【文章內(nèi)容簡介】 90度，連桿豎直向下和豎直向上組成托擺和頂擺兩種形式的倒立擺 。 B．按倒立擺的級數(shù)來分： 有一級倒立擺、兩級倒立擺、三級倒立擺和四級倒立擺，一級倒立擺常用于控制理論的基礎(chǔ)實驗，多級倒立擺常用于控制算法的研究，倒立擺的級數(shù)越高，其控制難度更大，目前，可以實現(xiàn)的倒立擺控制最高為四級倒立擺。 單級倒立擺系統(tǒng)組成 固高公司直線單級倒立擺系統(tǒng)包含倒立擺本體、電控箱及由運動控制卡和普通 PC機組成的控制平臺等三大部分 [6]。系統(tǒng)組成框圖如圖 所示。 4 圖 系統(tǒng)組成框圖 各硬件結(jié)構(gòu)如下： ⑴倒立擺本體 小車由電機通過同步帶驅(qū)動在滑桿上來回運動，保持?jǐn)[桿平衡。 電機編碼器和角編碼器向運動卡反饋小車和擺桿位置（線位移和角位移）。如圖 所示。 圖 倒立擺本體 ⑵電氣控制箱 電控箱主要有：交流伺服驅(qū)動器、 I/O 接口板、開關(guān)電源、開關(guān)、指示燈等電氣元件。 ⑶計算機 計算機可以是我們使用的普通的計算機，其應(yīng)該具有 PCI 插槽，光驅(qū)等。 5 ⑷其它部件 倒立擺使用的電機是由日本松下公司提供的小型小慣量電機（ MSMA 系列， 200W）。電機配有專門的驅(qū)動器。 倒立擺系統(tǒng)使用的是光電編碼器。其工作原理是： 利用一塊特制的光柵板作為位移檢測元件，光柵板上方格之間的距離為 左右 。 編碼器 內(nèi)部有一個發(fā)光元件和兩個聚焦透鏡，發(fā)射光經(jīng)過透鏡聚焦后從底部的小孔向下射出，照在 編碼器 下面的光柵板上，再反射回 編碼器 器內(nèi)。當(dāng)在光柵板上 轉(zhuǎn)動編碼器 時，由于光柵板上明暗相間的條紋反射光有強弱變化， 編碼器 內(nèi)部將強弱變化的反射光變成電脈沖，對電脈沖進(jìn)行計數(shù)即可測出 移動 的距離。 倒立擺研究的意義 如前文所述，倒立擺系統(tǒng)是一個具有非線性、時變、多變量禍合性質(zhì)的絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)。對于倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，不僅具有重要的理論意義，而且還具有很重要的工程實踐意義。 首先對于倒立擺的穩(wěn)定控制，在控制方法上會 涉及到控制中的許多關(guān)鍵問題，比如鎮(zhèn)定問題、跟蹤問題、隨動問題、非線性問題以及魯棒性問題等。同時，倒立擺作為一個簡單的實驗裝置，成本低廉，結(jié)構(gòu)簡單，在實驗室條件下易于實現(xiàn)。對于倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，可以充分驗證新的控制方法的有效性及可靠性，為新型控制理論的研究提供了一個不可多得的載體。 其次，對于倒立擺的穩(wěn)定控制，其控制方法在軍工、航天、機器人領(lǐng)域和一般工業(yè)工程上也有很廣泛的用途，比如機器人行走過程中的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制等均涉及到類似倒立擺這樣的重心在上，支點在下的倒置問題 。 正是由于對倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定控制研究有重要的理論和實際意義，因此，倒立擺成為了控制理論中歷久不衰的研究課題。 倒立擺的研究不僅有其深刻的理論意義，還有重要的工程背景。在多種控制理論與方法的研究和應(yīng)用中，特別是在工程實踐中，也存在一種可行性的試驗問題，控制理論在當(dāng)前的工程技術(shù)界，主要是如何面向工程實際、面向工程應(yīng)用的問題。一項工程的實施也存在一種可行性的試驗問題，用一套較好的、較完備的試驗設(shè)備，將其理論及方法進(jìn)行有效的檢驗，倒立擺可為此提供一個從控制理論通往實踐的橋梁。由于倒立擺系統(tǒng)與火箭飛行和雙足步行機器人 的行走有很大相似性，因此倒立擺的研究對于火箭飛行以及機器人的控制等現(xiàn)代高科技技術(shù)的研究具有重要的實踐意義。目前對 6 倒立擺系統(tǒng)的研究己經(jīng)引起國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，是控制領(lǐng)域研究的熱門課題之一。 倒立擺研究現(xiàn)狀 由于對倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制有著重要的理論意義和實際意義，國內(nèi)外的學(xué)者對此給予了廣泛的關(guān)注和研究。 早在上世紀(jì) 60年代，國外有學(xué)者對倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，討論了多級倒立擺的穩(wěn)定控制，提出了 bangbang 的穩(wěn)定控制。在 60 年代后期，作為一個典型的不穩(wěn)定、嚴(yán)重非線性證例，控制理論界提出了倒立擺 的概念，并用其檢驗控制方法對不穩(wěn)定、非線性和快速性系統(tǒng)的控制能力，受到世界各國許多科學(xué)家的重視，從而用不同的控制方法控制不同類型的倒立擺，成為具有挑戰(zhàn)性的課題之一。 從上世紀(jì) 70 年代初期開始，用狀態(tài)反饋理論對不同類型倒立擺的控制問題成了當(dāng)時的一個研究熱點，并且在很多方面取得了比較滿意的效果。但是由于狀態(tài)反饋控制依賴于線性化的數(shù)學(xué)模型，因此對于一般的工業(yè)過程尤其是數(shù)學(xué)模型變化的或不清晰的非線性控制對象無能為力。 這種狀況從上世紀(jì) 80 年代后期開始有了很大的變化。隨著模糊控制理論的發(fā)展，以及將模糊控制理論應(yīng)用于倒 立擺系統(tǒng)的控制，對非線性問題的處理有了很大的改進(jìn)。將模糊理論應(yīng)用于倒立擺的控制，其目的是為了檢驗?zāi)：碚搶焖佟⒔^對不穩(wěn)定系統(tǒng)的適應(yīng)能力。在這一階段，利用模糊理論用于控制單級倒立擺取得了很大的成功。針對模糊控制器隨著輸入量的增多，控制規(guī)則數(shù)隨之成指數(shù)增加，進(jìn)而使模糊控制器的設(shè)計異常復(fù)雜，執(zhí)行時間大大增長的問題，對倒立擺采用雙閉環(huán)模糊控制方案控制單級倒立擺，很好地解決了這個問題。模糊控制理論應(yīng)用于倒立擺的最新研究成果是北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系李洪興教授領(lǐng)導(dǎo)的科研隊伍利用變論域自適應(yīng)模糊控制理論實現(xiàn)了對四級倒立擺的穩(wěn) 定控制 [10]。 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制倒立擺的研究，從上世紀(jì) 90 年代開始有了快速的發(fā)展。早在 1963年， Widrow 和 Smith 就開始將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于倒立擺小車的控制。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制倒立擺是以自學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，用一種全新的概念進(jìn)行信息處理，顯示出了巨大的潛力。 另外，還有其他的控制方法用于倒立擺的控制。利用云模型實現(xiàn)智能控制倒立擺，利用云模型的方法，不用建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)人的感覺、經(jīng)驗和邏輯判斷，將人用語言值定性表達(dá)的控制經(jīng)驗，通過語言原子和云模型轉(zhuǎn)換到語言控制規(guī)則器中，解決了倒立擺控制的非線性問題和不確定性問題?？?之，對于倒立擺控制方法可以總結(jié)如下 [1][2][4][5]: ⑴ PID 控制：通過對倒立擺物理模型的分析，建立倒立擺的動力學(xué)模型，然后使 7 用狀態(tài)空間理論推導(dǎo)出非線性模型，在平衡點處進(jìn)行線性化得到倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程，就可以設(shè)計出 PID 控制器來實現(xiàn)其控制。 ⑵狀態(tài)反饋控制：其主要是通過極點配置將系統(tǒng)的極點分布到 S 左半平面而使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定，其中也可以使用狀態(tài)觀測器，或狀態(tài)反饋和 Kalman 濾波相結(jié)合的方法，實現(xiàn)對倒立擺的控制。 ⑶云模型控制：利用云模型構(gòu)成語言值，再用語言值構(gòu)成規(guī)則，形成一種定性的推理機制 。這種擬人控制不要求給出被控對象精確的數(shù)學(xué)模型，僅僅依據(jù)人的經(jīng)驗感受和邏輯判斷，將人用自然語言表達(dá)的控制經(jīng)驗，通過語言原子和云模型轉(zhuǎn)換到語言控制規(guī)則器中，就能解決非線性問題和不確定性問題。 ⑷神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠任意充分地逼近復(fù)雜的非線性關(guān)系，能夠?qū)W習(xí)與適應(yīng)嚴(yán)重不確定性系統(tǒng)的動態(tài)特性，所有定量或者定性的信息都等勢分布貯存于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的各種神經(jīng)元，故有很強的魯棒性和容錯性，也可以將 R 學(xué)習(xí)算法和 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有效結(jié)合，實現(xiàn)狀態(tài)未離散化的倒立擺的無模型學(xué)習(xí)控制。 ⑸自適應(yīng)控制：采用設(shè)計出自適應(yīng)控制器的方法對倒立擺 進(jìn)行控制。 ⑹模糊控制：首先確定基本語言值，接著確定語言值的隸屬函數(shù)，在隸屬函數(shù)建立后，就可以建立模糊控制規(guī)則，它主要是依據(jù)人的傳統(tǒng)控制經(jīng)驗和直覺推理來建立的，主要采用了“ ifthen”規(guī)則以及連接詞 and39。,or 和 also 等。完成了上述步驟后，就基本上建立了倒立擺系統(tǒng)的模糊控制器，給定輸入后，經(jīng)過模糊控制規(guī)則的作用后，就產(chǎn)生了輸出，當(dāng)然必須對輸出進(jìn)行解模糊化，才能得到我們所需要的能夠直接作用于被控對象的信號。 選題依據(jù)及意義 如何對倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行控制，這 20多年來，現(xiàn)代控制理論的發(fā)展為這個問題提 供了豐富的解決方法。魯棒控制、自適應(yīng)控制、模糊控制、智能控制等方法，就是解決倒立擺控制的先進(jìn)控制手段。但是，這些先進(jìn)的控制系統(tǒng)設(shè)計往往建立在比較抽象且繁瑣的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，使得實際工程中掌握和運用這些方法就遠(yuǎn)不如 PID 控制那樣簡單?？v觀自動控制領(lǐng)域的現(xiàn)狀，仍然是理論成果豐碩，但在實際現(xiàn)場中運行的控制系統(tǒng)仍然有超過 90%的是 PID 控制器。在實際控制領(lǐng)域 ， 有許多研究者認(rèn)為 “ PID 控制器往往并不比先進(jìn)控制器差”。 目前 , 已經(jīng)看到了多種先進(jìn)的控制算法如最優(yōu)控制、自適應(yīng)控制、智能控制、自抗擾控制在倒立擺系統(tǒng)上成功應(yīng)用的 報道 ,但是很難看到采用常規(guī) PID 控制成功地控制倒立擺系統(tǒng)的報道。而且還聽到“ 用常規(guī) PID 不能成功地控制倒立擺 ” 的說法。那 8 么 ， 究竟是否可以確認(rèn)“常規(guī) PID 不能成功地控制倒立擺”的結(jié)論成立呢 ？ 本文 將研究常規(guī) PID 控制倒立擺的方法 。 9 第 2 章 單級倒立擺系統(tǒng)的建模 單級倒立擺的數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：機理建模和實驗建模。實驗建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入－輸出關(guān)系。這里面包括輸入信號的設(shè)計選取，輸出信號的精確檢測，數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容。機理建模就是在了解研究對象的運動規(guī)律基礎(chǔ)上，通過物理、化學(xué)的知識和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入－狀態(tài)關(guān)系。 對于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困難。但是經(jīng)過小心的假設(shè)忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個典型的運動的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程。下面我們采用其中的牛頓－歐拉方法建立直線型單級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將單級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)， 如圖 。 圖 單級倒立擺模型 我們不妨做以下假設(shè)： M 小車質(zhì)量 10 m 擺桿質(zhì)量 b 小車摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 I 擺桿慣量 F 加在小車上的力 x 小車位置 Φ 擺桿與垂直向上方向的夾角 θ 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下） 系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析如圖 所示。其中， N 和 P 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。 注意：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負(fù)方 向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向為矢量正方向。 圖 小車與擺桿的受力分析 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： NxbFxM ??? ??? （ ） 由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式： )sin(22 ?lxdtdmN ?? （ ） 即： ???? s i nc o s 2????? mlmlxmN ??? （ ） 把這個等式代入式 ()中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程： FmlmlxbxmM ????? ???? s i nc o s)( 2?????? （ ） 為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以 11 得到下面方程： )c os(22 ?ldtdmmgP ?? （ ） ???? c o ss i n 2??? mlmlmgP ???? （ ） 力矩平衡方程如下： ??? ??INlPl ??? c o ss in （ ） 注意：此方程中力矩的方向，由于 ,s i ns i n,c o sc o s, ??????? ?????? 故等式前面有負(fù)號。合并這兩個方程，約 P 和 N，得到第二個運動方 程： ??? c o ss i n)( 2 xmlm g lmlI ???? ???? （ ） 設(shè) ???? (?? 是擺桿與垂直向上方向之間的夾角 ）， 假設(shè) ? 與 1（ 單位是弧度）相比很小 ， ? 《 1，則可以進(jìn)行近似處理 ： 2c o s 1 , s in , ( ) 0ddt?? ? ?? ? ? ? ?。 用來代表被控對象的輸入力 F，線性化后兩個運動方程如下： ? ?? ?????????????umlxbxmMxmlm glmlI??? ????? ????2 （ ） 對式（ ）進(jìn)行拉 普拉斯變換，得到 ? ?? ???????????????????)()()()()()()(22222sUssmlssbssmMssmlsm glssmlI （ ） 注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時假設(shè)初始條件為 0。由于輸出為角度 ? ，求解方程組的第一個方程，可以得到： )()()(22 ssgmlmlIs ??????? ???? （ ） 或 m glsmlI m lsss ????? 222)()( )( （ ） 如果令 x??? ，則有 m glsmlI mlsV s ???? 22 )()( )( （ ） 12 把上 式代入方程組的第二個方程，得到： ? ? )()()()()()( 222222 sUssmlsssgml mlIbsssgml mlImM ?????????? ?????????? ??? （ ） 整理后得到傳遞函數(shù)：