【正文】 這體現(xiàn)在，如果重視提高控制性能，則應(yīng)增加加權(quán)矩陣 Q的各個(gè)元素 。反之，如果重視降低控制能量的消耗，則需增大加權(quán)矩陣 R的各個(gè)元素。 (3).指標(biāo)函數(shù) ? ? ? ?ffT tSete 的第一項(xiàng) ft 是在終端時(shí)刻上對(duì)誤差要求設(shè)置的代價(jià)函數(shù)。它表示在給定終端時(shí)刻 ft 到來(lái)時(shí)，系統(tǒng)實(shí)際輸出 ??ty 接近期望輸出 ??tyr 的程度。 總上所述，具有二次型指標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)控制問(wèn)題，實(shí)際上在于用不大的控制能量來(lái)實(shí)現(xiàn)較小的誤差，以在能量和誤差兩個(gè)方面實(shí)現(xiàn)綜合最優(yōu)。 因?yàn)樵诘沽[系統(tǒng)中 C=I，及 ? ?ty r =0，則有 ? ? ? ? ? ?tetXtY ??? ，并且倒立擺的控制是 ??ft時(shí)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)調(diào)節(jié)問(wèn)題，所以指標(biāo)函數(shù)可以等價(jià)為 : ? ?dtRUUQXXJ TT?? ??0 采用反饋控制 : kXu ?? 其中， P為滿足方程的唯一正定對(duì)稱(chēng)解： 01 ???? ? QPBP B RPAPA TT b)加權(quán)矩陣的選取 盡管二次型最優(yōu)控制理論發(fā)展日趨成熟，但在工程實(shí)際應(yīng)用中仍然存在不少問(wèn)題，一個(gè)最關(guān)鍵的問(wèn)題就是二次型性能指標(biāo)中加權(quán)矩陣和的選取。 為了使問(wèn)題簡(jiǎn)單及加權(quán)矩 陣具有比較明顯的物理意義，本文將加權(quán)矩陣 Q選為對(duì)角矩陣，即 : ),( 621 qqqdiagQ ?? 這樣性能標(biāo) ? ?? ? ?????? 0 2266233222211 RuxqxqxqxqJ ? 可以表示為： ? ?? ? ??????0 2266233222211 RuxqxqxqxqJ ? 可以看出， 1q 是對(duì) 1x 狀態(tài)的平方的加權(quán)， 1q 的相對(duì)增加就意味著對(duì) 1x 的要求較嚴(yán)，在性姓名：論文題目 2021 年 24 / 38 能指標(biāo)中占的比重比 較大，就使 1x 的偏差狀態(tài)相對(duì)減少 (在平均意義上來(lái)說(shuō) )。 R是對(duì)控制量 u平方的加權(quán)。當(dāng) R相對(duì)很大，意味著控制費(fèi)用增加，使得控制能量較小，反饋減弱，當(dāng) R相對(duì)較小時(shí)，控制費(fèi)用較低，反饋增加，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)迅速。 對(duì)于二級(jí)倒立擺系統(tǒng)，二次型性能指標(biāo)應(yīng)能使二級(jí)倒立擺在調(diào)節(jié)過(guò)程中不偏離倒立擺的控制區(qū)域且盡可能在系統(tǒng)的線性范圍內(nèi)，這樣，在考慮倒立擺系統(tǒng)的各個(gè)狀態(tài)時(shí)，下擺和上擺偏角差32 ?? ? 應(yīng)比下擺的偏角 2? 重要，下擺的偏角 2? 應(yīng)比水平桿偏角 1? 重要。因此要在性能指標(biāo)上反映這些要求，則應(yīng)該使得加權(quán) 21x 最大， 22x 的加權(quán)次之， 23x 的加權(quán)最小。在選取時(shí)則選654 , qqq 為零。 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)比較復(fù)雜的系統(tǒng)，它的非線性因素很多，如 :各運(yùn)動(dòng)副之間的干摩擦，電機(jī)的飽和特性，模型 簡(jiǎn)化時(shí)忽略的高次項(xiàng)以及其他隨機(jī)干擾。由于這些非線性因素的影響，使得以線性模型為基礎(chǔ)的仿真與實(shí)際動(dòng)態(tài)響應(yīng)有很大差別，甚至使系統(tǒng)不能穩(wěn)定，因而，利用二次型最優(yōu)控制使的系統(tǒng)穩(wěn)定的關(guān)鍵是尋找一個(gè)使系統(tǒng)穩(wěn)定的加權(quán)矩陣 ,。 由于系統(tǒng)的非線性是固有的，片面追求系統(tǒng)的線性行為是不合理的，應(yīng)使采用線性模型設(shè)計(jì)的控制器能夠克服系統(tǒng)非線性來(lái)適應(yīng)對(duì)應(yīng)參數(shù)變化，具有一定的魯棒性。 選取 , 時(shí)主要考慮了以下幾個(gè)方面 : 1）由于我們采用的模型是經(jīng)線性化后的模型，為使我們的設(shè)計(jì)模型能有效地工作，應(yīng)使各狀態(tài)盡量工作在系統(tǒng)的線性范圍內(nèi) ，這樣就要求不應(yīng)過(guò)大 621 , xxx ? 。 2）閉環(huán)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)最好能有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，這樣有利于克服系統(tǒng)的摩擦非線性，但系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)的模不應(yīng)過(guò)大，以免系統(tǒng)的頻帶過(guò)寬，使得系統(tǒng)對(duì)噪聲過(guò)于敏感，以致于不能正常工作。 3）加權(quán)矩陣的減小，會(huì)導(dǎo)致大的控制量，應(yīng)注意控制的大小，不要超過(guò)系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的能力，使得放大器處于飽和狀態(tài)。 在 狀態(tài)空間分析中，系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性也是非常重要的概念。這兩個(gè)概念 是卡爾曼在 20世紀(jì) 60年代提出的，是現(xiàn)代控制理論中的兩個(gè)基本概念。 可控性是指系統(tǒng)的狀態(tài)能否被控制；可觀測(cè)性是指系統(tǒng)狀態(tài)的變化能否由輸出檢測(cè)反映出來(lái)。系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性從狀態(tài)的控制能力和狀態(tài)的識(shí)別能力兩個(gè)方面反映系統(tǒng)本身的內(nèi)在特性，往往是確定最優(yōu)系統(tǒng)是否有解的先決條件，對(duì)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)是至關(guān)重要的。 可控性與可觀測(cè)性定義如下： 線性系統(tǒng) BuAXx ??? ，在時(shí)刻的任意初始值 ??0tx = 0x ，對(duì)于 0tta? ， Jta? （ J 為系統(tǒng)的2021 年 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 25 / 38 時(shí)間定義域），可找到容許控制 u ，其元在 ? ?att,0 上是狀態(tài)完全能控的。 2. 可觀測(cè)性定義 線性系統(tǒng) ??? ? ?? Cxy BuAXx? 在 0t 時(shí)刻存在 0tta? ， Jta? （ J 為系統(tǒng)的時(shí)間定義域），如根據(jù)在 ? ?att,0 的觀測(cè)值， ??ty在區(qū)間 ? ?attt ,0? 內(nèi)能夠唯一地確定系統(tǒng)在時(shí)刻的任意初始狀態(tài)，則稱(chēng)系統(tǒng)在 ? ?att,0 上是狀態(tài)可觀測(cè)的。 可觀測(cè)性研究狀態(tài)和輸出量的關(guān)系，即通過(guò)對(duì)輸出量在有限時(shí)間內(nèi)的量測(cè)，把系統(tǒng)的狀態(tài)識(shí)別出來(lái)。實(shí)質(zhì)上可歸結(jié)為對(duì)初始狀態(tài)的 識(shí)別問(wèn)題。 LQR 調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì) 在線性定?？刂葡到y(tǒng)中，狀態(tài)反饋是一種非常重要的控制方式。采用狀態(tài)反饋可以使系統(tǒng)獲得一系列極為有實(shí)際價(jià)值的性質(zhì)。如閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)在一定條件下可以任意配置 :可以使系統(tǒng)具有二次型性能指標(biāo)最優(yōu)化等等。這里應(yīng)用最優(yōu)控制中的定常線性調(diào)節(jié)器理論，選取合適的、通過(guò) MATLABY語(yǔ)句 lqr， 得到線性狀態(tài)反饋增益系數(shù)?？刂葡到y(tǒng)框圖見(jiàn)圖 ，輸出變量為各擺桿的角度信號(hào)，角速度信號(hào)通過(guò)硬件微分電路得到 ,省去了狀態(tài)觀測(cè)器的重構(gòu)。 圖 線性定常最優(yōu)調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖 環(huán)型倒立擺的平衡控制問(wèn)題實(shí)際上就是一個(gè)調(diào)節(jié)器問(wèn)題。調(diào)節(jié)器又分為有限時(shí)間調(diào)節(jié)器和無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間調(diào)節(jié)器。有限時(shí)間調(diào)節(jié)器問(wèn)題只考察控制系統(tǒng)由任意初態(tài)恢復(fù)到平衡狀態(tài)的行為。工程上所關(guān)心的另一類(lèi)更廣泛的問(wèn)題，即無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間調(diào)節(jié)器問(wèn)題，除保證有限時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的非零初態(tài)響應(yīng)最優(yōu)性之外， 還要求系統(tǒng)具有保持平衡狀態(tài)的能力， 即保證閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定性。為了獲得良好的瞬態(tài)和靜態(tài)性能， 且考慮到系統(tǒng)的實(shí)際要求，這里采用無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間調(diào)節(jié)器。 由實(shí)際數(shù)據(jù)的系統(tǒng)的狀態(tài)方程 ： 姓名：論文題目 2021 年 26 / 38 uxxxxxxxxxxxx????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1000000000100000010000001000654321654321?????? uxxxxxxy?????????????????????????????????????????????????????000000100000010000001654321321??? 引入全狀態(tài)反饋，如圖 。圖中， R是加在水平桿上的階躍輸入，六個(gè)狀態(tài)量分別代表水平桿、擺桿的夾角、角速度，輸出包括水平桿和擺桿角度。我們要設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，使得當(dāng)給系統(tǒng)施加一個(gè)階躍輸入時(shí)，擺桿會(huì)擺動(dòng)，然后仍然回到垂直位置，水平桿到達(dá)新的命令位置。 圖 狀態(tài)反饋框圖 設(shè)計(jì)的第一步時(shí)確定系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn) ,并判斷系統(tǒng)能控性和能觀性 。用 MATLAB 程序 eig(A)可以求出開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為（ ， ， ， ， 0， 0） ,可以看出 ,有二個(gè)極點(diǎn)， S平面 ,這說(shuō)明開(kāi)環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 MATLAB 中 ,用 ctrb( A , B)來(lái)求系統(tǒng)的能控陣 ? ?BAABBPc n 1?? ?。把系統(tǒng)參數(shù)代入程序，經(jīng)運(yùn)行可知 , rank ( Pc) = 6 , 可 知 該 系 統(tǒng) 能 控 。 MATLAB 中 , 用 obsv(A, C) 來(lái) 求 系 統(tǒng) 的 能 觀 陣? ?TnCACACQ 10 ?? ?。經(jīng) 計(jì)算得 rank( 0Q )=6,可知該系統(tǒng)為能觀系統(tǒng)。綜上所述，線性定常系統(tǒng)為不穩(wěn)定的能控、能觀系統(tǒng)，可加外控制器實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定 . 第二步 ,找出確定反饋控制規(guī)律的向量 K。用 MATLAB中的 lqr 函數(shù) ,也可以得到最優(yōu)控制器對(duì)應(yīng)的 K。 lqr函數(shù)允許選擇兩個(gè)參數(shù) R和 Q，這兩個(gè)參數(shù)來(lái)平衡輸入量和狀態(tài)量的權(quán)重。最簡(jiǎn)單的情況是假設(shè) 1?R , CCQ ??? 。當(dāng)然，也可以通過(guò)改變矩陣中的非零元素來(lái)調(diào)節(jié)控制2021 年 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 27 / 38 器以 得到期望的響應(yīng)。 ??????????????????????000000000000000000000100000010000001* CCQ T 其中 , 11Q 代表水平桿角度的權(quán)重 ,而 3322 、 是上、下擺桿角度的權(quán)重 ,輸入的權(quán)重 R=來(lái)求矩陣 K,MATLAB語(yǔ)句 K=lqr(A,B,Q,R),求得： K=[ ] LQR控制的階躍響應(yīng)如圖 姓名：論文題目 2021 年 28 / 38 圖 環(huán)型二級(jí)倒立擺系統(tǒng) LQR 控制的階躍響應(yīng) 圖中可以看出，響應(yīng)的超調(diào)量很小，但穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間偏大，水平桿的角度沒(méi)有跟蹤輸入，而是向相反方向移動(dòng)。下面縮短穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間。 可以發(fā)現(xiàn) ,Q矩陣中 ,增加 11Q 使穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間變短 ,并且使擺桿的角度變化減少。這里取100,100,200 332211 ??? Q ，則： K=[ ] 響應(yīng)曲線如圖 : 2021 年 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 29 / 38 圖 改進(jìn) LQR 控制器的階躍響應(yīng) 如果在增大 332211 Q ， ， 系統(tǒng)的響應(yīng)還會(huì)改善 .但在保證 332211 Q ， 足夠小的情況下 ,系統(tǒng)響應(yīng)已經(jīng)滿足要求了。 現(xiàn)在 ,要消除穩(wěn)態(tài)誤差 .在前面的設(shè)計(jì)方法中 ,是把輸出信號(hào)反饋回來(lái)乘于一個(gè)系數(shù)矩陣 K，然后與輸入量相減得到控制信號(hào) .這就使得輸入與反饋的量綱互相匹配，給輸入乘于增益NBAR，如圖 : 圖 加入 Nbar 的狀態(tài)反饋框圖 用函數(shù) rscal來(lái)計(jì)算 NBAR： Nbar=rscal(A,B,Cn,0,K)= ，可以看出，實(shí)際上 Nbar和 K向量中與水平桿角度對(duì)應(yīng)的那一項(xiàng)相等。此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖 ，水平桿角度跟蹤輸入信號(hào)，并且擺桿超調(diào)足夠小，穩(wěn)態(tài)誤差滿足要求，上升時(shí)間和穩(wěn)定時(shí)間也符合設(shè)計(jì)指標(biāo)。 姓名：論文題目 2021 年 30 / 38 圖 消除穩(wěn)態(tài)誤差后的 階躍響應(yīng) 第三章 simulink仿真模型 和 倒立擺自動(dòng)起擺 的簡(jiǎn)介 2021 年 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 31 / 38 MATLAB是一個(gè)高級(jí)的數(shù)學(xué)分析和計(jì)算仿真軟件， simulink是內(nèi)嵌在