【導(dǎo)讀】的控制器去控制一個(gè)典型對(duì)象來驗(yàn)證其控制策略的效果。倒立擺就是這樣一個(gè)較為理想的實(shí)驗(yàn)裝置。倒立擺本身是一個(gè)自然不穩(wěn)定體，在控制過程中能有效地反映控制中的許多問題。倒立擺的典型性在。當(dāng)復(fù)雜，是高階次、不穩(wěn)定、非線性、強(qiáng)耦合系統(tǒng)，只有采取行之有效的控制方法方能使之穩(wěn)定。在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域中，自動(dòng)控制技術(shù)起著越來越重要的作用。所謂自動(dòng)控制，是指在沒。稱被控對(duì)象)的某個(gè)工作狀態(tài)或參數(shù)自動(dòng)地按照預(yù)定的規(guī)律運(yùn)行。例如，數(shù)控車床按照預(yù)

　　

【正文】 224 1321321 ???? ??????? ???????? ??????fK 00,0,0,0,0,0,02225 1321321 ???? ??????? ???????? ??????fK 00,0,0,0,0,0,03226 1321321 ???? ??????? ???????? ??????fK ? ??????? ???????????????25331320,0,0,0,0,0,01227354449111321321 mmmllmmfK???????? ??????? 帶入 (6)式，得到線性化之后的公式： 1273232223 ???? ???? KKK ??? （ 10） 環(huán)型二級(jí)倒立擺 LQR 控制 20 現(xiàn)在得到了一個(gè)線性微分方程，我們采用角加速度作為輸入，因此還需加上一個(gè)方程 1????u （ 11） 取狀態(tài)變量如下： 11 ??x 22 ??x 33 ??x 14 ???x 25 ???x 36 ???x 由 (9)， (10)， (11)式得到狀 態(tài)空間方程如下： uKKxxxxxxKKKKxxxxxx??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????271765432123221312654321100000000000000000100000010000001000?????? uxxxxxxy?????????????????????????????????????????????????????000000100000010000001654321321??? 環(huán)型二級(jí)倒立擺 LQR 控制 21 3 線性二次型最優(yōu)控制器（ LQR）的設(shè)計(jì) 對(duì)于線性系統(tǒng)， 若取狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分作為性能指標(biāo)函數(shù)時(shí)， 這種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)化問題稱為線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題， 簡(jiǎn)稱線性二次型問題。它可以把一些相互矛盾的要求統(tǒng)一在一個(gè)性能指標(biāo)中，求得系統(tǒng)的總體最優(yōu)性，它的最優(yōu)解可以寫成統(tǒng)一的解析表達(dá)式，且可導(dǎo)致一個(gè)簡(jiǎn)單的狀態(tài)線性反饋控制律，構(gòu)成閉環(huán)控制，其計(jì)算和工程實(shí)現(xiàn) 都比較容易。 線性最優(yōu)控制問題包括線性調(diào)節(jié)器和線性伺服系統(tǒng)兩類問題。調(diào)節(jié)器問題是針對(duì)系統(tǒng)未處于平衡狀態(tài) (通常是狀態(tài)空間原點(diǎn) )或受脈沖型擾動(dòng)時(shí)，研究利用反饋方法，施以控制，使它回到平衡狀態(tài)。伺服問題是研究利用反饋方法， 對(duì)受控系統(tǒng)施以控制，使它的輸出跟蹤某一給定的輸入。 線性二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)是基于狀態(tài)空間技術(shù)來設(shè)計(jì)一個(gè)優(yōu)化的動(dòng)態(tài)控制器。系統(tǒng)模型是用空間形式給出的線性系統(tǒng)，其目標(biāo)函數(shù)是對(duì)象狀態(tài)和控制輸入的二次型。二次型問題就是在線性系統(tǒng)約束條件下選擇控制輸入使二次型目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小。 線性二次型最優(yōu)控制一般包 括兩個(gè)方面的問題： 線性二次型最優(yōu)控制問題（ LQ 問題），具有狀態(tài)反饋的線性最優(yōu)控制系統(tǒng)；線性二次型 Gauss最優(yōu)控制問題，一般針對(duì)具有系統(tǒng)噪聲和量測(cè)噪聲的系統(tǒng)，用卡爾曼濾波器觀測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)。 線性二次型最優(yōu)控制 理論 應(yīng)用經(jīng)典控制理論設(shè)計(jì)控制系統(tǒng) ，能夠解決很多簡(jiǎn)單、確定系統(tǒng)的實(shí)際設(shè)計(jì)問題。但是對(duì)于諸多新型而復(fù)雜的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，例如多輸入多輸出系統(tǒng)與階次較高的系統(tǒng)，往往得不到滿意的結(jié)果。這時(shí)就需要在狀態(tài)空間模型下建立最優(yōu)控制策略。 最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的核心。所謂最優(yōu)控制，就是在一定條件下，在完成所要求 的控制任務(wù)時(shí)，使系統(tǒng)的某種性能指標(biāo)具有最優(yōu)值。根據(jù)系統(tǒng)不同的用途，可以提出各種不同的性能指標(biāo)。最優(yōu)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，就是選擇最優(yōu)控制，以使某一種性能指標(biāo)為最小。 ??3 二次型最優(yōu)控制理論 設(shè)給定線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 : ? ? ? ? ? ?? ? ? ?tCXtY tBUtAXtX ? ??? 式中： X(t)－ 狀態(tài)向量，是 n l矩陣 。 U(t)－ 控制向量，是 :n l矩陣 。 Y(r)－ 輸出向量，是 l l矩陣 。 A－ 系統(tǒng)矩陣，是 n n矩陣 。 環(huán)型二級(jí)倒立擺 LQR 控制 22 B－ 控制矩陣，是 n r矩陣 。 C－ 輸出矩陣，是 l n矩陣 。 若用 ry 表示系統(tǒng)的期望輸出，則從系統(tǒng)的輸出端定義 : ? ? ? ? ? ?tytyte r ?? 為系統(tǒng)的誤差向量，是 1 1矩陣。求取最優(yōu)控制 0u ，使基于誤差向量 e構(gòu)成的指標(biāo)函數(shù) : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?dttUtRtUQetetSeteJ TTffT ? ??? 102121 取極小值，其中 S為 1 1對(duì)稱半正定矩陣， Q為 l l對(duì)稱半正定矩陣， R為 r r對(duì)稱半正定矩陣。它們是用來權(quán)衡向量 e(t)及控制向量 U(t)在指標(biāo)函數(shù) J中重要程度的加權(quán)矩陣。其中各項(xiàng)所表示的物理意義簡(jiǎn)述如下 :［８］ (l).被積函數(shù)中的第一項(xiàng) ?? ??tQeteT 是在控制過程中由于誤差的存在而出現(xiàn)的代價(jià)函數(shù)項(xiàng)。由于加權(quán)矩陣 Q是對(duì)稱半正定的，故只要誤差存在，該代價(jià)函數(shù)總為非負(fù)。它說明，當(dāng) ??te =0時(shí)，代價(jià)函數(shù)為零；而誤差越大，則因此付出的代價(jià)也就越大。如誤差為標(biāo)量函數(shù) e(t)，則 ?? ??tQeteT 項(xiàng)變成 ??te2 。于是，上述代價(jià)函數(shù)的積分 ???10 221 dtte便是在古典控制理論中熟悉的用以評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的誤差平方積分。 (2).被積函數(shù)中的第二項(xiàng) ? ? ? ?tRUtUT 是用來衡量控制作用強(qiáng)弱的代價(jià)函數(shù)項(xiàng)。由于加權(quán)矩陣 R是對(duì)稱正定，故只要有控制 ??tU 存在，該代價(jià)函數(shù)總是正的，而且控制 ??tU 越大，則付出的代價(jià)? ? ? ?tRUtUT 也越大。 注意， 加權(quán)矩陣 Q和 R的選取是立足提高控制性能與降低控制能量消耗的折衷考慮上的。這體現(xiàn)在，如果重視提高控制性能，則應(yīng)增加加權(quán)矩陣 Q的各個(gè)元素 。反之，如果重視降低控制能量的消耗，則需增大加權(quán)矩陣 R的各個(gè)元素。 (3).指標(biāo)函數(shù)的第一項(xiàng) ? ? ? ?ffT tSete 是在終端時(shí)刻 ft 上對(duì)誤差要求設(shè)置的代價(jià)函數(shù)。它表示在給定終端時(shí)刻 ft 到來時(shí)，系統(tǒng)實(shí)際輸出 ??ty 接近期望輸出 ??tyr 的程度。 總上所述，具有二次型指標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)控制問題，實(shí)際上在于用不大的控制能量來實(shí)現(xiàn)較小的誤差，以在能量和誤差兩個(gè)方面實(shí)現(xiàn)綜合最優(yōu)。 因?yàn)樵诘沽[系統(tǒng)中 C=I，及 ? ?ty r =0，則有 ? ? ? ? ? ?tetXtY ??? ，并且倒立擺的控制是 ??ft 時(shí)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)調(diào)節(jié)問題，所以指標(biāo)函數(shù)可以等價(jià)為 : ? ?dtRUUQXXJ TT?? ?? 0 環(huán)型二級(jí)倒立擺 LQR 控制 23 采用反饋控制 : kXu ?? 其中 PBRk T1??? ， 0。0 ?? QR ， P為滿足 Raccati 方程的唯一正定對(duì)稱解： 01 ???? ? QPBP B RPAPA TT 加權(quán)矩陣的選取 盡管二次型最優(yōu)控制理論發(fā)展日趨成熟，但在工程實(shí)際應(yīng)用中仍然存在不少問題，一個(gè)最關(guān)鍵的問題就是二次型性能指標(biāo)中加權(quán)矩陣 Q 和 R 的選取。 為了使問題簡(jiǎn)單及加權(quán)矩陣具有比較明顯的物理意義，本文將加權(quán)矩陣 Q 選為對(duì)角矩陣，即 : ),( 621 qqqdiagQ ?? 這樣性能指標(biāo) ? ?dtRUUQXXJ TT?? ??0可以表示為 : ? ?? ? ?????? 0 2266233222211 RuxqxqxqxqJ ? 可以看出， 1q 是對(duì)狀態(tài) 1x 的平方的加權(quán)， 1q 的相對(duì)增加就意味著對(duì) 1x 的要求較嚴(yán)，在性能指標(biāo)中占的比重比較大，就使 1x 的偏差狀態(tài)相對(duì)減少 (在平均意義上來說 )。 R是對(duì)控制量 u平方的加權(quán) 。當(dāng) R相對(duì)很大，意味著控制費(fèi)用增加，使 得 控制能量較小，反饋減弱，當(dāng) R相對(duì)較小時(shí)，控制費(fèi)用較低，反饋增加，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)迅速。 對(duì)于二級(jí)倒立擺系統(tǒng)，二次型性能指標(biāo)應(yīng)能使二級(jí)倒立擺在調(diào)節(jié)過程中不偏離倒立擺的控制區(qū)域且盡可能在系統(tǒng)的線性范圍內(nèi)，這樣，在考慮倒立擺系統(tǒng)的各個(gè)狀態(tài)時(shí)，下擺和上擺偏角差 32 ?? ? 應(yīng)比下擺的偏角重要 2? ，下擺的偏角 2? 應(yīng)比水平桿偏角 1? 重要。因此要在性能指標(biāo)上反映這些要求，則應(yīng)該使得 21x 加權(quán)最大， 22x 的加權(quán)次之， 23x 的加權(quán)最小。在選取時(shí) 654 , qqq 則選為零。 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)比較復(fù)雜的系統(tǒng)，它的非 線性因素很多，如 :各運(yùn)動(dòng)副之間的干摩擦，電機(jī)的飽和特性，模型簡(jiǎn)化時(shí)忽略的高次項(xiàng)以及其他隨機(jī)干擾。由于這些非線性因素的影響，使得以線性模型為基礎(chǔ)的仿真與實(shí)際動(dòng)態(tài)響應(yīng)有很大差別，甚至使系統(tǒng)不能穩(wěn)定，因而，利用二次型最優(yōu)控制使的系統(tǒng)穩(wěn)定的關(guān)鍵是尋找一個(gè)使系統(tǒng)穩(wěn)定的加權(quán)矩陣 Q ,R 。 由于系統(tǒng)的非線性是固有的，片面追求系統(tǒng)的線性行為是不合理的，應(yīng)使采用線性模型設(shè)計(jì)的控制器能夠克服系統(tǒng)非線性來適應(yīng)對(duì)應(yīng)參數(shù)變化，具有一定的魯棒性。 選取 Q , R 時(shí)主要考慮了以下幾個(gè)方面 :??3 1） 由于我們采用的模型是經(jīng)線性化后的模型，為使我們的設(shè)計(jì)模型能有效地工作，應(yīng)使各狀態(tài)盡量工作在系統(tǒng)的線性范圍內(nèi)，這樣就要求不應(yīng)過大 621 , xxx ? 。 2） 閉環(huán)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)最好能有一對(duì) 共軛 復(fù)數(shù)極點(diǎn)，這樣有利于克服系統(tǒng)的摩擦非線性，但系環(huán)型二級(jí)倒立擺 LQR 控制 24 統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)的模不應(yīng)過大，以免系統(tǒng)的頻帶過寬，使得系統(tǒng)對(duì)噪聲過于敏感， 以致于不能正常工作。 3） 加權(quán)矩陣 R 的減小，會(huì)導(dǎo)致大的控制量，應(yīng)注意控制 U 的大小，不要超過系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的能力，使得放大器處于飽和狀態(tài)。 系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性 在狀態(tài)空間分析中，系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性也是非常重要的概念。這兩個(gè)概念是卡爾曼在 20世紀(jì) 60年代提出的，是現(xiàn)代控制理論中的兩個(gè)基本概念。 可控性是指系統(tǒng)的狀態(tài)能否被控制；可觀測(cè)性是指系統(tǒng)狀態(tài)的變化能否由輸出檢測(cè)反映出來。系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性從狀態(tài)的控制 能力和狀態(tài)的識(shí)別能力兩個(gè)方面反映系統(tǒng)本身的內(nèi)在特性，往往是確定最優(yōu)系統(tǒng)是否有解的先決條件，對(duì) 系統(tǒng) 的設(shè)計(jì)是至關(guān)重要的。 ??3 可控性與可觀測(cè)性定義如下： 線性系統(tǒng) BuAXx ??? ，在 0t 時(shí)刻的任意初始值 ??0tx = 0x ，對(duì)于 0tta? ， Jta? （ J 為系統(tǒng) 的時(shí)間定義域），可找到容許控制 u ，其元在 ? ?att,0 上是狀態(tài)完全能控的。 2. 可觀測(cè)性定義 線性系統(tǒng) ??? ? ?? Cxy BuAXx? 在 0t 時(shí)刻存在 0tta? ， Jta? （ J 為系統(tǒng)的時(shí)間定義 域），如根據(jù)在 ? ?att,0 的觀測(cè)值， ??ty 在? ?attt ,0? 區(qū)間內(nèi)能夠唯 一地確定系統(tǒng)在 0t 時(shí)刻的任意初始狀態(tài) 0x ，則稱系統(tǒng)在 ? ?att,0 上是狀態(tài)可觀測(cè)的。 可觀測(cè)性研究狀態(tài)和輸出量的關(guān)系，即通過對(duì)輸出量在有限時(shí)間內(nèi)的量測(cè)，把系統(tǒng)的狀態(tài)識(shí)別出來。實(shí)質(zhì)上可歸結(jié)為對(duì)初始狀態(tài)的識(shí)別問題。 環(huán)型二級(jí)倒立擺 LQR 調(diào)節(jié)器 的設(shè)計(jì) 在線性定常控制系統(tǒng)中，狀態(tài)反饋是一種非常重要的控制方式。采用狀態(tài)反饋可以使系統(tǒng)獲得一系列極為有實(shí)際價(jià)值的性質(zhì)。如閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)在一定條件下可以任意配置 :可以使系統(tǒng)具有二次型性能指標(biāo)最優(yōu)化等等。這里應(yīng)用最優(yōu)控制中的定常線性調(diào)節(jié)器理論，選取合適的 Q 、 R ，通過 MATLABY語句 lqr， 得到線性狀態(tài)反饋增益系數(shù) K ?？刂葡到y(tǒng)框圖見圖 ３， 輸出變量 Y 為各擺桿的角度信號(hào)，角速度信號(hào)通過硬件微分電路得到， 省去了狀態(tài)觀測(cè)器的重構(gòu)。 ??4 環(huán)型二級(jí)倒立擺 LQR 控制 25 圖 3 線性定常最優(yōu)調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖 環(huán)型倒立擺的平衡控制問題實(shí)際上就是一個(gè)調(diào)節(jié)器問題 ??5 。調(diào)節(jié)器又分為有限時(shí)間調(diào)節(jié)器和無限長(zhǎng)時(shí)間調(diào)節(jié)器。有限時(shí)間調(diào)節(jié)器問題只考察控制系統(tǒng)由任意初態(tài)恢復(fù)到平衡狀態(tài)的行為。工程上所關(guān)心的另一類更廣泛的問題，即無限長(zhǎng)時(shí)間調(diào)節(jié)器問題，除保證有限時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的非零初態(tài)響應(yīng)最優(yōu)性之 外，