【文章內容簡介】 而且能揭示系統內部的運動規(guī)律，所以它稱為系統的內部描述模型。由于狀環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 10 態(tài) 空間方法可以很方便地處理初始條件，又可以適用于非線性系統、多輸入多輸出系統、時變系統、隨機系統和離散系統，同時又可以很方便地用計算機求解，所以它很快就發(fā)展起來，得到廣泛的應用。 線性系統理論是現代控制理論中最基本的部分，也是比較成熟的部分。要分析一下系統的特性，首先要建立系統的數學模型。經典控制理論中用微分方程、傳遞函數和頻率特性來描述，而這里則是狀態(tài)方程來描述。狀態(tài)方程不但描述了系統的輸入輸出關系，而且描述了系統內部一些狀態(tài)變量的隨時間變化關系。如何建立系統的狀態(tài)方程，由狀態(tài)方程如何分析系統的響應特性 ?系 統的穩(wěn)定性如何 ?系統狀態(tài)變量的能控性與能觀測性又如何 ?系統的性能指標不滿足要求時，如何利用狀態(tài)反饋來改善系統的性能使之適合人們的需要 ?如果狀態(tài)變量不能直接得到，如何根據對系統的觀測量來重構系統的狀態(tài)，設計狀態(tài)觀測器等等問題，都是線性系統理論要解決的主要問題。由于這些分析綜合系統的方法都是建立在對系統狀態(tài)方程的分析上，或者說這些方法是研究在由這些狀態(tài)變量所張成的狀態(tài)空間中對狀態(tài)軌線如何起作用的。所以這些方法也稱為狀態(tài)空間分析方法。 應用線性控制理論的方法實現倒立擺系統的穩(wěn)定控制，必須將倒 立 擺系統的非線性模型進 行近似線性化處理。狀態(tài)空間方法在倒立擺系統中應用較早。 .B ryson等在 1970年對一 級倒立擺進行控制獲得成功。 S. Mori等在 1976年對懸掛式倒立擺控制成功。 K. Furuta等在 1978年和 1980年完成了對二級倒立擺和傾斜軌道式二級倒立擺的控制。在國內尹征琦等采 用模擬調節(jié)器，實現了對小車一二級擺系統的穩(wěn)定控制。梁任秋等討論了設計小車一二級倒立擺系統數字控制器的一般方法。任章、徐建民利用振蕩控制原理，提出了在倒立擺的支承點的垂直方向上加入一零均值的高頻振蕩信號 (APAZ)以改善倒立擺系統的 穩(wěn)定性，為解決倒立擺系統的穩(wěn)定控制問題提供了一種新的方法?？偟膩碚f，在倒立擺平衡位置附近的小范圍內，通過對倒 立 擺系統的非線性模型進行近似線性化處理，狀態(tài)反饋控制原理可以解決常規(guī)倒 立 擺的穩(wěn)定控制問題。但狀態(tài)反饋控制需要構造狀態(tài)觀測器，這項工作往往較為復雜。黃永宣運用經典控制理論解決了小車一單擺系統初始狀態(tài)在倒立點位置附近的小范圍穩(wěn)定控制問題。應用傳統控制理論的方法實現倒擺系統的控制，其特點是設法調整閉環(huán)系統的極點分布以構成閉環(huán)穩(wěn)定的倒 立 擺控制系統，但其局限性十分明顯，穩(wěn)定控制的范圍有限，難于處理更為復雜的復合 擺系統。 對倒立擺系統研究的意義 在控制理論發(fā)展的過程中，某一理論的正確性及在實際應用中的可行性需要一個按其理論設計的控制器去控制一個典型對象來驗證這一理論，倒立擺就是這樣一個被控對象。倒立擺本身是一個自然不穩(wěn)定體，在控制過程中能夠有效地反映控制中的許多關鍵問題，如鎮(zhèn)定問題，非線性問題，魯棒性問題，隨動問題以及跟蹤問題等。倒立擺的典型性在于 :作為一個裝置，成本低廉，結構簡單，形象直觀，便于實現模擬和數字兩者不同的方式的控制 :作為一個被控對象，又相當復雜，就其本身而言，是一個高階次、不穩(wěn)定、多變量、 非線性、強 耦合 的快速性系統，只有采取行之有效的控制方法方能環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 11 使之穩(wěn)定。對倒立擺系統進行控制，其穩(wěn)定效果非常明了，可以通過擺動角度、位移和穩(wěn)定時間直接度量，控制好壞一目了然。理論是工程的先導，對倒立擺的研究不僅有其深刻的理論意義，還有重要的工程背景。從日常生活中所見到的任何重心在上、支點在下的控制問題，到空間飛行器和各類伺服平 臺的穩(wěn)定，都和倒立擺的控制有很大的相似性，故對其的穩(wěn)定控制在實際中有很多用場，如海上鉆井平臺的穩(wěn)定控制、衛(wèi)星發(fā)射架的穩(wěn)定控制、火箭姿態(tài)控制、飛機安全著陸、化工過程控制等都屬這類問題。因此對 倒立擺機理的研究具有重要的理論和實際意義，成為控制理論中經久不衰的研究課題。 在穩(wěn)定性控制問題上，倒立擺既具有普遍性又具有典型性。倒立擺系統可以用多種控制理論和方法來實現其穩(wěn)定控制，如 PID、自適應、狀態(tài)反饋、智能控制、模糊控制及人工神經元網絡等，都能在倒立擺系統控制上得到實現，而且當一種新的控制理論和方法提出以后，在不能用理論加以嚴格證明時，可以考慮通過倒立擺裝置來驗證其正確性和實用性。機器人行走類似雙倒立擺，盡管第一臺機器人在美國面世已三十多年，機器人的關鍵技術仍未很好解決。因此，倒立擺成為控制理論中經 久不衰的研究課題，人們把它喻為 :“任何一個自動控制部門都追求的皇冠上的珍珠”。 ［ ４ ］ 本文的主要工作 倒 立 擺系統在控制系統研究中受到普遍重視?！暗沽[系統”已被公認為自動控制理論中的典型試驗設備，也是控制理論在教學和科研中不可多得的典型物理模型，通過對倒立擺系統的研究，不僅可以解決控制中的理論問題，還能將控制理論所涉及的三個基礎學科 :力學、數學和電學 (含計算機 )有機的結合起來，在倒 立 擺系統中進行綜合應用。在實際教學中，作為驗證控制策略的一種手段，倒立擺系統被提了出來。由于計算機仿真結果與實際實驗總 存在很大的差別，二級倒立擺系統的研制為學生提供了理論與室踐結合的可能 本文通過對環(huán)型二級倒立擺系統特點的分析和數學模型的建立 ， 選擇了 線性二次型調節(jié)器(Linear Quadratic Regulator — LQR)控制環(huán)型二級倒立擺系統穩(wěn)定在垂直向上的平衡點上。 線性二次型調節(jié)器問題在現代控制理論中占有非常重要的位置 ,受到控制界的普遍重視 。 線性二次型 (LQ) 性能指標易于分析、處理和計算 ,而且通過線性二次型最優(yōu)設計方法得到的倒立擺系統具有較好的魯棒性與動態(tài)特性以及能夠獲得線性反饋結構等優(yōu)點 ， 因而在實際的倒立擺 控制系統設計中得到了廣泛的應用。 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 12 ２ 環(huán)型倒立擺系統數學模型的建立 所謂系統的數學模型，就是利用數學結構來反映系統內部之間、內部與外部某些因素之間的精確的定量的表示。它是分析、設計、預報和控制一個系統的基礎。所以，要對一個系統進行研究，首先要建立它的數學模型。建立數學模型有兩種方法 :一種是從基本物理定律，即利用各個專門學科領域提出來的物質和能量的守恒性和連續(xù)性原理，以及系統的結構數據推導出模型。這種方法得出的數學模型稱為機理模型或解析模型，這種建立模型的方法稱為解析法。另一種是從系統運行和實驗 數據建立系統的模型 (模型結構和參數 )，這種方法稱為系統辯識。倒立擺的形狀較為規(guī)則，而且是一個絕對不穩(wěn)定系統，無法通過測量頻率特性方法獲取其數學模型。故適合用數學工具進行理論推導。 ??1 ２ .１ 環(huán)型倒立擺的特點 總的來說，倒立擺系統一直是自動控制、機械電子等領域中非常典型的教學實驗設備 , 因為倒立擺控制系統的線性設計非常直觀地說明現代線性控制理論的優(yōu)點和有效性 , 同時它還涉及到系統辨識、非線性系統的線性化、執(zhí)行電機的控制等方面 . 因而倒立擺系統一直是控制理論界關注的 焦點 , 人們將各種先進的控制算法運用到倒立擺系統上進行實驗驗證 . 倒立擺的研究始于 20 世紀 60 年代 , 當時主要集中在直線軌道的倒立擺系統的線性控制 . 近 10 年來 , 三級倒立擺控制系統的實驗成功更是掀起了一股研究的熱潮 , 與此同時 , 旋轉軌道的環(huán)型倒立擺系統由于其自身的特點也開始受到研究者的關注。 環(huán)型倒立擺系統是一種典型的非線性系統 , 它具有如下特性 : 1) 不確定性 . 主要是模型的參數誤差以及機械傳動過程中的減速齒輪間隙所導致 , 不過與直線型倒立擺系統相比 , 由于沒有了導軌上拖動小車的皮帶 , 影 響程度有所改善 . 2) 耦合特性 . 從系統的數學模型中可以看到 , 環(huán)型倒立擺擺桿和水平的連桿之間 , 以及多級倒立擺系統的上下擺桿之間都具有較強耦合。 3) 開環(huán)不穩(wěn)定系統 . 倒立擺桿有兩個平衡狀態(tài) : 垂直向下和垂直向上 . 垂直向下的狀態(tài)是穩(wěn)定的平衡點 , 而垂直向上的狀態(tài)是不穩(wěn)定的平衡點 , 開環(huán)時微小的擾動就會使系統離開平衡點而進入到垂直向下的狀態(tài)中去。 4) 行程無限制 . 旋轉型倒立擺系統的連桿沒有行程限制 , 而直線型的倒立擺系統小車的行程是有物理限制的 , 因而增加了控制的約束 , 使得一些算法在直線 型倒立擺系統上無法實現。 ２ .２ Lagrange 方程的特點 對于多變量、非線性系統，目前還沒有一個確定的方法來實現其控制問題 .為減少實驗的盲目性，通常先建立系統的數學模型，然后進行仿真研究，在此基礎上進行實際系統的實驗。在建立倒立擺系環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 13 統的模型時，可以采用牛頓一歐拉方程或 Lagrange方程來求解。用牛頓一歐拉方程推導時，需要解大量的微分方程，確定各質點間相互作用力和運動方面的關系， 求解聯立方程，推導過程顯得尤為繁瑣，復雜 .這里，采用分析力學中的 Lagrange方程推導圓形軌道倒立擺系統模型。 分析力學 是在 1788年 Lagrange發(fā)表的大型著作《分析力學》的基礎上發(fā)展起來的一系列處理力學問題的新方法。在《分析力學》一書中， Lagrange是用獨立變量來描述力學體系的運動，這是一組二階常微分方程。通常把這一方程組叫做 Lagrange方程，其基本形式為： iiid T T Qdt q q?????????? ? ?1, 2,3, ,in? 其中 1 2 3, , , nq q q q 是所研究力學體系的廣義坐標； 12,nQ Q Q 是作用在此力學體系上的用廣義坐標 1 2 3, , , nq q q q 和 t表示的廣義力； T是用廣義坐標 1 2 3, , , nq q q q 表示的動能。 從方程中可以看出，分析力學注重的不是力和加速度，而是具有更廣泛意義的能量，擴大了坐標的概念 ??1 。 Lagrange方程有如下的特點 : 1） 它是以廣義坐標表達的任意完整系統的運動方程式，方程式的數目和系統的自 由 度數是一致的。 2） 理想約束反力不出現在方程組中，因此在建立運動方程 式時，只需分析已知的主動力，而不必分析未知的約束反力。 3） Lagrange方程是以能量觀點建立起來的運動方程式，為了列出系統的運動方程式，只需要從兩個方面去分析，一個是表征系統運動的動力學量 —— 系統的動能，另一個是表征主動力作用的動力學量 —— 廣義力。 因此用 Lagrange方程來求解系統的動力學方程可以大大簡化建模過程。 ２ .３ 狀態(tài)空間模型 如在第一章所提到的， 現代控制理論是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎上發(fā)展起來的。因此，確定控制系統的狀態(tài)空間描述，即建立在狀態(tài)空間中的數學模型是一個基本問題，也是現 代控制理論中分析和綜合控制系統的前提的基礎上，其重要性就像經典控制理論中確定系統的傳遞函數一樣。 現代控制理論中的狀態(tài)空間法，簡單地說就是將描述系統運動的 高階微分方程改寫成一階聯立微分方程組的形式，或者將系統的運動直接用一階微分方程組表示，寫成矩陣形式，這樣就得到了狀態(tài)空間模型。 連續(xù) 系統的狀態(tài)空間模型為 ： 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 14 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ?? ?? tDutCxty tButAxtx 式中 ， ??tu 是 1?r 的系統控制輸入 （ r個） 向量， ??tx 是 1?n 的系統狀態(tài)變量， ??ty 則是 1?m 的系統輸出向量。 A是 nn? 的系統矩陣（狀態(tài)矩陣），有控制對象的參數決定； B為 rn? 的控制矩陣（輸入矩陣）； C為 nm? 的輸出矩陣（觀測矩陣）； D為 rm? 的輸入輸 出矩陣（直接傳輸矩陣）。 離散系統的狀態(tài)空間模型為： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ?? ??? kDukCxky kBukAxkx 1 式中， yxu , 輸入向量、狀態(tài)向量、輸出向量， K 表示采樣點。 A 為狀態(tài)矩陣，由控制對象的參數決定； B 為控制矩陣； C 為輸出矩陣； D 為直接傳輸矩陣 。 在 MATLAB中，系統可用 [ DCBA , ]表示，用函數 ss （）來建立控制系統的狀態(tài)空間模型，或 者將傳遞函數模型與零極點增益模型轉換為系統空間 模型 。 ２ .４ 環(huán)型二級倒立擺系統數學模型的建立 本文使用的固高擺控制系統如圖 １ 所示， 包括計算機、運動控制卡、伺服系統、倒立擺本體和光電碼盤反饋測量元件等幾大部分，組成一個閉環(huán)系統。圖中光電碼盤 1由伺服電機自帶，對于直線型倒立擺，可以根據該碼盤的反饋通過換算獲得小車的位移，小車的速度信號可 以通過差分法得到；對于環(huán)形倒立擺，則可以根據該碼盤的反饋和機構的減速比直接求得轉動小車的角位移。各個擺桿的角度由光電碼盤測并直接反饋到控制卡，速度信號可以通過差分方法得到。計算機從運動控制卡中實時讀取數據，確定控制決策（電機的輸出力矩），并發(fā)送給運動控制卡。運動控制卡經過 DSP內部的控制算法實現該控制決策，產生相應的控制量，使電機轉動，帶動小車運動，保持擺桿平衡。 圖 １ 固高擺系統的硬件筐圖 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 15 環(huán)型二級倒立擺的工作原理為 : 電機的轉動帶動水平桿旋轉 , 由此帶動與水平桿另一端相連的下桿和上桿在垂直方向做旋轉運動 。 控制的目的是希望通過控制電機的力矩 , 并