【正文】 巴特沃斯數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書 25 在 MATLAB 中，可以利用 butter 函數(shù)設(shè)計(jì)各種形式的數(shù)字濾波。 基于 MATLAB 函數(shù)直接設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器 通?？梢岳?MATLAB 很方便地設(shè)計(jì)出所需的濾波器，總體來(lái)說(shuō)， MATLAB 一共有 4種設(shè)計(jì) IIR 濾波器的方法，它們是模擬原型法、直接法、參數(shù)模型法和通用巴特沃斯法。 但是這種方法有固有的 3 個(gè)缺點(diǎn)：模擬頻率 Ω與數(shù)字頻率 ω之間是非線性關(guān)系，它使得頻率的標(biāo)度彎曲；不能保持原來(lái)的模擬濾波器的相頻特性； )(zH 的頻率響應(yīng)和時(shí)間響應(yīng)與模仿的 )(sHa 有明顯的差別。 雙線性變換法與脈 沖響應(yīng)不變法相比較，其主要優(yōu)點(diǎn)是 s 平面與 z 平面之間是單一的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而消除了頻譜混疊現(xiàn)象。 通過(guò)計(jì)算得到此濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： 21 223)1( )22(1)(112121 ???????????zzzzzh () 其頻率函數(shù)為： 211223)11()22(1)(22????????????jjjjjeeeeeH () 天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書 24 圖 利用雙線性變換法得到的數(shù)字濾波器的幅頻特性 Fig. Amplitudefrequency characteristic of digital filter withBilinear transform obtained 特性分析：上圖顯示了模擬濾波器和數(shù)字濾波器的頻率幅度響應(yīng)，數(shù)字濾波器的頻率幅度響應(yīng)是以 2π為周期的函數(shù)。 ezplot(abs(hrad0),[0,2*pi])。 ezplot(abs(hrad1),[0,2*pi])。 hrad0=subs(hs,s,i*rad0)。 sz=k*(11/z)/(1+1/z)。 hs=1/(s*s+3*s+2)。 程序如下： syms k hrad1 hrad0 rad0 rad1 hs hz sz s z。 天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書 23 通常在進(jìn)行公式的運(yùn)算過(guò)程中比較復(fù)雜，但是如果 利用 MATLAB 的函數(shù)和符號(hào)處理工具箱可以很方便地解決。例如，如果使得模擬濾波器與數(shù)字濾波器在低頻處有 比較確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即在低頻處有 ? ≈ 1? 。 利用上面兩個(gè)公式可以得到從 S 平面到 Z 平面的對(duì)應(yīng)關(guān)系為： 1111 ????? zzks () kskss???11 () 以上的兩個(gè)公式是兩個(gè)線性函數(shù)之比，故為線性分式變換，因此稱之為雙線性變換法。 可以將上式改寫成： 天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書 22 TjTjTjTjeeeekj22221111?????????? () 解析延拓到整個(gè) s 平面和 1s 平面，即令 ?j =s, 1?j =s1，則： TsTsTsTsTsTseekeeeeks111111112222?????????? () 由此得到了 s 平面和 1s 平面的映射公式。當(dāng) 1? 從 T/?? 變到 T/? 時(shí)，從上式可知， Ω便從 ∞ 變到 +∞ ，這樣，s 平面的整個(gè) ?j 軸便映射到 1s 平面 1?j 軸的一段，即 TT // 1 ?? ???? 。整個(gè)過(guò)程如下圖 所示。 [10] 雙線性變換法是使得數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器頻率響應(yīng)的一種方法。消除多值性，使得 s 平面與 z 平面間建 立一一對(duì)應(yīng)的單值映射關(guān)系，從而消除了頻譜混疊現(xiàn)象。如果我們?cè)O(shè)想。因而用這種方法設(shè)計(jì)的濾波器只適合于充分帶限的低通或帶通濾波器，而高通和帶阻濾波器不宜采用這種方法來(lái)設(shè)計(jì)。 脈沖響應(yīng)不變法的另一個(gè)特點(diǎn)是時(shí)域逼近性能良好，即脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的取樣響應(yīng)能夠較好地模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)，這在很多場(chǎng)合是非常需要的。 脈沖響應(yīng)不變法的主要特點(diǎn)是頻率坐標(biāo)的變換是線性變換，即： sfT /????? () 因而，如果模擬濾波器的頻率響應(yīng)是充分帶限的，即當(dāng) T??? 時(shí)， 0)( ??jHa 。由于混疊失真的影響，數(shù)字濾波器和模擬濾波器的幅度頻率響應(yīng)在 0～ π上有所不同。 grid on。 hold on。 hrad2=subs(hz,exp(i*rad*T))。 hz=ztrans(hn)。 ht=ilaplace(hs)。 hs=1/(s*s+3*s+2)。 例 如已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： 231)( 2 ??? sssH a () 要求利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器，其中采樣周期 T=1。 假設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) )(sHa 只有單階極點(diǎn)，且 M〈 N，系統(tǒng)函數(shù)可用部分分式表示為： ?? ?? Nkkka ss AsH1)( () 其拉普拉斯反變換脈沖響應(yīng) )(tha 為： ???????? ??000)( 1tteAthNktskak () 對(duì) )(tha 進(jìn)行等間隔采樣，可以得到數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng) )(nh ：???????? ??000)( 1tteAnhNknTskk () 然后對(duì) )(nh 進(jìn)行 z 變換，便得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： ??? ?????? ??? Nk Tsknn zeAznhzHk1 11)()( () 由此可知，通過(guò)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，可以直接求得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，這種方天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書 19 法求取數(shù)字濾波器的函數(shù)是比較方便的。只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在超過(guò)折疊頻率后的衰減很大時(shí)，混疊失真才能很小，此時(shí)采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的濾波器才能滿足設(shè)計(jì)的要求。因而將不可避免的出現(xiàn)頻率的交疊，即混疊失真。模擬信號(hào)的拉普拉斯變換和它的采樣序列的 Z 變換的關(guān)系為： ?????? ?????? ?? k aez kTjsHTzH st ?21)( () 可以看出，利用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換成數(shù)字濾波器，實(shí)際上是首先將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) )(sHa 作周期的延拓 ，再經(jīng)過(guò) stez? 的映射變換，從而得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) )(zH 。 將模擬濾波器的沖激響應(yīng) )(tha 進(jìn)行等間隔采樣，使得數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng) )(nh剛好等于 )(tha 的采樣值，即： )()()( nThthnh anTta ?? ? () 其中 T 為采樣周期。并聯(lián)結(jié)構(gòu)的靈敏度優(yōu)于直接型和正準(zhǔn)型，運(yùn)算累積誤差比級(jí)聯(lián)型小。上式可以解釋為一階和二階系統(tǒng)的并聯(lián)組合。 并聯(lián)型 作為系統(tǒng)函數(shù)的另一種表示形式，可以將 H(z)表示成如下形式的部分分式展開： ??? ? ?? ?? ?? ? ?? ????? 210 1 1*1 10 10 )1)(1( )1(1)( NkkkkkNk kkNkkk zpzp zeBzdAzGzH （ ） 由于式 ()中的 H(z)系數(shù)為實(shí)數(shù)，因此，式 中各系數(shù)均為實(shí)數(shù)。 ，分母的系數(shù)確定一對(duì)極點(diǎn)，因?yàn)樽泳W(wǎng)絡(luò)的零極點(diǎn)也即整體網(wǎng)絡(luò)的零極點(diǎn)，所以整個(gè)系統(tǒng)的零極點(diǎn)都可以準(zhǔn)確的由每一級(jí)的系數(shù)來(lái)調(diào)整和控制，這樣便于調(diào)整濾波器的頻率響應(yīng)性能。從前面對(duì)直接形式的討論可知，如果每個(gè)二階子系統(tǒng)用直接Ⅱ型實(shí)現(xiàn)，就可以得到具有最少存儲(chǔ)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)。在這種情況下我們已經(jīng)假設(shè) NM? ，在將 H(z)寫成這種形式時(shí)，假設(shè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)和實(shí)數(shù)零點(diǎn)已經(jīng)合并，并具有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，則系統(tǒng) kb2 有一個(gè)等于零。由于 H(z)的系數(shù)均為實(shí)數(shù)，因此零、極點(diǎn)只有兩種可能，或者為實(shí)數(shù)，或者為復(fù)共軛對(duì)。該式代表由一階和二階子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)組成的一組結(jié)構(gòu)形式。而二階因式表示共軛零點(diǎn) kh 和 ?kh ，以及共軛極點(diǎn) kd 和 ?kd 。如果把分子分母多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，則可將 H(z)寫成： 天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書 15 ???????????????????????21211111111111)1)(1()1()1)(1()1()( NkkkNkkMkkkMkkzdzdzczhzhzgAzH （ ） 式中的 21 2MMM ?? 和 21 2NNN ?? 。 。 直接型（正準(zhǔn)型）的共同缺點(diǎn)： 。因而在軟件實(shí)現(xiàn)時(shí)可以節(jié)省存儲(chǔ)單元。如果先實(shí)現(xiàn) H(z)的極點(diǎn)，后實(shí)現(xiàn) H(z)的零點(diǎn)，并且合并 1?z 的支路，則可得出 IIR 系統(tǒng)直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)，其信號(hào)流圖如圖 所示。因此，圖 可以解釋為兩個(gè)系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)組成。該圖表示的是 直接Ⅰ型 IIR 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。這部分網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)。 第二部分為 ?? ?N1k )( knyak， 它表示將輸出信號(hào)進(jìn)行延時(shí)，組成 N 節(jié)的延時(shí)網(wǎng)絡(luò)，把每節(jié)延時(shí)抽頭后與常系數(shù) ka 相乘，然后再把結(jié)果相加。 直接 Ⅰ 型 從（ ）式的差分方程可以看出，系統(tǒng)的輸出 y(n)由兩個(gè)部分構(gòu)成： 第一部分為 ?? ?Mk k knxb0 )(， 它表 示將輸入信號(hào)進(jìn)行延時(shí)，組成 M 節(jié)的延時(shí)網(wǎng)絡(luò)，把每節(jié)延時(shí)抽頭與常系數(shù) kb 相乘，然后再把結(jié)果相加，這是一個(gè)橫向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)以子系統(tǒng)的并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)。每個(gè)二階環(huán)節(jié)以直接形式出現(xiàn)，整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由二階環(huán)節(jié)的級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)。因此這種實(shí)現(xiàn)有兩種形式，即直接Ⅰ型和直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)。 實(shí)現(xiàn)同一個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) H(z)，可以用不同的結(jié)構(gòu)形式，它的主要結(jié)構(gòu)形式有以下三種： 直接型（整準(zhǔn)型）：在此形式中，差分方程（ ）以給定的形式直接實(shí)現(xiàn)。 }),1(),(),1(,{)( ?? ??? nxnxnxfny （ ） 若系統(tǒng)是線性、非移變、因果的，則有 ??? ?? 0 )( )()( k kk aknxany 為常數(shù) （ ） 若又有 kN 時(shí)， ka =0，則 ?? ?? Nk kk aknxany 0 )( )()( 為常數(shù) （ ） 天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書 12 遞歸型：輸出對(duì)輸入有反饋，輸出取決于輸入和反饋。 天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書 11 圖 數(shù)字濾波器的通帶分布 Fig. Distribution of digital filter pass band 系統(tǒng)的描述 模擬系統(tǒng)通常用微分方程描述，離散系統(tǒng)則用差分方程來(lái)描述。只需研究 ? ～? ，不需要在整個(gè) ? 軸上分析其信號(hào)。 [7] 數(shù)字濾波器按功能分為低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器。 x(n)是離散的信號(hào) ,每個(gè) x(k)可能有不同的幅值 ,有了前后不同幅值的變化 ,就可以引出離散信號(hào)的頻率這一性質(zhì)。天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書 10 第二章 數(shù)字濾波器基礎(chǔ) 數(shù)字濾波器的基本概念 這里所講的數(shù)字濾波器都是一個(gè)離散的 LTI（ 線形時(shí)不變 ） 系統(tǒng)，離散 LTI 系統(tǒng)模型如圖 ： h ( n )x ( n ) y ( n ) = h ( n ) * x ( n ) 圖 離散 LTI 系統(tǒng)模型 Fig. The model of LTI system 注： x(n)、 y(n)分別是系統(tǒng)的輸入輸出序列， h(n)是系統(tǒng)本身的特性 (轉(zhuǎn)移算子 )。近年來(lái)該軟件系統(tǒng)開始在我國(guó)國(guó)內(nèi)流行。在歐美等高校，MATLAB 已成為理工科高級(jí)課程的基本工具，成為攻讀學(xué)位的大學(xué)生、碩士生、博士生必 須掌握的技能。 [6] MATLAB 軟件自 1984 年推向市場(chǎng)以來(lái)，歷經(jīng)十幾年的發(fā)展和競(jìng)爭(zhēng)，現(xiàn)已成為 (