【正文】 aa |)()( 那么有 ???????????? jssHjHjHjHjHjH saaaaaaa |)(H)()()()()(|)(| 42 或者有 jsjHsHsH aaa /||)(|)()( 2??? （ ） 因此，幅度平方函數(shù)的零點和極點相對于 ?j 軸是以鏡像對稱方式分布的。第二是要研究幅度平方響應(yīng)的性質(zhì)。這將導(dǎo)致三種廣泛采用的模擬濾波器特性，即巴特沃茲（ Butterworth），切比雪夫（ Chbyshev）和橢圓（ Elliptic）濾波器。 （ 3） 研究并實行頻帶變換以便于數(shù)字低通濾波器得到其他數(shù)字濾波器。然而， AFD 表格僅對低通濾波器適用，而同時也想要涉及其他頻率選擇性濾波器（高通、帶同、帶阻等等）。 43 3 IIR 濾波器設(shè)計 IIR 濾波器具有無限長脈沖響應(yīng)，因此能夠與模擬濾波器相匹敵；一般來說，所有的模擬濾波器都有無限長脈沖響應(yīng)。 32 脈沖響應(yīng)不變變換 29 原型濾波器的相位響應(yīng) 22 MATLAB 實現(xiàn) 10 設(shè)計方程 6 原型模擬濾波器特性 4 2|)(| ?jHa 性質(zhì) 在 MATLAB 下設(shè)計不同類型 IIR濾波器均有與之對應(yīng)的函數(shù)用于階數(shù)的選擇。 IIR 濾波器 在設(shè)計上可以借助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和橢圓濾波器等，其設(shè)計工作量比較小，對計算工具的要求不高。在設(shè)計一個 IIR 數(shù)字濾波器時，我們根據(jù)指標(biāo)先寫出模擬濾波器的公式，然后通過一定的變換，將模擬濾波器的公式轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的公式。 關(guān)鍵字： IIR，切比雪夫，巴特沃茲，低通濾波器 2 目錄 摘要 2 第 8 章 IIR 濾波器設(shè)計 7 巴特沃茲低通濾波器 13 MATLAB 實現(xiàn) 19 設(shè)計方程 32 模擬 數(shù)字濾波器變換 因此， IIR 濾波器設(shè)計的基本方法是利用復(fù)值映射將大家熟知的模擬濾波器變?yōu)閿?shù)字濾波器。為此，需要對低通濾波器實行頻帶變換，這些變換也是復(fù)值映射，在各種文獻中也能得到。 這些途徑存在的主要問題是在 IIR 濾波器的相位特性上沒有一點控設(shè)計模擬低通濾波器 實行頻帶交換 S S 實行濾波器交換 S Z 設(shè)計模擬 低通濾波器 實行濾波器變換 S Z 實行頻帶交換 Z Z 4 制能力，因此 IIR 濾波器設(shè)計將僅作為幅度設(shè)計對 待。然后在研究將這些原模擬濾波器轉(zhuǎn)換到不同的頻率選擇性數(shù)字濾波器的各種變換。 相對線性標(biāo)尺 設(shè) 4H （ j? ）是某個模擬濾波器的頻率響應(yīng)，那么低通濾波器在幅度平方響應(yīng)上的技術(shù)指標(biāo)給出為 ||.1|)(H|0||,1H1222211 2?????????????Ajjapa ）（? （ ） 式中 e 是通帶波紋參數(shù)， p? 是通帶截止頻率以 rad/s（弧度 /秒）計， A是阻帶衰減參數(shù)，以及 e? 是阻帶截止頻率以 rad/s 計。另外， 對于實系數(shù)的濾波器來說，零極點是共軛成對出現(xiàn)的（或者說對實軸成鏡像對稱） c 一種典型的 )()( sHsH aa ? 零極點圖如圖 所示，從這張可以夠造出 )(sHa ，它就是模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)?，F(xiàn)在選取位于左半 面或位于 ?j軸的 )()( sHsH aa ? 零極點作為 )(sHa 的零點。這一節(jié) 中 簡要綜 述這些原型低通濾波器的特性 :巴特沃茲低通，切比雪夫低通 (I 和 II 型 )和橢圓低通 :盡管我們還是用 MATLAR 函數(shù)來設(shè)計這些濾波器，但是仍有必安懂得這些濾波器的特性，以便在 MATIAB 函數(shù)中能使用適當(dāng)?shù)膮?shù)得出正確的結(jié)果。 8 從這張圖可看出下面兒個性質(zhì) : （ 1） ? =0， 1|)0(| 2?jHa ，對全部 cN （ 2） c??? ，21|)(H| 2??ja，對全部 N，這意味著在 c? 有 3dB 衰減。 為了確定系統(tǒng)函數(shù) )(sIIa ，現(xiàn)將（ ）式的形式得到 NlNNcjaaa jsjjsjHsHsH s 222)()()(11||)(|)()(?????????? ?? （ ） 由（ ）式分母多項式的根（或 )()( sHsH aa ? 的極點）給出為 12...,1,0,)()1( )12(22 1 ??????? ? Nkejp k r nNrjcNk （ ） （ ）式的一種解釋是： （ 1） )()( sHsH aa ? 總共有 2N 個極點，它們均勻分布在半徑為 c? 的圖上，相隔 N/? 弧度。 （ 5）極點永遠不會落在虛軸上，且僅當(dāng) N 為奇數(shù)時才會落在實軸上。然而，需要的是具有任意 c? 的非歸一化的巴特沃茲濾波器。 Function［ b,a］ =u_buttap(N,omegac)。 b0=k 11 b=k*B。第 6 章已經(jīng)研究過如何將一個直接型轉(zhuǎn)換為一種級聯(lián)型。Nb=length(b)1。a=a/a0。 Omegac=。我們想要： 或）在（ pap RjHL o g ?????? 2|)(|10,1pNcpRL o g ????? })(1 1{10 2 或在 sa AjH ?????? 210s )(l o g10,)2(sNcsAL o g ????? })(1 1{10 2 對這兩個方程解出 N 和 c? ，有 )/(2 )]110/10/()110[( 1010/10spARL ogL ogNsp?? ??? 一般來說，上面 N 不會是一個整數(shù)?，F(xiàn)選 c? =，這樣就必須設(shè)計一個N=3 和 c? = 的巴特沃茲濾波器，這就是在例題 中完成得，所以 ))(( )( 2 ????? sssjH a MATLAB 實現(xiàn) 上面設(shè)計過程在 MATLAB 中可以作為一個簡單函數(shù)來實現(xiàn)。 % Analog lowpass Filter Design。 WsWp0 %Rp=Passband ripple in +dB 。 為了展示模擬濾波器的頻域圖，我們提供了一個稱為 freqs_m 的函數(shù)，它是由 MATLAB 提供的函數(shù) freqs 的修正形式。 Fuction[db,mag,pha,W]=freqs_m(b,a,Wmax)。 16 Mag=abs(H)。 例題 利用 MATLAB 設(shè)計在例題 中給出得模擬巴特沃茲低通濾波器。As=16。 [b,a]=afd_nutt(Wp,Ws,Rp,As)。 %calculation of Impulse response。 17 圖 例題 中的巴特沃茲模擬濾波器 （ a）幅度響應(yīng)；（ b）幅度 (dB) 圖 例題 中的巴特沃茲模擬濾波器 （ a）象位響應(yīng)；（ b）脈沖響應(yīng) 切比雪夫低通濾波器 有兩類切比雪夫濾波器，切比雪夫 Ⅰ 型濾波器在通帶具有等波紋響應(yīng)，而切比雪夫 Ⅱ 行濾波器在阻帶內(nèi)均具有單調(diào)相應(yīng)。 存在有兩種可能得 2|)(| ?jHa 形狀，分別對應(yīng)于 N為奇數(shù)和 N為偶數(shù)，看下圖所示。 （ 2） 在 x=1（或 ? = c? ）；22 1 1|)1(| ???jH a，對所有 N。通過求下式的根可以獲得 )()( sHsH aa ? 的極 19 點 )(1 22 cN jsT ??? 求得這個方程的解如果不困難的話也是很煩的。這可以通過將這個歸 20 一化濾波器的數(shù)組 P 倍乘以 c? 來完成，和巴特沃茲原型濾波器相似，這個濾波器沒有零點，新的增益 K 利用（ ）式確定，這可以將原來的K 倍乘以非歸一化分母多項式對歸一化分母多項式的比在 s=0 的求值來完成。 Rp0 %Omegac=cutoff frequency in radians/sec % [z,p,k]= chblap(N,Rp)。 A=real(poly(p))。 B=k*B。 %Analog Lowpass Filter Desogn。Wp0 %Ws=stopband edge frequency in rad/sec。 A=10? (As/20)。 N=ceil(log10(g+sqrt(g*g1))/log10(OmegaR*OmegaR1)))。 Ws=*pi。Attn=10?(As/20)。 [C,B,A]=sdir2cas(b,a) C= B=0 0 1 A= %Calculation of Frequency response。 用一個四階切比雪夫Ⅰ型濾波器可以滿足設(shè)計要求，它的系統(tǒng)函數(shù)是 ))(( )( 22 ????? sssssH a 24 該濾波器的圖如圖 所示。我們不打算討論這種濾波器的細節(jié)，但是從 MATLAB 中利用一種函數(shù)來設(shè)計一個切比雪夫Ⅱ型濾波器。新的增益 K 利用（ ）式確定，這可以通過將原有的 K 倍乘以非歸一化的有理函數(shù)的比在 s=0 的求值來完成。 % b=numerator polynomial cofficients % a=denominator polynomial cofficients % N=order of the Elliptic Filter % As=stopband Ripple in dB 。 p=p*Omegac。 N=length(b)。 bNu=b(M)。 除去 sc ??? 外，對于切比雪夫Ⅱ型的設(shè)計方程與切比雪夫Ⅰ型式類似的，因為波紋式在阻帶內(nèi)。 Chebyshev2 26 % %[b,a]= afd_chb2(Wp,Ws,Rp,As)。 (Rp0) %As=stopband attenuation in +dB。 omegaR=Ws/Wp。 例題 設(shè)計一個切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器，滿足在例題 中給出的技術(shù)要求： 通帶截止頻率： ???p ；通帶波紋： dBRp 1? 阻帶截止頻率： ???s ；阻帶波紋： dBAs 16? 題解 MATLAB 腳本 Wp=*pi。 27 Ripple=10ˉ (Rp/20)。 ***Chebyshev2 filter Order=4 %Calculation of second –order sections。 [ha,x,t]=impulse(b,a)。有明顯的理由表明，這些濾波器的分析，從而設(shè)計都是很困難的。這個函數(shù)的分析，即使非常的淺薄一點都不超出本書的范圍。 MATLAB 提供出函數(shù) ellipke 用于數(shù)值計算 上面積分，從而可以用于計算 N 和設(shè)計橢圓和設(shè)計橢圓濾波器。在下面的 U_elipap (N, pR ,As,Omegac)函數(shù)中，我們設(shè)計一個非歸一化的橢圓模擬原型濾波器，并得到直接型的 )(sHa 。 Rp0 % As=stopband Ripple in dB。 p=p*Omegac。 bNn=b(M)。 k=k*(aNu*bNn)/(aNn*bNu)。這個函數(shù)給出如下，并利用了由（ ）式給出的濾波器階次的計算公式。 % b=Numerator coefficients of Ha(s) % a=Denominator coefficients of Ha(s) %Wp=passband edge frequency in rad/sec。 (As0) % If Wp=0 Error(‘passband edge must be larger than 0’) End If Ws=Wp Error(‘Stopband edge must be larger than passband edge ‘) End If(Rp=0) | (As0) Error(‘PB