【文章內(nèi)容簡介】 [b,a]=u_buttap(N,Omegac)。 [C,B,A]=sdir2cas(b,a) C= B=0 0 1 A= 0 ――――――――――――――――――――――――――――――――――― 這個級聯(lián)型的系數(shù)與例題 是相同的。 13 設(shè)計方程 模擬低通濾波器由參數(shù) ?? , pp R 和 sA 給出，因此在巴特沃茲濾波器情況下設(shè)計的實(shí)質(zhì)就是為了求得由這些參數(shù)所給出的濾波器階次 N 和截止頻率 c? 。我們想要： 或）在（ pap RjHL o g ?????? 2|)(|10,1pNcpRL o g ????? })(1 1{10 2 或在 sa AjH ?????? 210s )(l o g10,)2(sNcsAL o g ????? })(1 1{10 2 對這兩個方程解出 N 和 c? ，有 )/(2 )]110/10/()110[( 1010/10spARL ogL ogNsp?? ??? 一般來說，上面 N 不會是一個整數(shù)。因?yàn)橄胍?N 是一個整數(shù)，就必須選 ])/(l og2 )]110/()110[(l og[1010/10 10/spAR spN?? ??? （ ） 這里運(yùn)算符 [x]意思是“選比 x 大的最小整數(shù)”，例如 []=選的 N 都比要求 的大，因此技術(shù)指標(biāo)上在 p? 或 s? 在上都能滿足或超過一些。為了在 p? 精確滿足指標(biāo)要求，可以 )110(2 10/ ????pRpc N 或者在 c? 精確地滿足指標(biāo)要求，可以 )110(2 10/ ???? sRsc N 14 例題 設(shè)計一個滿足下面要求的低通巴特沃茲濾波器； 同帶截止頻率 ???p ；通帶 波紋 dBRp 7? 阻帶截止頻率 ???s ；阻帶波紋 dBAs 16? 題解 由（ 式） 3][])(2 )]110/()110l og [([ ????? ??N 為了準(zhǔn)確在 p? 滿足指標(biāo)要求。由（ ）式得 sc ????? ? 為了準(zhǔn)確在 s? 滿足指標(biāo)要求，由（ ）式得 ???? ?c 現(xiàn)在在上面兩個數(shù)之間可任選 c? 指?，F(xiàn)選 c? =，這樣就必須設(shè)計一個N=3 和 c? = 的巴特沃茲濾波器，這就是在例題 中完成得，所以 ))(( )( 2 ????? sssjH a MATLAB 實(shí)現(xiàn) 上面設(shè)計過程在 MATLAB 中可以作為一個簡單函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。利用U_buttap 函數(shù)，提供了 afd_butt 函數(shù)利用于設(shè)計一個給定技術(shù)指標(biāo)得模擬巴特沃茲低通濾波器。這個函數(shù)利用（ ）式。 Fuction [b,a]=afd_butt(Wp,Ws,Hp,As)。 % Analog lowpass Filter Design。 Butterworth % %[b,a]=afd_butt(Wp,Ws,Hp,As)。 15 %b=numerator coefficient of Ha(s) %a=Denominaror coefficients of Ha(s) %Wp=passband edge frequency in rad/sec。wp0 %Ws=Stopband edge frequency in rad/sec。 WsWp0 %Rp=Passband ripple in +dB 。(As0) % If Wp=0 Error(‘passband edge must be larger tgan 0’) End If Ws=Wp Error(‘Stopband edge must be larger than passband edge ‘) End If(Rp=0) | (As0) Error(‘PB ripple and/or SB attouuation us be larger than 0’) End N=ceil((log10((10^(Rp/101)/(10^（ As/10） 1)))/(2*log10(Wp/Ws)))。 Fprintf(‘\n***Butterworth Filter Order =%\n’,N) Omegac=Wp/((10^(Rp/10)1) ^(1/(2*N)))。 [b,a]=u_buttap(N,Omegac)。 為了展示模擬濾波器的頻域圖，我們提供了一個稱為 freqs_m 的函數(shù)，它是由 MATLAB 提供的函數(shù) freqs 的修正形式。這個函數(shù)一絕對值和相對值 db 尺度計算幅度相應(yīng)以及相位響應(yīng)。這個函數(shù)與早先討論過的freqz_m 函 數(shù)是類似的。它們之間得一個主要不同是， freqs_m 函數(shù)中響應(yīng)是一直要計算到最大頻率 max? 。 Fuction[db,mag,pha,W]=freqs_m(b,a,Wmax)。 %putationg of sdomain frequency response 。Modified version % %[db,mag,pha,W]=fewqs_m(b,a,wmax)。 %mag=Absolute magnitude over [0to vmax] %pha=phase responde in radians over [0 to wmax] %w=array if 500 frequenct samples between[0 to wax] %b=numerator polynomial coeffifents of Ha(s) %a=Dwnominator polynomial coefficents of H(s) %wmax=Maximum frequency in rad/sec over which response is desired % W=[freqs(b,a,w)。 16 Mag=abs(H)。 Db=20*log((mag+eps)/max(mag))。 Pha=angle(H)。 這個模擬濾波器得脈沖響應(yīng)是用 MATLAB 的 impulse 函數(shù)計算出的。 例題 利用 MATLAB 設(shè)計在例題 中給出得模擬巴特沃茲低通濾波器。 題解 MATLAB 腳本 Wp=*pi。 Ws=*pi 。Rp=7。As=16。 ripple=10^(Rp/20)。Attn=10^(As/20)。 %Analog filter design 。 [b,a]=afd_nutt(Wp,Ws,Rp,As)。 ***Butterworth Filter Oder=3 %Calculationg of secondorder setions。 [C,B,A]=sdrr2cas(b,a) C= B=0 0 1 A= 0 %Calculation of Frequency Response。 [db,mag,pha,W]=freqs_m(b,a,*pi)。 %calculation of Impulse response。 [ha,x,t]=impulse(b,a)。 系統(tǒng)函數(shù)給出 )498 )(248 ( 123 )( ???? sssH sa 這個 )(saH 與例題 的結(jié)果稍有不同，這是因?yàn)樵诶} 中用了c? =，而在 afd_butt 函數(shù)中 c? 是按滿足在 p? 的要求選定的。有關(guān)這個濾波器得圖如圖 所示。 17 圖 例題 中的巴特沃茲模擬濾波器 （ a）幅度響應(yīng)；（ b）幅度 (dB) 圖 例題 中的巴特沃茲模擬濾波器 （ a）象位響應(yīng)；（ b）脈沖響應(yīng) 切比雪夫低通濾波器 有兩類切比雪夫?yàn)V波器，切比雪夫 Ⅰ 型濾波器在通帶具有等波紋響應(yīng)，而切比雪夫 Ⅱ 行濾波器在阻帶內(nèi)均具有單調(diào)相應(yīng)。回想一下有關(guān)等波紋 FIRl 濾波器得討論，可以找、可以知道選擇一個具有等波紋得濾波器而不是一種單調(diào)特性，可以得到一個更為低階得濾波器。因此，切比雪夫?yàn)V波器對相同得指標(biāo)要求來說會比利用巴特沃茲濾波器具有較低得階次 切比雪夫 Ⅰ型濾波器得幅度平方響應(yīng)是 )(11|)(|222cNa TjH????? ? （ ） 這里 N 是濾波器得階，是通帶波紋因子（它與 pR 有關(guān)）以及 )(xTN 是 N階切比雪夫多項(xiàng)式，它為 18 cNxxx xxNxT ???????? ??? ??? ? ? 其中1)),((c os hc os 10)),(c osc os ()( 1 1 正是由于這個多項(xiàng)式 )(xTN 而產(chǎn)生了切比雪夫?yàn)V波器得等波紋響應(yīng)。它的關(guān)鍵性質(zhì)是（ a）對于 10 ＜＜ x ， )(xTN 在 1 和 1 之間起伏，（ b）對于 ?＜＜ x1 ，)(xTN 單調(diào)增區(qū)間至∞。 存在有兩種可能得 2|)(| ?jHa 形狀，分別對應(yīng)于 N為奇數(shù)和 N為偶數(shù)，看下圖所示。注意， x= c?? 是歸一化頻率。根據(jù)這兩種相應(yīng)的圖可看出下面幾個性質(zhì)： （ 1） 在 x=0（或 ? =0）； 1|)0(| 2 ?jH a ， N 為奇數(shù)。 22 1 1|)0( ???jHa， N 為偶數(shù)。 （ 2） 在 x=1（或 ? = c? ）；22 1 1|)1(| ???jH a，對所有 N。 （ 3） 對 0≤ x≤ 1（或 0≤ ? ≤ c? ）， 2|)(| jxHa 在 1 和211??之間起伏。 （ 4） 對 x1（或 ? c? ） , 2|)(| jxHa 單調(diào)下降到零 （ 5） 在 x= c? ， 2|)(| jxHa =21A。 為了確定一個因果且穩(wěn)定的 )(sHa ，必須要求出 )()( sHsH aa ? 的極點(diǎn)，并為 )(sHa 挑出左半面的極點(diǎn)。通過求下式的根可以獲得 )()( sHsH aa ? 的極 19 點(diǎn) )(1 22 cN jsT ??? 求得這個方程的解如果不困難的話也是很煩的?？梢宰C明，如果kkk jp ???? ， k=0,… N1 是上面多項(xiàng)式（左平面）的根，那么 ]2 )12(2c os [)( Nka ck ??? ???? K=0， … N1 （ ） ]2 )12(2s in[)( Nkb ck ?? ????? 式中 2111),1(21),1(21 ?? ??????? aaabaaa NNNN （ ） 這些根都位于主軸為副軸為的橢圓上?，F(xiàn)在這個系統(tǒng)函數(shù)給出為 )()( ka psksH ?? ? （ ） 式中 K 是某個歸一化因子，選擇成 ??????? 　?。螢榕紨?shù)　　　　?。螢槠鏀?shù)211,1)0(?jH a （ ） MATLAB 實(shí)現(xiàn) MATLAB 提供了一個稱為 [z,p,k]=cheblap（ N， pR ） 的函數(shù)用于設(shè)計一個 N 階和通帶波紋為 pR 的歸一化切比雪夫Ⅰ型模擬 原型濾波器，并得到在數(shù)組 z 中的零點(diǎn)，數(shù)組 P 中的極點(diǎn)和增益值 k。我們需要一個具有任意 c? 的數(shù)組的非歸一化的切比雪夫Ⅰ型濾波器。這可以通過將這個歸 20 一化濾波器的數(shù)組 P 倍乘以 c? 來完成，和巴特沃茲原型濾波器相似，這個濾波器沒有零點(diǎn)，新的增益 K 利用（ ）式確定，這可以將原來的K 倍乘以非歸一化分母多項(xiàng)式對歸一化分母多項(xiàng)式的比在 s=0 的求值來完成。下面的函數(shù)成為 U_chblap （ N， pR ， Omegac） ,用于設(shè)計一個非歸一化的切比雪夫Ⅰ模擬原型濾波器，得到直接型的 )(sHa Function [b,a]=u_chblap(N,Rp,Omegac)。 %Unnormalized chebyshev1 Analog Lowpass Filter Prototype % %[b,a]= u_chblap(N,Rp,Omegac)。 % b=numerator polynomial coefficients % a=denominator polynomial coefficients % N=Order of the Elliptic Filter % Rp=Passband Ripple in db。 Rp0 %Omegac=cutoff frequency in radians/sec % [z,p,k]= chblap(N,Rp)。 A=real(poly(p))。 And=a(N+1)。 P=p*Omegac。 A=real(poly(p))。 aNu=a(N+1) k=k*aNu/aNn。 b0=k。 B= real(poly(z))。 B=k*B。 設(shè)計方程 已知 p? ， s? ， pR 和，要求有三個參數(shù)以確定一個切比雪夫Ⅰ型濾波器： 110 ?? pR? 和 20/10 sAA? 根據(jù)上面討論的性質(zhì)有 21 pc ??? 和psr ???? （ ） N 給出 為 ? ?? ??????????????????110lo g110lo g/)1(222rrggNAg ? （ ） 現(xiàn)在，利用 ()式，（ ）式和（ ）式就能確定 )(sHa 例題 設(shè)計一個低通切比雪夫Ⅰ型濾波器以滿足 通帶截止頻率： ???p ；通帶波紋： dBRp 1? 阻帶截止頻率： ???s ； 阻帶波紋： dBAs 16? 題解 首先計算必要的參數(shù) , 20/16)1( ????? A? , ??????? ??? rpc 4,2 6 2 )1( 22 ???? NAg ? 現(xiàn)在能確定 )(sHa ， 2 ???? ??a 3 6 4 )1( ??? NN aaa 0 6 4 )1