNa UjH????? ? （ ） 這里 N 是階次，是通帶波紋（它與有關(guān)）和（ 有明顯的理由表明，這些濾波器的分析，從而設(shè)計(jì)都是很困難的。它們?cè)诜软憫?yīng)特性上與 FIR 等波紋濾波器是一類似的。 [ha,x,t]=impulse(b,a)。 [db,mag,pha,w]=freqs_m(b,a,*pi)。 ***Chebyshev2 filter Order=4 %Calculation of second –order sections。 %analog filter design。 27 Ripple=10ˉ (Rp/20)。 Rp=1。 例題 設(shè)計(jì)一個(gè)切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器，滿足在例題 中給出的技術(shù)要求： 通帶截止頻率： ???p ；通帶波紋： dBRp 1? 阻帶截止頻率： ???s ；阻帶波紋： dBAs 16? 題解 MATLAB 腳本 Wp=*pi。 N=ceil(lig10(g+sqrt(g*g1))/log10(OmegaR+sqrt(omegaR*OmegaR1)))。 omegaR=Ws/Wp。 A=10?(As/20)。 (Rp0) %As=stopband attenuation in +dB。 Wp0 %Ws=stopband edge frequenc in rad/sec。 Chebyshev2 26 % %[b,a]= afd_chb2(Wp,Ws,Rp,As)。 Function [b,a]=afd_chb2(Wp,Ws,Rp,As)。 除去 sc ??? 外，對(duì)于切比雪夫Ⅱ型的設(shè)計(jì)方程與切比雪夫Ⅰ型式類似的，因?yàn)椴y式在阻帶內(nèi)。 b0=k。 bNu=b(M)。 z=z*Omegac。 N=length(b)。 aNu=a(N+1)。 p=p*Omegac。 A=real(ply(p))。 % b=numerator polynomial cofficients % a=denominator polynomial cofficients % N=order of the Elliptic Filter % As=stopband Ripple in dB 。 Function[b,a]=U_chb2ap(N,As,Omegac)。新的增益 K 利用（ ）式確定，這可以通過(guò)將原有的 K 倍乘以非歸一化的有理函數(shù)的比在 s=0 的求值來(lái)完成。這可以將歸一化濾波器的數(shù)組 P倍乘以 c? 來(lái)完成。我們不打算討論這種濾波器的細(xì)節(jié)，但是從 MAT