【正文】 由它們各自的一階自遞歸過程產生，即 )1()1()( ???? kwkxakx ???? (23) 式中： ?=1， 2，?， q 。 若上述個一階自遞歸過程中的過程噪聲是彼此獨立的白噪聲序列，則可以定義一個由這 q 個獨立的標量隨機信號組成的 q 維隨機信號向量 ???????????????)(......)()()( 21kxkxkxkxq (24) 和一個由 q 個獨立的白噪聲序列組成的 q 維過程噪聲向量 T a + + x(k1) x(k) w(k1) C + + v(k) y(k) their owncdsvlpa,mxukgf.()ybTqCzjSAX ???????????????)(......)()()( 21kwkwkwkwq (25) 并將（ 23）式寫成一個一階的向量方程 )1()1()( ???? kwkAxkx (26) 式中：和均為（ q 1）維列向量，而 A 則是一個（ q q）階矩陣 ???????????????qaaaA......0......0...00...021 (27) 我們稱之為系統(tǒng)矩陣。 在引入 q 維過程噪聲向量后，原標量過程噪聲的方差? ? ),. .. ,2,1()( 22 , qkwEw ?? ????? 將變成 q 維過程噪聲向量 )(kw 的協(xié)方差矩陣 ? ?TkwkwEkQ )()()( ? (28) 因為我們假設產生 q 個獨立標量隨機信號的一階自遞歸過程的過程噪聲是彼此獨立的白噪聲序列，故 ??????????????????2,22,221,1. . .00. . .. . .0. . .00. . .0)(qwqwwkQ (29) 顯然，此協(xié)方差矩陣對角線上個元素即為組成該過程噪聲向量的個分量的方差。 多維測量數(shù)據(jù)向量及其數(shù)學模型 their owncdsvlpa,mxukgf.()ybTqCzjSAX假設為了對一個 q 維隨機信號向量進行最優(yōu)濾波或預測，在 k 時刻對)(kx 的前 r 個分量，令 r＜ q，同時進行了一次測量。得到 r 個測量數(shù)據(jù)的樣值，用 )(1ky ， )(2ky ， ? ， )(kyr 表示，即 ?????????????)()()(...)()()()()()(22221111kvkxckykvkxckykvkxckyrrrr （ 210） 式中： 1c ， 2c ， ? ， rc 為測量系統(tǒng)的量測參數(shù)； 1v ， 2v ， ? ， rv 為測量過程中引入的附加量測噪聲。 （ 210）式可寫成一個一階向量方程 )()()( kvkCxky ?? （ 211） 式中： )(ky 和 )(kv 為（ r 1）維列向量， )(kx 為（ q 1）維列向量，而C 則是一個（ r q）階矩陣 ?????????????????0.. ... ... .0.. ... .0.. .0.. .00.. .0.. .021rcccC （ 212） 稱為量測矩陣回觀測矩陣。 顯然，一階向量方程（ 211）式就是 r 維測量數(shù)據(jù)向量 )(ky 的數(shù)學模型，或者說是 q 維隨機信號向量 )(kx 的測量過程的數(shù)學模型。 在引入 r 維量測噪聲向量后，原標量量測噪聲的方差此時也將變成量測噪聲向量的協(xié)方差矩陣 their owncdsvlpa,mxukgf.()ybTqCzjSAX? ?TkvkvEkR )()()( ???????????????????2,22,221,1...00......0...00...0rvrvv （ 213） their owncdsvlpa,mxukgf.()ybTqCzjSAX3．卡爾曼濾波器 標量卡爾曼濾波器的基本內容 一維隨機信號的遞歸型估計器的一般表達式：)()()1()()( kykbkxkakx ??? ?? (31) 在信號數(shù)學模型為（ 21）式、測量過程的數(shù)學模型為（ 22）的條件下，以均方估計誤差最小為準則對估計器的加權系數(shù) )(ka 和 )(kb 進行最優(yōu)化，并推導出標量卡爾曼濾波器的最優(yōu)估計的遞推算法。 由（ 32）式表述的遞歸型估計器在 k 時刻對信號 )(kx 的估計誤差為 )()()( kxkxke ??? (32) 均方估計差為 2)()()( ?????? ???kxkxEkP (33) 若將（ 31）式代入（ 33）式，可得 2)()()1()()()(?????? ???? ? kykbkxkakxEkP (34) 若令 )(kP 對 )(ka 和 )(kb 的偏導數(shù)為零，即 0)1()()()1()()(2)( )( ??????? ??????? ??????? ?? kxkykbkxkakxEka kP (35) 0)()()()1()()(2)( )( ??????? ?????? ??????? ? kykykbkxkakxEkb kP (36) 則由（ 35）式和（ 36）式中解出 )(ka 和 )(kb 將保證該遞歸型估計器的均方估計誤差為最小。 their owncdsvlpa,mxukgf.()ybTqCzjSAX 根據(jù)統(tǒng) 計估計理論中的正交原理，我們也可將（ 35）式和（ 36）式分別寫成正交方程的形式，即 0)1()( ??????? ?? kxkeE (37) ? ? 0)()( ?kykeE (38) 由 （ 35）式，我們可得 ? ? ?????? ????????? ??????? ? ??? )1()()()()1()1()( kxkykbkxEkxkxkaE (39) 再由（ 39）式出發(fā)，經過一系列的代換可求出 ? ?)(1)( kcbaka ?? (310) 此式為經過最優(yōu)化得到的 )(ka 表達式。式中： )(ka 是最優(yōu)遞歸型估計器的一個時變增益，它將隨時標 k 的改變而變化。 a 是信號模型中反映一階自遞歸過程惰性大小的參數(shù)，只要信號模型確定后，它就是一個常數(shù)。顯然， )(ka和 a 是兩個意義完全不同的量。我們還可以看出，由于式中還包含另一個未知的時變增益 )(kb ，因此它實際 上只是一個 )(ka 與 )(kb 的關系式。要想最終確定 )(ka ，還必須求出 )(kb 。 最優(yōu)遞歸型估計器對信號 )(kx 的均方估計誤差可寫成 ? ? ? ?)()()()1()()()()()( kykeEkbkxkeEkakxkeEkP ??????? ??? ? 由正交公式（ 37）式和（ 38）式可知，上式等號右側的后兩項為零，故 ? ?)()()( kxkeEkP ? (311) their owncdsvlpa,mxukgf.()ybTqCzjSAX由量測方程（ 22）式，我們可得 ? ?)()(1)( kvkyckx ??? 代入（ 311）式，因為信號 )(kx 與量測噪聲 )(kv 不相關，（ 1?k ）時刻的信號估計值 )1( ??kx 與 k 時刻的量測噪聲也不相關，故 ? 2)(1)(vkbckP ? (312) 我們還可以把最優(yōu)遞歸型估計器對信號的均方估計誤差寫成 ? ? 2)()()()1()()1()1()( ?????? ???????? ? kvkcxkbkxkakwkaxEkP (313) 再利用 )(ka 與 )(kb 的關系式（ 310）式 ? ?)(1)( kcbaka ?? 因為 )1(?e 、 )1( ?kw 和 )(kv 互不相關，它們的交叉乘積項的均值都為零，故 ? ? ? ? ?? 222222 )()(1)1()(1)( vw kbkcbkPkcbakp ?????? (314) 將（ 312）式代入（ 314）式，經整理后求解得 ? ?)1()1()(2222222??????kPacckPackbwvw?? ? (315) 此式即經過最優(yōu)化所得到的 )(kb 的表達式。 their owncdsvlpa,mxukgf.()ybTqCzjSAX 最優(yōu)遞歸型估計器的構成 由（ 31）式 )()()1()()( kykbkxkakx ??? ?? 所表述的 遞歸型估計器，當其時變增益 )(ka 和 )(kb 經過最優(yōu)化，即分別有（ 310）式和（ 315）式給出時，就是一個最優(yōu)遞歸型估計器，其均方估計誤差最小。 利用（ 310）式，我們可從（ 31）式中消去 )(ka ，得到 ?????? ????? ??? )1()()()1()( kxackykbkxakx (316) 由（ 316）式，可構成一個最優(yōu)遞歸型估計器 標量卡爾曼濾波器，其框圖如圖 31。 圖 31 標 量卡爾曼濾波器框圖 對（ 316）式物理意義的說明：在尚未獲得 k 時刻的新測量樣值 )(ky 以前，我們只能從 )1( ?k 時刻對信號所作出的估計 )1( ??kx 出發(fā)，根據(jù)由信號數(shù)學模型 )1()1()( ???? kwkaxkx 所確定的規(guī)律來對 k 時刻的信號 )(kx 進行預b(k) c a T y(k) x(k) + _ )1()( ?? ?? kxacky )1( ??kxa + + their ownc