【正文】 LAB 中利用一種函數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)切比雪夫Ⅱ型濾波器。這意味著這個(gè)濾波器在 S 平面有極點(diǎn)也有零點(diǎn)，因此在通帶內(nèi)群式時(shí)延特性比切比雪夫Ⅰ原型濾波器要好一些（相位響應(yīng)更為線性）。 用一個(gè)四階切比雪夫Ⅰ型濾波器可以滿足設(shè)計(jì)要求，它的系統(tǒng)函數(shù)是 ))(( )( 22 ????? sssssH a 24 該濾波器的圖如圖 所示。 % Calculation of Impulse response。 [C,B,A]=sdir2cas(b,a) C= B=0 0 1 A= %Calculation of Frequency response。 [b,a]=afd_chbl(Wp,Ws,Rp,As)。Attn=10?(As/20)。 As=16。 Ws=*pi。 例題 利用 MATLAB 設(shè)計(jì)例題 中給出的模擬切比雪夫Ⅰ型低通濾波器。 N=ceil(log10(g+sqrt(g*g1))/log10(OmegaR*OmegaR1)))。 Omegar=Ws/Wp。 A=10? (As/20)。(Rp0) %As=Stopband attenuation in +dB。Wp0 %Ws=stopband edge frequency in rad/sec。 %b=Numerator coefficients of Ha(s)。 %Analog Lowpass Filter Desogn。這個(gè)函數(shù)給出如下，并利用在例題 中所描述 的過(guò)程。 B=k*B。 b0=k。 A=real(poly(p))。 And=a(N+1)。 Rp0 %Omegac=cutoff frequency in radians/sec % [z,p,k]= chblap(N,Rp)。 %Unnormalized chebyshev1 Analog Lowpass Filter Prototype % %[b,a]= u_chblap(N,Rp,Omegac)。這可以通過(guò)將這個(gè)歸 20 一化濾波器的數(shù)組 P 倍乘以 c? 來(lái)完成，和巴特沃茲原型濾波器相似，這個(gè)濾波器沒(méi)有零點(diǎn)，新的增益 K 利用（ ）式確定，這可以將原來(lái)的K 倍乘以非歸一化分母多項(xiàng)式對(duì)歸一化分母多項(xiàng)式的比在 s=0 的求值來(lái)完成。現(xiàn)在這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)給出為 )()( ka psksH ?? ? （ ） 式中 K 是某個(gè)歸一化因子，選擇成 ??????? 　?。螢榕紨?shù)　　　　?。螢槠鏀?shù)211,1)0(?jH a （ ） MATLAB 實(shí)現(xiàn) MATLAB 提供了一個(gè)稱(chēng)為 [z,p,k]=cheblap（ N， pR ） 的函數(shù)用于設(shè)計(jì)一個(gè) N 階和通帶波紋為 pR 的歸一化切比雪夫Ⅰ型模擬 原型濾波器，并得到在數(shù)組 z 中的零點(diǎn)，數(shù)組 P 中的極點(diǎn)和增益值 k。通過(guò)求下式的根可以獲得 )()( sHsH aa ? 的極 19 點(diǎn) )(1 22 cN jsT ??? 求得這個(gè)方程的解如果不困難的話也是很煩的。 （ 4） 對(duì) x1（或 ? c? ） , 2|)(| jxHa 單調(diào)下降到零 （ 5） 在 x= c? ， 2|)(| jxHa =21A。 （ 2） 在 x=1（或 ? = c? ）；22 1 1|)1(| ???jH a，對(duì)所有 N。根據(jù)這兩種相應(yīng)的圖可看出下面幾個(gè)性質(zhì)： （ 1） 在 x=0（或 ? =0）； 1|)0(| 2 ?jH a ， N 為奇數(shù)。 存在有兩種可能得 2|)(| ?jHa 形狀，分別對(duì)應(yīng)于 N為奇數(shù)和 N為偶數(shù)，看下圖所示。因此，切比雪夫?yàn)V波器對(duì)相同得指標(biāo)要求來(lái)說(shuō)會(huì)比利用巴特沃茲濾波器具有較低得階次 切比雪夫 Ⅰ型濾波器得幅度平方響應(yīng)是 )(11|)(|222cNa TjH????? ? （ ） 這里 N 是濾波器得階，是通帶波紋因子（它與 pR 有關(guān)）以及 )(xTN 是 N階切比雪夫多項(xiàng)式，它為 18 cNxxx xxNxT ???????? ??? ??? ? ? 其中1)),((c os hc os 10)),(c osc os ()( 1 1 正是由于這個(gè)多項(xiàng)式 )(xTN 而產(chǎn)生了切比雪夫?yàn)V波器得等波紋響應(yīng)。 17 圖 例題 中的巴特沃茲模擬濾波器 （ a）幅度響應(yīng)；（ b）幅度 (dB) 圖 例題 中的巴特沃茲模擬濾波器 （ a）象位響應(yīng)；（ b）脈沖響應(yīng) 切比雪夫低通濾波器 有兩類(lèi)切比雪夫?yàn)V波器，切比雪夫 Ⅰ 型濾波器在通帶具有等波紋響應(yīng)，而切比雪夫 Ⅱ 行濾波器在阻帶內(nèi)均具有單調(diào)相應(yīng)。 系統(tǒng)函數(shù)給出 )498 )(248 ( 123 )( ???? sssH sa 這個(gè) )(saH 與例題 的結(jié)果稍有不同，這是因?yàn)樵诶} 中用了c? =，而在 afd_butt 函數(shù)中 c? 是按滿足在 p? 的要求選定的。 %calculation of Impulse response。 [C,B,A]=sdrr2cas(b,a) C= B=0 0 1 A= 0 %Calculation of Frequency Response。 [b,a]=afd_nutt(Wp,Ws,Rp,As)。Attn=10^(As/20)。As=16。 Ws=*pi 。 例題 利用 MATLAB 設(shè)計(jì)在例題 中給出得模擬巴特沃茲低通濾波器。 Pha=angle(H)。 16 Mag=abs(H)。Modified version % %[db,mag,pha,W]=fewqs_m(b,a,wmax)。 Fuction[db,mag,pha,W]=freqs_m(b,a,Wmax)。這個(gè)函數(shù)與早先討論過(guò)的freqz_m 函 數(shù)是類(lèi)似的。 為了展示模擬濾波器的頻域圖，我們提供了一個(gè)稱(chēng)為 freqs_m 的函數(shù)，它是由 MATLAB 提供的函數(shù) freqs 的修正形式。 Fprintf(‘\n***Butterworth Filter Order =%\n’,N) Omegac=Wp/((10^(Rp/10)1) ^(1/(2*N)))。 WsWp0 %Rp=Passband ripple in +dB 。 15 %b=numerator coefficient of Ha(s) %a=Denominaror coefficients of Ha(s) %Wp=passband edge frequency in rad/sec。 % Analog lowpass Filter Design。這個(gè)函數(shù)利用（ ）式?，F(xiàn)選 c? =，這樣就必須設(shè)計(jì)一個(gè)N=3 和 c? = 的巴特沃茲濾波器，這就是在例題 中完成得，所以 ))(( )( 2 ????? sssjH a MATLAB 實(shí)現(xiàn) 上面設(shè)計(jì)過(guò)程在 MATLAB 中可以作為一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。為了在 p? 精確滿足指標(biāo)要求，可以 )110(2 10/ ????pRpc N 或者在 c? 精確地滿足指標(biāo)要求，可以 )110(2 10/ ???? sRsc N 14 例題 設(shè)計(jì)一個(gè)滿足下面要求的低通巴特沃茲濾波器； 同帶截止頻率 ???p ；通帶 波紋 dBRp 7? 阻帶截止頻率 ???s ；阻帶波紋 dBAs 16? 題解 由（ 式） 3][])(2 )]110/()110l og [([ ????? ??N 為了準(zhǔn)確在 p? 滿足指標(biāo)要求。我們想要： 或）在（ pap RjHL o g ?????? 2|)(|10,1pNcpRL o g ????? })(1 1{10 2 或在 sa AjH ?????? 210s )(l o g10,)2(sNcsAL o g ????? })(1 1{10 2 對(duì)這兩個(gè)方程解出 N 和 c? ，有 )/(2 )]110/10/()110[( 1010/10spARL ogL ogNsp?? ??? 一般來(lái)說(shuō)，上面 N 不會(huì)是一個(gè)整數(shù)。 [C,B,A]=sdir2cas(b,a) C= B=0 0 1 A= 0 ――――――――――――――――――――――――――――――――――― 這個(gè)級(jí)聯(lián)型的系數(shù)與例題 是相同的。 Omegac=。 % %Denominator secondordersections： P=cplxpair(roots(a))； K=floor(Ka/2)； If k*2==Na %Computation when Na is even A=zeros(K， 3)； For n=1： 2： Na Arow=p(n： 1： n+1，： )； Arow=poly(Arow)； A(fix((n+1)/2))=real(Arow)； End Else if NA==1 % Computation when Na=1 A=[0， real(poly(p))]； Else %putation when Na is odd and 1 A=zeros(K+1， 3)； For n=1： 2： 2*k Arow=p(n： 1： n+1)； Arow=poly(Arow)； 12 A(fix((n+1)/2))=real(Arow)； End A= (K+1， )； =[0， real(poly(p(Na)))] End %Numerator secondordersections： z=cplxpair(roots(b))； K=floor(Nb/2)； If Nb==0 %Computation when Nb=0 B=zeros(K， 3)； For n=1： 2： Nb Brow=z(n： 1： n+1，： )； Brow=poly(Brow)； B(fix((n+1)/2)，： )=real(Brow)； End Else %putation when Nb is odd and 1 B=zeros(K+1， 3)； For n=1： 2： 2*k Brow=z(n： 1： n+1，： )； Brow=poly(Brow)； B(fix((n+1)/2)，： )=real(Brow)； End B(K+1，： )=[0real(poly(z(Nb)))]； End 例題 設(shè)計(jì)一個(gè) ??c 由例題 給出的三階巴特沃茲模擬原型濾波器。a=a/a0。 b=b/b0。Nb=length(b)1。 Function[c,b,a]=sdir2cas(b,a)。第 6 章已經(jīng)研究過(guò)如何將一個(gè)直接型轉(zhuǎn)換為一種級(jí)聯(lián)型。 上面函數(shù)提供了一種直接型（或分子 分母型）結(jié)構(gòu)。 b0=k 11 b=k*B。 % b=numerator polynomial coefficients of Ha(s) % a=denominator poltnomial coefficients of Ha(s) % N=Order of the Butterworth Filter %Omegac=Cutpff frequency in radians/sec %omegac=cutoff frequency in radians/sec % [z,p,k]=buttap(N)。 Function［ b,a］ =u_buttap(N,omegac)。這意味著必須將這個(gè)歸一化濾波器的數(shù)組 P 倍乘以 c? ，而增益 K 倍乘以 Nc? 。然而，需要的是具有任意 c? 的非歸一化的巴特沃