【文章內(nèi)容簡介】 該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，如果控制系統(tǒng)受到擾動(dòng)作用后，其瞬態(tài)響應(yīng)隨時(shí)間的推移而發(fā)散， 輸出呈持續(xù)振蕩過程，或者輸出無限本科畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 2 一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立與控制系統(tǒng) 8 制地偏離平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù) :n 階線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng) x = Ax + Bu的平衡狀態(tài)ex =0 漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣 A 的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。 ②系統(tǒng)的能控性定義及判據(jù) 對線性時(shí)變系統(tǒng)，如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)都是在 0t 時(shí)刻為能控的，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻 0t 是狀態(tài)完全 能控的，簡稱系統(tǒng)在時(shí)刻 0t 能控 [12]。 系統(tǒng)能控性判據(jù)： n 階線性定常連續(xù)系統(tǒng) x = Ax + Bu狀態(tài)完全能控，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的可控性矩陣： 21... nc B A B A B A BQ ???? ??滿秩，即 21... ncra n k ra n k B A B A B A B nQ ??????? ③系統(tǒng)的能觀性定義及判據(jù) 對于式 x Ax Buy Cx?????? ? ?00, dx t x t T?? 線性時(shí)變連 續(xù)系統(tǒng)，如果指定初始時(shí)刻 0dtT? ，存在一個(gè)有限的時(shí)刻1t dT? ， 01tt? ，對于所有的 01t ,tt ??? ??，系統(tǒng)的輸出能唯一的確定 0t 時(shí)刻的任意非零的初始狀態(tài)向量 0x ，則系統(tǒng)在 0t 時(shí)刻狀態(tài)是完全 能觀測，簡稱系統(tǒng)能觀測。 線性定常系統(tǒng)能觀性判據(jù)： n 階線性定常連續(xù)系統(tǒng) x Ax Buy Cx?????? 狀態(tài)完全可觀，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的可觀性矩陣： ? ? 10 nT T T T TC A C A CQ ???? ???? 的秩為滿秩，則該系統(tǒng)才是能觀測的。 基于狀態(tài)方程的系統(tǒng)定性分析 擺桿豎直向上是直線倒立擺系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，需要設(shè)計(jì)控制器來鎮(zhèn)定系統(tǒng)。既然需要設(shè)計(jì)控制器鎮(zhèn)定系統(tǒng)，那么就要考慮系統(tǒng)是否能控。我們所關(guān)心的是系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的性質(zhì)，因而可以采用線性化模型來分析。 直線一階倒立擺系 統(tǒng)的特征方程為 ? ?det λ I A = 0,經(jīng)過計(jì)算得到系統(tǒng)的特征根為： 0 0 ????。系統(tǒng)有一個(gè)極點(diǎn)在右半平面上，因此直線一階倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 本科畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 2 一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立與控制系統(tǒng) 9 對直線一階倒立擺系統(tǒng)線性狀態(tài)方程，根據(jù)能控性和能觀測性判據(jù)可得到： 23 4r a n k B A B A B A B?? ??? 23 4Tr a n k C C A C A C A ? 所以直線一階倒立擺系統(tǒng)是能控的和能觀測的。 一階直線倒立擺系統(tǒng) 的穩(wěn)定性分析可以利用 MATLAB 進(jìn)行驗(yàn)證仿真研究，通 過一階倒立擺的傳遞函數(shù)建立仿真模型。 ① 雙擊打開 Simulink 模塊中的 “ Sources” 模塊。 ② 選擇 “ Step” 模塊，使用鼠標(biāo)左鍵將其拖入空白的模型窗口，此時(shí)模型窗口中將顯示 “ Step” 。 ③ 雙擊打開 Simulink 的連續(xù)模塊組，使用鼠標(biāo)左鍵將傳遞函數(shù)模塊拖入到模型窗口，雙擊該模塊進(jìn)行設(shè)置。 ④ 打開 Simulink 的顯示庫，使用鼠標(biāo)左鍵將示波器模塊拖入模型窗口中。 如圖 。 圖 在單位階躍函數(shù)作用下的仿真結(jié)果如圖 和圖 所示 本科畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 2 一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立與控制系統(tǒng) 10 圖 本科畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 2 一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立與控制系統(tǒng) 11 圖 從 MATLAB 仿真結(jié)果也可以看出，一階倒立擺是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)。從圖中可見，當(dāng)擺角逐漸由零逐漸增大時(shí)，小車位置逐漸增加，故可以在一定程度上認(rèn)為一階倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是有效的。 一階倒立擺控制系統(tǒng) 一階倒立擺控制系統(tǒng)硬件 一階直線倒立擺控制系統(tǒng)硬件包括計(jì)算機(jī)、運(yùn)動(dòng)控制卡、伺服系統(tǒng)、一階直線倒立擺和光電碼盤反饋測量元件等幾大部分組成了一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)，如圖 所示。 圖 一階直線倒立擺控制系統(tǒng)硬件結(jié)構(gòu)框圖 光電碼盤 1 將小車的位移、速度信號反饋給伺服驅(qū)動(dòng)器和 運(yùn)動(dòng)控制卡，光電碼盤 2 用來檢測擺桿（和小車相連）的角度、角速度信號。計(jì)算機(jī)從運(yùn)動(dòng)控制卡中讀取實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，確定控制決策（小車向哪個(gè)方向移動(dòng)、移動(dòng)速度、加速度等）并由運(yùn)動(dòng)控制卡來實(shí)現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應(yīng)的控制量，使電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)小車運(yùn)動(dòng)，保持?jǐn)[桿的平衡。 一階倒立擺系統(tǒng)總體控制框圖 一階倒立擺系統(tǒng)總體控制框圖包含一階倒立擺本體、電控箱及運(yùn)動(dòng)控制器和控制計(jì)算機(jī)組成的控制平臺等四大部分組成。 ①控制計(jì)算機(jī)：采用工控機(jī)， CPU 的型號為酷睿 E5300，主頻 ,主存儲器為 320G，內(nèi)存 2G,擴(kuò)展有 4 個(gè) PCI 插槽。它是控制系統(tǒng)的核心部件，主要功能為產(chǎn)生定時(shí)中斷、采集系統(tǒng)狀態(tài)量、計(jì)算機(jī)控制量，相當(dāng)于一個(gè)實(shí)時(shí)控制器。 ②運(yùn)動(dòng)控制器：運(yùn)動(dòng)控制器的型號很多，它是以 IBMPC 及其兼容機(jī)為主機(jī)，本科畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 2 一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立與控制系統(tǒng) 12 提供了標(biāo)準(zhǔn)的 ISA 總線和 PCI 總線兩個(gè)系列的產(chǎn)品。該運(yùn)動(dòng)控制器提供 C 語言函數(shù)庫實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的控制功能，將這些控制函數(shù)靈活的控制系統(tǒng)所需的數(shù)據(jù)處理、界面顯示、用戶接口等部分集成在一起，建造出一階倒立擺的控制系統(tǒng)。本文采用的是 GT200SVPCI 運(yùn)動(dòng)控制器，控制計(jì)算機(jī)通過 PCI 接口與 GT200SV 運(yùn)動(dòng)控制器交換信息。包括向 運(yùn)動(dòng)控制器發(fā)出的運(yùn)動(dòng)控制指令，并通過該接口獲取運(yùn)動(dòng)控制器的當(dāng)前狀態(tài)和相關(guān)控制參數(shù)。 ③電控箱：電控箱主要完成驅(qū)動(dòng)和轉(zhuǎn)接的功能，箱內(nèi)安裝硬件有：交流伺服驅(qū)動(dòng)器、 I/O 接口板、直流電源、開關(guān)、指示燈等電器元件。通過它可以驅(qū)動(dòng)擺體上的交流伺服電機(jī)，為倒立擺系統(tǒng)提供控制量。同時(shí)當(dāng)系統(tǒng)失控、飛車時(shí)，可通過上面的電源開關(guān)切斷電源。 交流伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)器型號為 MSDA023A1A型小慣量電機(jī)驅(qū)動(dòng)器，額定輸入電壓：200230V，額定輸入電流： ，功率： 200W,輸出電流： ，控制電壓 U=（ 035）v。 ④一 階倒立擺本體：它是典型的多變量強(qiáng)耦合非線性被控對象。主要部件有：交流伺服電機(jī)、同步帶、增量式光電編碼器、擺桿、限位開關(guān)等。具體部件的型號及功能如下： 1）光電碼盤的型號為 OVW2062MD,是采集各個(gè)擺桿偏角和小車位移大小，單位為脈沖數(shù)，需要通過特定的公式轉(zhuǎn)換為有實(shí)際意義的數(shù)據(jù)。編碼器是一種角度傳感器，它分為光電式、接觸式和電磁感應(yīng)式三種，其中光電式脈沖編碼器是閉環(huán)控制系統(tǒng)中最常用的位置傳感器。 圖 光電編碼器原理示意圖 本科畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 2 一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立與控制系統(tǒng) 13 小車位置和擺桿擺角是通過光電編碼器來進(jìn)行測量的，旋轉(zhuǎn)編碼器有增量編碼器和 絕對編碼器兩種，圖 為光電式增量編碼器示意圖，它由發(fā)光元件、光電碼盤、光敏元件和信號處理電路組成。當(dāng)碼盤隨工作軸一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，光源透過光電碼盤上的光欄板形成忽明忽暗的光信號，光敏元件把光信號轉(zhuǎn)化成電信號，然后通過信號處理電路的整形、放大、分頻、記數(shù)、譯碼后輸出。為了測量出轉(zhuǎn)向，使光欄板的兩個(gè)狹縫比光電碼盤兩個(gè)狹縫距離小 1/4 節(jié)距，這樣兩個(gè)光敏元件的輸出信號就相差 2? 相位，將輸出信號送入鑒向電路，即可判斷碼盤的旋轉(zhuǎn)方向。 增量式光電編碼器的定子安裝在電機(jī)定子 上，轉(zhuǎn)動(dòng)部分與電機(jī)轉(zhuǎn)子同軸連接。當(dāng)光電碼盤隨著轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，檢測光柵不動(dòng)，光線透過碼盤和檢測光柵上的縫隙照射到光敏元件上。光敏元件將光信號轉(zhuǎn)化為電信號，然后通過信號處理電路整形、放大后輸出兩組相位相差 2? 電度角（ 1/4 脈沖周期）的電信號。電機(jī)的旋轉(zhuǎn)方向可以根據(jù)脈沖信號的先后來進(jìn)行確定。另外光電編碼器還有一路零位脈沖 Z，轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一圈只產(chǎn)生一個(gè)零位脈沖，通常用來指示機(jī)械位置或?qū)鄯e量清零。 光電式增量編碼器的測量精度取決于它所能分辨的最小角度 a(分辨角、分辨率 )， 而這與光電碼盤圓周內(nèi)所分狹縫的線數(shù)有關(guān)。 360a= n 其中 n為編碼器線數(shù)。 由于光電式脈沖編碼盤每轉(zhuǎn)過一個(gè)分辨角就發(fā)出一個(gè)脈沖信號，因此，根據(jù)脈沖數(shù)目可得出工作軸的回轉(zhuǎn)角度，由傳動(dòng)比換算出直線位移距離；根據(jù)脈沖頻率可得工作軸的轉(zhuǎn)速；根據(jù)光欄板上兩條狹縫中信號的相位先后，可判斷光電碼盤的正、反轉(zhuǎn)。由于光電編碼器輸出的檢測信號是數(shù)字信號，因此可以直接進(jìn)入計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理，不需放大和轉(zhuǎn)換等過程，使用非常方便，因此應(yīng)用越來越廣泛。 對于線數(shù)為 n的編碼器，設(shè)信號采集卡倍頻數(shù)為 m，則有角度換算關(guān)系為： ? ?? 2 Nnm 式中 ? 為編碼器軸轉(zhuǎn)角； N為編碼器讀數(shù) 2）交流伺服電機(jī)沒有電刷和換向器，不需維護(hù)，也沒有產(chǎn)生火花的危險(xiǎn)，但是驅(qū)動(dòng)電路比較復(fù)雜；按結(jié)構(gòu)分為同步電機(jī)和異步電機(jī)，轉(zhuǎn)子是由永磁體構(gòu)成的為同步電機(jī)，轉(zhuǎn)子是由繞組形成的電磁鐵構(gòu)成的為異步電機(jī)；控制方式分為電壓控制和頻率控制兩種方式，異步電機(jī)通常采用電壓控制方式。 自動(dòng)控制系統(tǒng)對伺服電機(jī)的基本要求如下： (1)寬廣的調(diào)速范圍伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)速隨 著控制電壓的改變能在寬廣的范圍內(nèi)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 2 一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立與控制系統(tǒng) 14 實(shí)現(xiàn)連續(xù)調(diào)節(jié)。 (2)機(jī)械特性和調(diào)節(jié)特性均為線性伺服電機(jī)的機(jī)械特性是指控制電壓一定時(shí)，轉(zhuǎn)速隨轉(zhuǎn)距的變化關(guān)系 。調(diào)節(jié)特性是指電機(jī)轉(zhuǎn)矩一定時(shí)，轉(zhuǎn)速隨控制電壓的變化關(guān)系。線性的機(jī)械特性和調(diào)節(jié)特性有利于提高自動(dòng)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)精度。 (3)無“自轉(zhuǎn)”現(xiàn)象伺服電機(jī)在控制電壓為零時(shí)，能夠自行停轉(zhuǎn)。 (4)快速響應(yīng)電機(jī)的機(jī)電常數(shù)要小，相應(yīng)的伺服電機(jī)要有較大的堵轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩和較小的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。這樣，電機(jī)的轉(zhuǎn)速便能隨著控制電壓的改變而迅速變化。 電機(jī)的型號選為 MSMD022G1 型小慣量交流伺服電動(dòng)機(jī)，其有 關(guān)參數(shù)如下： 額定功率： 200Npw? ，額定轉(zhuǎn)速： 3000 / minnr? ，額定電流： ? ，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 422 10J kg m?? ? ?，額定轉(zhuǎn)矩： N m??，最大轉(zhuǎn)矩： N m??。 經(jīng)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)變速后輸出的拖動(dòng)力為 F=0~；如果忽略電動(dòng)機(jī)的空載轉(zhuǎn)矩和系統(tǒng)摩擦，就可以認(rèn)為驅(qū)動(dòng) 器和機(jī)械傳動(dòng)裝置均為純比例環(huán)節(jié)，并且假設(shè)這兩個(gè)環(huán)節(jié)的增益分別為 dk 和 mk 。 對于交流伺服電動(dòng)機(jī)，其傳遞函數(shù)可近似為 2 1vm l mkT T s T s?? 由于是小慣量的電動(dòng)機(jī)，其時(shí)間常數(shù)相對來說都很小，這樣可以進(jìn)一步將電動(dòng)機(jī)模型近似等效為一個(gè)比例增益，所以得到一階倒立擺比例環(huán)節(jié)為 m a x m a x/ / 35 F U? ? ? 本科畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 3 模糊控制的基本原理 15 3 模糊控制的基本原理 模糊控制理 論是由美國學(xué)者、自動(dòng)控制理論專家 于 1965 年最先提出的，它是以模糊數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，用語言規(guī)則描述知識和經(jīng)驗(yàn)的方法，結(jié)合先進(jìn)的計(jì)算機(jī)技術(shù)，通過模糊推理進(jìn)行判斷的一種高級控制策略。從此，模糊控制理論及其模糊控制系統(tǒng)的應(yīng)用發(fā)展很快，在控制領(lǐng)域中展現(xiàn)出廣闊的前景。 與常規(guī)的控制方法相比，模糊控制具有如下優(yōu)點(diǎn)： 控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)不要求掌握受控對象精確的數(shù)學(xué)模型，經(jīng)常選用的隸屬函數(shù)都比較簡單，而所需的控制規(guī)則不會過多，系統(tǒng)卻可以完成非常復(fù)雜的任務(wù)。 模糊控制采用人類思維中的模糊量，控制量由模糊推理導(dǎo) 出，推理過程模仿人的思維過程，是一種反應(yīng)人類智慧思維的智能控制。 模糊控制系統(tǒng)的魯棒性強(qiáng)，尤其適用于多變量、非線性、自不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制。 模糊控制理論的基本概念 模糊集合的概念是 1965年 Zadeh在其著名的論文“ Fuzzy sets” 中最早提出的，其定義為： 設(shè) X 是對象 x的集合， x 是 X 的任意元素。 X上的模糊子集 A 定義為一組有序?qū)Γ?? ?AA = (x,μ ), x X?,其中， Aμ()x 被稱為模糊子集 A的隸屬函數(shù)。 設(shè)論域 F， F到閉區(qū)間 [0,1]的任一映射 Aμ ： Aμ :F → 0,1???? Af → μ (f) 它確定了 F的一個(gè)模糊子集，簡稱模糊集，記為 A。 μ 稱為模糊集 A的隸屬函數(shù)， Aμ(f) 叫元素 f 隸屬于 A 的程度，簡稱為隸屬度 [5]。 上述定義表明，論域 F 上的模糊子集 A 由隸屬度函數(shù) Aμ(f) 來表征， Aμ(f) 的取值范圍為閉區(qū)間為 [0,1], Aμ(f) 的大小反應(yīng)了 f對于模糊子集 A 的隸屬程度。若Aμ(f) 接近于 1，表示 f 屬于 A的程度高，若 Aμ(f) 接近于 0，表示 f屬于 A 的程度低。 模糊集合的隸屬函數(shù)是經(jīng)典集合特征函數(shù)的擴(kuò)展和一般化。隸屬函數(shù)的確定實(shí)質(zhì)上是人們對客觀事物中介過渡的定性描述，這種描述本質(zhì)上是客觀的。按定義，模糊 集合的隸屬函數(shù)可取無窮多個(gè)值，這在實(shí)際應(yīng)用中是難以確定的，所以一般可以進(jìn)行如下簡化：把最大適合區(qū)間的隸屬度定為 ，最小的隸屬度定為本科畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 3 模糊控制的基本原理 16 。