【文章內(nèi)容簡介】 (312) 如果令 vx? ，則有： ? ?? ? ? ?22s mlVs I m l s m gl? ? ?? (313) 把上式代入方程組（ 310）的第二個方程，得到 : )()()()()()()( 22222 sUssmlsssgml mlIbsssgml mlImM ?????????? ?????????? ??? (314) 整理后得到以輸入力 u 為輸入量，以擺桿擺角 ? 為輸出量的傳遞函數(shù)： 224 3 2()() ( ) ( )ml ss qUs b I m l M m m g l b m g ls s s sq q q? ???? ? ? (315) 其中 : ])())([( 22 mlmlImMq ???? 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 8 狀態(tài)空間數(shù)學模型 由現(xiàn)代控制理論原理可知，控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫成如下形式： DuCXY BuAXX ?? ??? (316) 方程組 (39)對 ???,x 解代數(shù)方程，得到如下解： ????????????????????????????????????uM mlmMImlM mlmMImMm g lxM mlmMIm l buM mlmMImlIM mlmMIglmxM mlmMIbmlIxxx2222222222)()()()()()()()()(??????????????? (317) 整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程： uM m lmMImlM m lmMImlIxxM m lmMImMm g lM m lmMIm l bM m lmMIglmM m lmMIbmlIxx???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010???????????? 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? (318) 由 (39)的第一個方程為： ? ?2I m l m gl m lx??? ? ? 對于質(zhì)量均勻分布的擺桿有： 213I ml? 于是可以得到： 2213 m l m l m g l m lx????? ? ????? 化簡得到： 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 9 3344g xll???? (319) 設(shè) TX x x ????? ??， ux?? ， 則有： 0 1 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 0330 0 044x xx xugll????? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ?? ???? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ????? ????? ? ? ?? ? ? ? 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? (320) 實際系統(tǒng)參數(shù)如下 ： M 小車質(zhì)量 Kg m 擺桿質(zhì)量 Kg b 小車摩擦系數(shù) 0 .1N/m/sec l 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 I 擺桿慣量 kg*m*m 把上述參數(shù)代入，可以得到系統(tǒng)的實際模型。 擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)： ? ?? ? 220 .0 2 7 2 50 .0 1 0 2 1 2 5 0 .2 6 7 0 5s sXs s? ? ? (321) 擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為： ? ?? ? 20 .0 2 7 2 50 .0 1 0 2 1 2 5 0 .2 6 7 0 5sVs s? ? ? (322) 擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)： 32( ) 2 .3 5 6 5 5() 0 .0 8 8 3 1 6 7 2 7 .9 1 6 9 2 .3 0 9 4 2ssUs s s s? ? ? ? ? (323) 以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 10 0 1 0 0 00 0. 08 83 16 7 0. 62 93 17 0 0. 88 31 670 0 0 1 00 0. 23 56 55 27 .8 28 5 0 2. 35 65 5x xx xu?????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ? ? ????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ? ????? ? ? ? ????? 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? (324) 以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： 0 1 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 00 0 2 9 . 4 0 3x xx xu?????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ????? 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ??? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? (325) 需要說明的是，在 本文 的控制器設(shè)計和程序中，采用的都是以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，如果需要采用力矩控制的方法，可以參考以上把外界作用力作為輸入的各式。 系統(tǒng)階躍響應(yīng)分析 上面已經(jīng)得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程，先對其進行階躍響應(yīng)分析，在 MATLAB 中鍵入以下命令： clear。 A=[0 1 0 0。0 0 0 0。0 0 0 1。0 0 0]。 B=[0 1 0 3]39。 C=[1 0 0 0。0 1 0 0]。 D=[0 0]39。 step(A,B,C,D)。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 11 得到如下計算結(jié)果： 圖 33 直線一級倒立擺單位階躍響應(yīng)仿真 可以看出，在單位階躍響應(yīng)作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的。 倒立擺狀態(tài)方程及開環(huán)階躍響應(yīng)也可以采用編寫 M文件的仿真，仿真程序如下： M = 。 m = 。 b = 。 I = 。 g = 。 l = 。 p = I*(M+m)+M*m*l^2。 A = [0 1 0 0。 0 (I+m*l^2)*b/p (m^2*g*l^2)/p 0。 0 0 0 1。 0 (m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0] B = [ 0。 (I+m*l^2)/p。 0。 m*l/p] 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 12 C = [1 0 0 0。 0 0 1 0] D = [0。 0]。 T = 0::5。 U = *ones(size(T))。 [Y,X] = lsim(A,B,C,D,U,T)。 plot(T,Y)。 axis([0 2 0 100])。 grid。 運行后得到如圖的仿真結(jié)果： 圖 34 倒立擺狀態(tài)方程及開環(huán)階躍響應(yīng)仿真結(jié)果 倒立擺傳遞函數(shù)、開環(huán)極點及開環(huán)脈沖響應(yīng)也可 采用編寫 M文件的仿真，仿真程序如下： M = 。 m = 。 b = 。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 13 I = 。 g = 。 l = 。 q = (M+m)*(I+m*l^2)(m*l)^2。 num = [m*l/q 0 0]。 den = [1 b*(I+m*l^2)/q (M+m)*m*g*l/q b*m*g*l/q 0]。 [r,p,k] = residue(num,den)。 s = p 。 t=0::5。 impulse(num,den,t)。 axis([0 1 0 60])。 grid。 運行后得到