【文章內容簡介】 in? aFgFh c o s? （ ） 對擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式： )s i n(22 ?lxdtdmFsN ??? （ ） 即 aFmlmlxmN f s i ns i nc o s 2 ???? ???? ????? （ ） 對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可得到下面方程： 周冰：單級倒立擺控制器設計與實現(xiàn) 12 ???? c o ss i nc o s 2??? mlmlaFgmgP ????? （ ） 力矩平衡方程如下： 0c o ss i nc o sc o ss i n ???? ???? ??INlaF g laF g l （ ） 帶入 P 和 N，得到方程： 0c o s2s i ns i n)2c o s(s i nc o s2c o ss i n2222???????????????xmlmlmg lmlIaF g laF g l????（ ） 設 ??? ?? （ ? 是擺桿與垂直向上方向之間的夾角，單位是弧度），帶入上式。假設 1??? ，則可以進行近似處理： ??????? ????? 2s i n,12c o s,0)(,s i n,1c o s 2dtd 由于： 231mlI? 方程化為： xmmgmlaaFg ???? ????? ??? 34)c o ss i n(2 （ ） 令： )c o ss in( aaFF gf ???? ，則化為： xmmgmlF f ???? ??? ??342 （ ） 帶入之前給出的實際數(shù)據(jù)，微分方程如下： mFx ??? ???? ?? （ ） 忽略 fF ，系統(tǒng)的微分方程如下： 西安理工大學本科生畢業(yè)設計（論文） 13 x???? ?? ?? （ ） 忽略干擾力后，直線一級倒立擺系統(tǒng)是單輸入二輸出的四階系統(tǒng)，考慮干擾力后，直線一級倒立擺系統(tǒng)是二輸入二輸出的四階系統(tǒng)。其內部的 4 個狀態(tài)量分別是滑塊的位移 x、滑塊的速度 x? 、擺桿的角度 θ、擺桿的角速度 ?? 。系統(tǒng)輸出的觀測量為滑塊的位移 x、擺桿的角度 θ。其控制量為滑塊的加速度 x? ， fF 是直線一級倒立擺運動中各種干擾因素的綜合項，可以等效為干擾力考慮。 旋轉一級倒立 擺的系統(tǒng)建模 旋轉倒立擺運動分析 在建立倒立擺系統(tǒng)的模型時，傳統(tǒng)的方法一般采用牛頓運動定律求解。但是當質點組存在約束情況時，還需要確定各質點間的相互作用力、位移、速度、加速度關系，聯(lián)立求解這些方程則更困難。因此在旋轉倒立擺系統(tǒng)建模中，是采用分析力學中的拉格朗日方程推導旋轉倒立擺的系統(tǒng)模型。 旋轉倒立擺的模型結構如圖 所示，在忽略各種阻力和摩擦的條件下，旋臂和擺桿可以抽象為兩個勻質桿，其中旋臂長度為 r，相對其水平方向零位的角位移為 ? ；擺桿質心與鉸鏈距離為 L，相對其豎直方向零位的角位移為 a 。 ?? 為旋臂角速度， a? 為擺桿角速度。 周冰：單級倒立擺控制器設計與實現(xiàn) 14 圖 旋轉倒立擺系統(tǒng)模型 擺桿質心的速度由水平和豎直兩個分量構成： yaaLxaaLV ?)(s i n?)(c o s ?? ???擺桿質心 （ 212） 其中， xaaL ?)(cos ?? 表示擺桿質心的水平速度分量， yaaL ?)(sin ?? 表示擺桿質心的豎直速度分量。 旋臂和擺桿一起運動，其沿水平方向 x 的線速度為： ??r?旋臂V （ 213） 擺桿質心在 x方向和 y 方向的速度分量為： )(c o s aaLrV x ?? ?? ? )(s in aaLV y ??? （ 214） 方程組（ 214）給出了完整的擺桿速度描述，應用拉格朗日方程可推導出系統(tǒng)的動態(tài)方程。 旋轉倒立擺系統(tǒng)數(shù)學模型 以懸臂所在水平面為零勢能面，則系統(tǒng)的勢能 V 即為擺桿的重力勢西安理工大學本科生畢業(yè)設計（論文） 15 能，因此系統(tǒng)勢能 V可以表示為： am glm ghV c os?? 。 系統(tǒng)的動能 T 由四部分因素構成，包括：旋臂在水平面內的轉動，擺桿在豎直平面內的轉動，擺桿質心沿 x 軸方向的速度，沿 y 方向的速度，對應的動能分量用 T1， T2， T3， T4 表示。 因 此 系 統(tǒng) 動 能 T 為 四 者 之 和 ， T=T1+T2+T3+T4 ， 其 中211 21 ??JT ? , 242322 ))(s i n(21,))(c o s(21,21 aaLmTaaLrmTaJT ???? ????? ?。設 R 為擺桿長度，由于 L為 R 的一半， R=2L。因此，擺桿對其質心的轉動慣量 為 2222 31)2(121121 mLLmmRJ ???。帶入動能等式中，可推導出拉格朗日函數(shù) H=TV： amg LmraamL ramLJH c o s21))((c o s3221 222221 ????? ??? ????? （ 215） 應用拉格朗日方程 ),(),(),( qqVqqTqqH ??? ?? ，其中 H 為拉格朗日算子， q 為系統(tǒng)廣義坐標， T 為系統(tǒng)動能， V 為系統(tǒng)勢能。拉格朗日方程由廣義坐標 qi和 H 表示為：iQqiHqiHt ???????? )(。 I=1,2， q=? ?a,? ， θ為旋臂角位移， α 為擺桿角位移， Qi 為系統(tǒng)沿廣義坐標方向上的外力，于是的方程組： 0)()({?????????????????aHaHtBTHHt eqo u tp u t??? ??? （ 216） 其中 outputT 為輸出轉矩。 因已知式（ 215），所以可計算出（ 216）中的各分量。 周冰：單級倒立擺控制器設計與實現(xiàn) 16 )(c o s)( 21 aamL rmrJH ??? ????? ?? )](c o s)([ s i n)()( 21 aaaamL rmrJHt ?????? ???????? ?? )(c o s34)(c o s)2(32 22 ?? ????? amL ramLamL ramLaH ?????? )(c o s)(s i n34)( 2 ?? ?????? amL ramL ramLaHt ??????? 另外易知， am g LaH s in,0 ??????? 。之后將 aHaHHH ???????? , ?? ?? 四個分量帶入方程組（ 216），可得到旋轉倒立擺系統(tǒng)的非線性方程： ??????????????0s i n)(c os)(s i n34)](c os)([ s i n)(221am gLam L ram L ramLBTaaaam L rmrJ eqo u tp u t???????????????（ 217） 將輸出轉矩mmgmgtgmo u t p u t R KKVKKT )( ??? ?? 帶 入 ， 其 中 令2121 , yyxaxa ???? ?? ?? ，可以列出一個關于 2121 , yyxx ???? 的方程組 西安理工大學本科生畢業(yè)設計（論文） 17 ?????????????????????????????mmgtgmmmgtgmeqVRmrJKKxxmrJm L rxxmrJm L ryRmrJKKKymrJByyyxryxgxyrLxxx)(s i n)(c o s)()()(]s i ns i nc o s[432112211221121222122112112221?????????? （ 218） 然后將 2y? 帶入 2x? ，進一步化簡 2x? ，然后將 2x? 帶入（ 218），最后再化簡，并且為方便起見，令 2121 )c o s34(4 mrxJE ??? ，并將 x1,x2,y1,y2,替換為 ?? ?? ,aa ，則 221 )c o s34(4 mraJE ??? ，最終得到旋轉倒立擺系統(tǒng)的非線性狀態(tài)方程： ?????????????????????????????????????????????????aaEaamrLEarBELRaKKKrEam L rEBERKKKaaeqmmgtgmeqmmgtgm????????????????s i nc o s30c o s3c o s31000s i n40440010222 +mmgtgmmgtgmVELRaKKrERKK????????????????c o s3040???? y=[1 0 1 0]?[ ?? a a? ]T (219) 周冰：單級倒立擺控制器設計與實現(xiàn) 18 考慮旋轉倒立擺的初始位置再平衡點附近的情況，假設此時 α 和 θ 同1rad 相比，遠遠小于 1rad，則 214,0s i n,1c o s mrJEaa ???? ，將他們帶入（ 219），于是該方程組可局部線性化為： ???????????????????????????????????????????????aaLEarBELRaKKKrEBERKKKaaeqmmgtgmeqmmgtgm????????????????00c o s3c o s310000044001022 +mmgtgmmgtgmVELRaKKrERKK????????????????c o s3040???? y=[1 0 1 0]?[ ?? a a? ]T （ 220） 則（ 220）即為最終得到的旋轉倒立擺系統(tǒng) 的線性化狀態(tài)方程。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 任何一個系統(tǒng)最為重要的特性莫過于它的穩(wěn)定性。因為一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無法完成預期控制任務的。因此如何判別一個系統(tǒng)是否穩(wěn)定以及怎樣改善其穩(wěn)定性乃是系統(tǒng)分析與設計的一個首要問題。系統(tǒng)的穩(wěn)定性，表示為系統(tǒng)在遭受外界擾動偏離原來的平衡狀態(tài)，而在擾動消失后，系統(tǒng)自身仍有能力恢復到原來平衡狀態(tài)的一種特性。 在經(jīng)典控制理論中，對于單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)，應用勞斯西安理工大學本科生畢業(yè)設計（論文） 19 （ Routh）判據(jù)和胡維茨（ Hurwitz）判據(jù)等代數(shù)方法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，非常方便有效。至于頻域中的奈 奎斯特（ ）判據(jù)則是更為通用的方法，它不僅用于判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，而且還能指明改善系統(tǒng)穩(wěn)定性的方向。 本章小結 本章主要綜述了數(shù)學建模的基本概念、基本方法等，并對直線與旋轉一級 倒立擺進行了系統(tǒng)建模 ，進行了運動分析和數(shù)學模型建立。 周冰：單級倒立擺控制器設計與實現(xiàn) 20 第三章 單級倒立擺的控制方法 系統(tǒng)概述 根據(jù)單級倒立擺系統(tǒng)的系統(tǒng)建模，建立了單級倒立擺系統(tǒng)的系統(tǒng)模型框圖。具體的系統(tǒng)框圖如圖 所示。 控 制 器 倒 立 擺r輸 入狀 態(tài) 反 饋+— 單級倒立擺系統(tǒng)框圖 該系統(tǒng)主要分為控制器和倒立擺兩大部分。該系統(tǒng)通過輸入一個信號作為系統(tǒng)的初始狀態(tài)，再通過選定的控制器經(jīng)由狀態(tài)反饋來控制倒立擺，使擺桿與豎直方向呈 0176。，系統(tǒng) 達到穩(wěn)定狀態(tài)并保持。因此，如何設計一個有效的控制器使系統(tǒng)保持穩(wěn)定狀態(tài)是本論文研究的重中之重。 控制方法概述 線性系統(tǒng)理論控制方法 單級倒立擺系統(tǒng)是一