【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 )s i n s i n s i n ) )44( ( 4 4 )33P m l m m m l x m l lm m m glm l l m l x m l lm l x m gl m l xQ m m m m l l? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? 2 2 2 2 22 1 2 1 224 c os ( ) )/m l lRS?????? (36) 其中， 22 1 2 1 2 1 2 3 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 3 1 12 2 21 2 3 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 c os( ) ( ( 2 2 ) c os 2 sin( ) ( 2 2 ) sin )4( 4 4 ) ( c os 2 sin( ) sin sin sin ) )3R m l l m m m l x m l l m m m glm m m l m l x m l l m l x m gl m l x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 3 2 1 244( 2 c os ( ) ( 4 4 ) )33S m l l m m m m l l??? ? ? ? ? 式 (35)和式 (36)可表示成以下形式： 1 1 1 2 1 2( , , , , , , )f x x x? ? ? ? ?? (37) 2 2 1 2 1 2( , , , , , , )f x x x? ? ? ? ?? (38) 在平衡位置附近進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，并線性化，可以得到： 1 1 1 1 2 1 1 3 2 1 4 1 5 1 1 6 2 1 7k x k k k x k k k x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? (39) 其中， 1 2 1 21110 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21 2 31121 1 2 3 10 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 03 ( 2 2 ) 8 6 .6 9( 4 3 1 2 )xxxg m m mfk m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? ? ?? ? ? 1 2 1 212132 1 2 3 10 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 09 ( 4 3 12 )xxxf gmk m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? 1 2 1 21140 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 0xxxfk x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21151 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21162 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21 2 31170 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 1 2 3 13 ( 4 ) 42( 4 6 12 )xxxm m mfk x m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? ? ?? ? ? 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 4 2 5 1 2 6 2 2 7k x k k k x k k k x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? (310) 其中， 1 2 1 22210 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 0xxxfk x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21 2 32221 1 2 3 20 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 09 ( 2 2 ) 4 0 .32 ( 4 3 1 2 )xxxg m m mfk m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? 1 2 1 21 2 32232 1 2 3 20 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 03 ( 3 3 ) 3 9 .4 5( 4 6 1 2 )xxxg m m mfk m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? ? ?? ? ? 1 2 1 22240 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 0xxxfk x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 22251 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 22262 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21 2 32270 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 1 2 3 23 ( ) ( 4 3 12 )xxxm l mfk x m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? 對(duì)于二級(jí)倒立擺系統(tǒng)，取以下六個(gè)變量為系統(tǒng)的狀態(tài)變量： ? ?1 2 1 2, , , , ,xx? ? ? ? 并且取小車加速度為輸入變量，即： ux? 那么，由式 (39)和式 (310)可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式： 112211220 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 10 8 6 .6 9 2 1 .6 2 0 0 0 6 .6 40 4 0 .3 1 3 9 .4 5 0 0 0 0 .0 8 8x xuxx?????????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ????? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? ????? (311) 12121 0 0 0 0 0 01 0 1 0 0 0 0 02 0 0 1 0 0 0 0xxyux????????????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????????? 倒立擺系統(tǒng)的定性分析 相關(guān)定理簡(jiǎn)介 在得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，為了進(jìn)一步的了解系統(tǒng)性質(zhì)，需要對(duì)系統(tǒng)的特性進(jìn)行分析，最主要的是系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性和可觀性。 直觀上，擺桿豎直向上系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。其穩(wěn)定性分析可以用李亞普諾夫穩(wěn)定性理論。對(duì)于系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的穩(wěn)定性可以根據(jù)前面得到的系統(tǒng)線性模型來(lái)分析。因?yàn)樾枰O(shè)計(jì)控制器來(lái)鎮(zhèn)定系統(tǒng)，那么首先要考慮系統(tǒng)是否可控。 在進(jìn)行分析前，先介紹線性控制理論中幾個(gè)關(guān)于可控性、可觀性的判定定理。 定理 1(可 控性判據(jù) )： n 階線性定常連續(xù)系統(tǒng) X AX Bu??狀態(tài)完全可控，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的可控性矩陣： 2[ . . . ( 1 ) ]S B A B A B A n B?? 滿秩，即 rank(S}=n。特別的，當(dāng)輸入控制量 u(t)為標(biāo)量時(shí)，可控性矩陣 s 為方陣； rank(s)=n 等價(jià)于 S 的行列式值 det(S)≠0。 定理 2(可觀性判據(jù) )： n 階線性定常連續(xù)系統(tǒng) uX AX By CX? ??? ?? 狀態(tài)完全可觀，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的可觀性矩陣： 21nCCAV CACA?????????????????? 滿秩，即 rank( V)=n。特別的，當(dāng)輸出量 y(t)為標(biāo)量時(shí)，可觀性矩陣 V 為方陣：rank( V)=n 等價(jià)于 V 的行列式值 det(V)≠0。 為了衡量系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)的難度，或者說(shuō)衡量系統(tǒng)本身可控性的相對(duì)程度，一般稱之為相對(duì)可控性，可通過(guò)計(jì)算可控性矩陣的奇異值 b 來(lái)判斷。 對(duì)于一個(gè)實(shí)矩陣 A (mn 階 )，如果可以分解為 A =USV39。，其中 U 和 V 為分 別為 mn 與 nm 階正交陣， S 為 nn 階對(duì)角陣，記為 S=diag(a1,a2,...,ar,0,..., 0)。其中， a1,a2,...,ar 大于或等于 零。那么 a l ,a2,...,ar 稱為矩陣 A 的奇異值。 U 和 V稱為左右奇異陣列。 定理 3(相對(duì)可控性判據(jù) )：線性定常連續(xù)系統(tǒng) uX AX B??，矩陣 A 的最小 奇異值與最大奇異值的比值為系統(tǒng)的相對(duì)可控度，記作 δ。如果 δ 的值越大，說(shuō)明系統(tǒng)的相對(duì)可控度越高，對(duì)該系統(tǒng)就越容易控制。相反， δ 越小，系統(tǒng)越不容易被控制。 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)定性分析 對(duì)二級(jí)倒立擺進(jìn)行分析，使用 MATLAB 中的 dg()命令得系統(tǒng)開環(huán)特征為 ( 0 0) 因?yàn)橄到y(tǒng)有兩個(gè)根在 S 平面的右半平面上，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 根據(jù) 中的定理 1 和定理 2，通過(guò) MATLAB 中的 rank()命令可以分別求得 rank(S)=6 和 rank(V)=6。所以，系統(tǒng)完全可控并且完全可觀測(cè)。可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，使系統(tǒng)穩(wěn)定。 根據(jù)二級(jí)倒立擺狀態(tài)方程 (311)，利用 MATLAB 中的命令 [U,S,V]=svd(A)，對(duì) A 矩陣進(jìn)行奇異值分解，得到 A 矩陣的奇異值陣 S。 0 0 0 0 00 24 .8 13 3 0 0 0 00 0 1. 00 00 0 0 00 0 0 1. 00 00 0 00 0 0 0 1. 00 00 00 0 0 0 0 0S????????? 二級(jí) 倒立擺的相對(duì)可控度 : δ=1/ = 。 第四章 模糊控制理論 模糊控制理論是美國(guó)加利福尼亞 學(xué)校的自動(dòng)控制理論專家 教授最先提出來(lái)的。 1965 年他在 Informationamp。control 雜志上發(fā)表了模糊集“ Fuzzy set”一文，首次提出了模糊集合的概念。用模糊集合來(lái)描述模糊事 物的概念，很快被科技工作者所接受。 40 多年來(lái)，模糊數(shù)學(xué)及其應(yīng)用發(fā)展十分迅速。 1974 年，英國(guó)的 Mamdani 首先把模糊理論應(yīng)用于工業(yè)控制 ，取得了良好的控制效果。從此，模糊控制理論及其模糊控制系統(tǒng)的應(yīng)用發(fā)展很快，在控制領(lǐng)域展現(xiàn)出廣闊的前景。 模糊控制具有如下主要特點(diǎn) : (1)在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)不需要建立被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，只要求掌握現(xiàn)場(chǎng)操作人員或者有關(guān)專家的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)或者操作數(shù)據(jù)。 (2)模糊控制的計(jì)算方法雖然是運(yùn)用模糊集理論進(jìn)行的模糊算法，但最后得到的控制規(guī)律是確定性的、定量的條件語(yǔ)句。 (3)與傳統(tǒng)控制方法相比，模糊控制更接近于人的思維方法和推理習(xí)慣。因此，更便于現(xiàn)場(chǎng)操作人員的理解和使用，從而得到更為有效的控制規(guī)律。 (4)模糊控制系統(tǒng)的魯棒性強(qiáng)，尤其適用于非線性、時(shí)變、滯后系統(tǒng)的控制。 在生產(chǎn)實(shí)踐中，存在著大量的模糊現(xiàn)象，對(duì)于那些無(wú)法獲得數(shù)學(xué)模型或模型復(fù)雜的、非線性的、時(shí)變的或者禍合嚴(yán)重的系統(tǒng)，無(wú)論用經(jīng)典控制，還是用現(xiàn)代控制理論的算法都很難實(shí)現(xiàn)控制。但是，一個(gè)熟練的操作工人或技術(shù)人員，憑借自己的經(jīng)驗(yàn)，靠眼、耳等“傳感器”的觀察，經(jīng)過(guò)大腦的思維判斷給出控制量，可以用手動(dòng)操作，達(dá)到了較好的控制效果。例如，對(duì)于一個(gè)爐溫控制系統(tǒng)，人的控制規(guī)則是，若溫度高于某一設(shè)定值，操作者就減小控制量，使之降溫，并且溫度越高，控制量就減得越多 :反之，若溫度低于該設(shè)定值，則加大控制量，使之升溫，并且溫度越低，控制量就增加得越多。該例中包含了大量得模糊概念，如“高于”、“低于”、“越高”、“越低”、“越多”等等。因此，操作者得觀察和思維判斷過(guò)程，實(shí)際上就是一個(gè)模糊化或模糊計(jì)算的過(guò)程。把人的操作經(jīng)驗(yàn)歸納成一系列的規(guī)則，存放于計(jì)算機(jī)中，利用模糊集理論將它量化，使控制器模仿人的操作策略，這就是模糊控制器，而用模糊控制器組成的系統(tǒng)就是模糊控制系統(tǒng)。 模糊控制器的基本原理 模糊控制器的結(jié)構(gòu)如圖 所示?？刂破饔?4 個(gè)基本部分組成，即模糊