【導讀】主要是介紹的IIR濾波器。IIR濾波器在設計上可以借助成熟的模擬。比較小，對計算工具的要求不高。器的公式轉換成數字濾波器的公式。設計出契比雪夫II型濾波器，使用ellipord函數設計出橢圓濾波器。參數的最低濾波器階數。在MATLAB下設計不同類型IIR濾波器均有與。之對應的函數用于階數的選擇。

　　

【正文】 dians/sec % 30 [z,p,k]=ellipap(N, pR ,As`)。 A=real(poly(0))。 aNn=a(N+1)。 p=p*Omegac。 aNu=a(N+1)。 b=real(poly(z))。 N=length(b)。 bNn=b(M)。 z=z*Omegac。 b=real(poly(z))。 bNu=b(M)。 k=k*(aNu*bNn)/(aNn*bNu)。 b0=k。 b=k*b。 利用 U_elipap 函數，我們提供了一個稱為 afd_elip 的函數用于設計一個已知設計指標時的模擬橢圓低通濾波器。這個函數給出如下，并利用了由（ ）式給出的濾波器階次的計算公式。 Function[b,a]=afd_elip(Wp,Ws,Rp,As)。 %Analog Lowpass Filter Design。 Elliptic % % [b,a]= afd_elip(Wp,Ws,Rp,As)。 % b=Numerator coefficients of Ha(s) % a=Denominator coefficients of Ha(s) %Wp=passband edge frequency in rad/sec。 Wp0 %Ws=stopband edge frequency in rad/sec。 Ws Wp0 %Rp=passband ripple in +dB。 (Rp0) %As=stopband attenuation in +dB。 (As0) % If Wp=0 Error(‘passband edge must be larger than 0’) End If Ws=Wp Error(‘Stopband edge must be larger than passband edge ‘) End If(Rp=0) | (As0) Error(‘PB ripple and/or SB attenuation ust be larger than 0’) 31 End Ep =sqrt(10?(Rp/10)1)。 A=10?(As/20)。 Omegac=Wp。 K=Wp/Ws。 K1=ep/sqrt(A*A1)。 Capk=ellipke([ 1k.. ˉ 2])。 % Version code Capk1 =ellipke([(k1 .? 2) (1k..?2)])。 %Version code N=ceil(capk(1)*capk1(2)/(capk(2)*capk(1)))。 Fprintf(‘\n***Elliptic Filter Oder =% \n’,N) [b,a]=U_elipap(N,)。 例題 設計一個模擬橢圓低通濾波器滿足下列例題 的設計指標： ???p ， dBRp 1? ???s ， dBAs 16? 題解 MATLAB 腳本 WP=*pi。 Ws=*pi。 Rp=1。 As=16。 Ripple=10?(Rp/20)。 Attn=10?(As/20)。 %analog filter design。 [b,a]=afd_elip(WP,Ws,Rp,As)。 ***Elliptic Filter Order =3 %Calculation of secondorder sctions。 [C,B,A]=sdir2cas(b,a) C= B= 0 A= 0 %Ca。culation of Freqs_m(b,a,*pi)。 [db,mag,pha,w]=freqs_m(b,a,*pi)。 %Calculation of Impulse response。 [ha,x,t]=impulse(b,a)。 一個三階橢圓濾波器可以滿足設計要求，它的系統(tǒng)函數是 32 )44 )(41 ( )66 ()( 22??? ?? sss ssH a 該濾波器的圖如圖 所示。 圖 例題 橢圓模擬低通濾波器 （ a）幅度響應；（ b）幅度（ dB）；（ c）相位響應；（ d）脈沖響應 原型濾波器的相位響應 橢圓濾波器在幅度平方響應上提供了最優(yōu)先性能，但是在通帶內具有高的非線性相位響應（在許多應用中這是不希望的）：盡管在設計中沒有 關心相位響應，但是在整個系統(tǒng)中相位仍然是一個重要的問題，在性能方面的另一種極端式巴特沃茲濾波器，它具有最大平坦的幅度響應，并要求有更高的階次 N（更多的極點）以達到相同的阻帶衰減。然而，在通帶內它卻呈現出相當好的線性相位響應。切比雪夫濾波器具有的相位特性位于上面兩種濾波器的兩者之間。因此，在實際應用中除了橢圓濾波器我們還是要考慮巴特沃茲以及切比雪夫濾波器的。這個選取既決定于濾波器的階次（它影響處理速度和實現復雜性），也取決于相位特性（它控制著失真大?。? 模擬 數字濾波器變換 在討論完模擬濾波器設計的各種方法 之后，現在準備將它們變換為數字濾波器。這些變換都是復制映射，并在文獻中廣泛研究過。這些變 33 化時根據要保留的模擬和數字濾波器的不同方面來到處的。如果從模擬到數字濾波器我們想要保留脈沖響應的形狀，那么就得到一種稱為脈沖響應不變的方法。如果想要將一個微分方程表示轉換為響應的差分方程表示，那么就得到一種有限差分近似的方法。很多其它的方法也都是可能的。一種稱為階躍響應不變法保留的式階躍響應的形狀；這將在習題 中研究。在實際中采用的最為普遍的方法式雙向性變換發(fā)，它保留的是從模擬到數字域的系統(tǒng)函數表示。這一節(jié)要詳細討 論脈沖響應不變法和雙線性變換法，兩者都能容易用 MATLAB 實現。 脈沖響應不變變換 在這種設計方法中，我們想要這個數字濾波器的脈沖響應看起來域一個頻率選擇性模擬濾波器的沖激響應是“相似”的。為此，以某個采樣間隔 T 對 )(tHa 采樣得到 )(nH ，即 )()( nTHnH a? 參數 T 要選成以使得 )(tHa 的形狀被它的樣本“捕獲”住。因為這是一種采用運算，所以模擬和數字頻率有下列聯系： T??? 和 Tjj ee ??? 由于 z= ?je 是在單位圓上， s= ?j 是在虛軸上，所以有下面從 s 平面到 z平面的變換 cTez? （ ） 系統(tǒng)函數 )(zH 和 )(sHa 是經由頻域混疊公式（ ）式聯 系的： )2(1)( kTjsHTzH k a ??? ????? 在（ ）式的映射關系下，復平面的變換如圖 所示。從這個圖有如下幾點結果： 34 圖 脈沖響應不變法中的復平面映射 （ 1） 利用 )Re(s?? ，注意到： 0?? 映射到 1|| ?z （單位圓內） 0?? 映射到 1|| ?z （單位圓上） 0?? 映射到 1|| ?z （單位圓外） （ 2） 寬度為 T/2? 的全部半無限帶（見圖示）都映射到 1|| ?z ，因此，這個映射不是唯一的而是多點到一點的映射。 （ 3） 由于 s 平面的整個左半面都是映射到單位圓內，所以一個因果面穩(wěn)定的模擬濾波器映射為一個因果而而穩(wěn)定的數字濾波器。 （ 4） 如果 0)/()( ??? TjHjH aa ?， T/|| ??? ，那么 )/(1)( TjHTeH aj ?? ? ， ???|| 將不存在混疊。不過，沒有一個有限階的模擬濾波器是真正帶限。因此在這種設計過程中產生一些混疊誤差，采樣間隔 T 在這種設計方法中起著次要的作用。 設計步驟 已知數字低通濾波器的設計要求 psp R,?? 和 sA ，想要通過首先設計一個等效的模擬濾波器，然后再將它映射為所期望的數字濾波器來確定 )(zH 對這個過程所要求的步驟是： （ 1） 選取 T 來確定模擬頻率 35 Tpp ???和Tss ??? （ 2） 利用設計參數 , psp R?? 和 sA 設計一個模擬濾波器 )(sHa 。這個可以利用前節(jié)討論的三種（巴特沃茲、切比雪夫或橢圓濾波器）原型中的任何一種來完成。 （ 3） 利用部分分式展開，將 )(sHa 展開為 ?? ?? Nk kka ps RsH 1)( （ ） （ 4） 現將模擬極點 kp 變換為數字極點 Tpke ，得到數字濾波器 ?? ??? Nk Tp k zkeRzH 1 11)( （ ） 例題 用 T=，采用脈沖響應不變法將 65 1)( 2 ?? ?? ss ssH a 變換為數字濾波器 H（ z）。 題解 首先利用部分分式展開將 )(sHa 展開為 2132651)( 2 ??????? ssss ssH a 極點 在 31 ??p 和 22 ??p 。那么，由（ ）式并用 T= 得出 2111213 89 11 2)( ??????? ?? ?????? zz zzezezH TT 很容易建立一個 MATLAB 函數用于實現這個脈沖響應不變法的映射。已知一個有理函數的表述可用 residue 函數求得它的零極點表述。然后用（ ）式將每個模擬極點映射為一個數字極點，最后能用 residuez函數將轉換為有理函數形式。這個過程 imp_invr 函數給出。 Function [b,a]=imp_invr(c,d,T) %Implse Invariance Transformation from Analog to Digital Filter 36 % %[b,a]= imp_invr(c,d,T) % b=Numerator polynomial in z＾ (1) of the digital filter % a=Denominator polynomial in z＾ (1) of the digital filter % c= Numerator polynomial in s of the analog filter % d= Denominator polynomial in s of the analog filter % T=sampling (transfromation)parameter % [R,p,K]=residue (c,d)。 P=exe(p*T)。 [b,a]=residuez(R,P,K)。 B=real(b’)。 a=real(a’)’ 在 MATLAB 新的學生版本中可以獲得一個稱為 Impinvar 的類似函數。 例題 我們要說明函數 imp_invr 在例題 的系統(tǒng)函數上的引用。 題解 MATLAB 腳本 c=[1,i]。d=[1,5,6]。T=。 [b,a]=imp_invr(c,d,T) b= a= 這個數字濾波器是 21 )( zz zzH ?? ???? 與預期的一樣。圖 中展示出模擬濾波器和所得數字濾波器的脈沖（沖激） 圖 例題 中的脈沖與頻率響應圖 （ a）脈沖響應 37 圖 例題 中的脈沖與頻率響應圖 （ b）幅度響應 響應和幅度響應（對采樣間斷 1/T 畫出的）。由圖明顯可見頻域中的混疊。 下面幾個例子對全部三種原型濾波器說明脈沖響應不變法的設計 過程。 例題 利用巴特沃茲原型設計一低通數字濾波器，它滿足下面設計要求： dBR pp 1, ?? ?? dBAss 15, ?? ?? 題解 用下面 MATLAB 腳本描述這個設計過程： %Digital Filter Specifications。 Wp=*pi。 %digital passband freq in rad Ws=*pi。 %digital Stopband freq in rad Rp=1。 %passband ripple in dB As=15 。 %Stopband attenuation in dB %Analog prototype Specifications。 Inverse mapping for frequencies T=1。 %Set T=1 OmegaP=wp/T。 %prototype passband freq OmegaS=ws/T。 %prototypeStopband freq %Analog Butterworth Prototype Filter Calculation。 [cs,ds]=afd_butt(Omegap,OmegaS,Rp,As)。 ***Butterworth Filter Oder=6 % Impulse Invariance transformation。 [b,a]=imp_invr(cs,ds,T)。 [C,B,A]=dir2par(b,a) C= [] 38 B= A= 這個期望的濾波器是一個六階巴特沃茲濾波器，它的系統(tǒng)函數以并聯型給出為 211211 )(?????? ?? ????? ?? zz zzz zzH 21 ????? ?? zz z 頻率響應圖如圖 所示。 圖 利用脈沖響應不變法設計的數字巴特沃茲低通濾波器（ ? （單位： ? ）） （ a）幅度響應； (b)相位響應； (c)幅度（ dB）； (d)群時延 例題 利用切比雪夫型原型設計一個低通數字濾波器滿足下面要求： dBR pp 1, ?? ?? dBAss 15, ?? ?? 題解 下面 MATLAB 腳本描述了 這個設計