【正文】 ? 求解代數(shù)方程，得到下式： ? ? ? ? ? ??????? ??????????2533325325321123335444512216632119mmmlmmmmmmglmlm ???? ???? （ 6） 表示成以下形式： ? ?32132112 , ??????? ????? f? （ 7） ? ?32132123 , ??????? ????? f? （ 8） 取平衡位置時(shí)各變量的初值為零， ? ? ? ?0,0,0,0,0,0, 321321 ??????? ??? 將 (5)式在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，并線性化，令 00,0,0,0,0,0,01111 1321321 ???? ??????? ???????? ?????fK ? ?25325320,0,0,0,0,0,02112434221321321 lmmmgmmmfK?????? ??????????????? ???????? ????? 253230,0,0,0,0,0,03113434321321321 lmmmgmfK?????? ??????? ??????? ???????? ????? 00,0,0,0,0,0,01114 1321321 ???? ??????? ???????? ??????fK 00,0,0,0,0,0,02115 1321321 ???? ??????? ???????? ??????fK 00,0,0,0,0,0,03116 1321321 ???? ??????? ???????? ??????fK 姓名：論文題目 2021 年 20 / 38 ?????? ???????? ?????? ???????53215320,0,0,0,0,0,011174342211321321 mmmlmmmfK ???????? ??????? 帶入 (5)式，得到線性化之后的公式： 1173132122 ???? ???? KKK ??? （ 9） 將 (6)式在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，并線性化，令 00,0,0,0,0,0,01221 1321321 ???? ??????? ???????? ?????fK ? ??????? ????????????????25335320,0,0,0,0,0,02222354426631321321 mmmlgmmmfK???????? ????? ? ??????? ????????????????25335320,0,0,0,0,0,0322335444122151321321 mmmlgmmmfK???????? ????? 00,0,0,0,0,0,01224 1321321 ???? ??????? ???????? ??????fK 00,0,0,0,0,0,02225 1321321 ???? ??????? ???????? ??????fK 00,0,0,0,0,0,03226 1321321 ???? ??????? ???????? ??????fK ? ??????? ???????????????25331320,0,0,0,0,0,01227354449111321321 mmmllmmfK???????? ??????? 帶入 (6)式，得到線性化之后的公式： 1273232223 ???? ???? KKK ??? （ 10） 現(xiàn)在得到了一個(gè)線性微分方程，我們采用角加速度作為輸入，因此還需加上一個(gè)方程 1???u （ 11） 取狀態(tài)變量如下： 11 ??x 2021 年 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 21 / 38 22 ??x 33 ??x 14 ???x 25 ???x 36 ???x 由 (9)， (10)， (11)式得到狀態(tài)空間方程如下： uKKxxxxxxKKKKxxxxxx??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????271765432123221312654321100000000000000000100000010000001000?????? uxxxxxxy?????????????????????????????????????????????????????000000100000010000001654321321??? 線性二次型最優(yōu)控制器（ LQR）的設(shè)計(jì) 對(duì)于線性系統(tǒng)， 若取狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分作為性能指標(biāo)函數(shù)時(shí)， 這種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)化問題稱為線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問 題， 簡(jiǎn)稱線性二次型問題。 在 MATLAB中，系統(tǒng)可用 [ DCBA , ]表示，用函數(shù) ss （）來建立控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，或者將傳遞函數(shù)模型與零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)空間 模型 。 連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ?? ?? tDutCxty tButAxtx 式中， ??tu 是 1?r 的系統(tǒng)控制輸入 （ r個(gè)） 向量， ??tx 是 1?n 的系統(tǒng)狀態(tài)變量， ??ty 則是 1?m 的系統(tǒng)輸出向量。 因此用 Lagrange方程來求解系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以大大簡(jiǎn)化建模過程。 拉格朗日方程由廣義坐標(biāo) iq 和 L表示為： () 其中 ni ?3,2,1? ， if 為系統(tǒng)沿該廣義坐標(biāo)方向上的外力。如果系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)用 n維廣義坐標(biāo) q1,q2,? qn來表示，我們可以把這 n維廣義坐標(biāo)看成是 n維空間的 n位坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。倒立擺的形狀較為規(guī)則，而且是一個(gè)絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)，無法通過測(cè)量頻率特性方法獲取其數(shù)學(xué)模型 ,故適合用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行理論推導(dǎo)。它是分析、設(shè)計(jì)、預(yù)報(bào)和控制一個(gè)系統(tǒng)的基礎(chǔ)，所以要對(duì)一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行研究，首先要建立它的數(shù)學(xué)模型。 環(huán)形二級(jí)倒立擺的閉環(huán)控制回路如下圖 ， 姓名：論文題目 2021 年 10 / 38 圖 環(huán)形二級(jí)倒立擺的閉環(huán)控制回路 其中編碼器 1連接在伺服電機(jī)，主要用來檢測(cè)水平擺桿的角度，編碼器 2用來采集下擺桿的角度，編碼器 3用來采集上擺桿相對(duì)于下擺桿的旋轉(zhuǎn)角度。 環(huán)形二階倒立擺系統(tǒng)的工作原理：旋轉(zhuǎn)平臺(tái)可以繞軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)平臺(tái)上的支撐桿轉(zhuǎn)動(dòng)，最后帶動(dòng)末端的擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)，通過控制伺服電機(jī)的位置，帶動(dòng)旋轉(zhuǎn)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)，就可以控制平臺(tái)的轉(zhuǎn)角及其位置。 2021 年 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 9 / 38 圖 各類倒立擺系統(tǒng) 本實(shí)驗(yàn)要用到的是環(huán)形二級(jí)倒立擺系統(tǒng)，它是由倒立擺本體、電機(jī)驅(qū)動(dòng)箱、數(shù)字計(jì)算機(jī)以及若干信號(hào)線傳輸線路組成。 串聯(lián)倒立擺系統(tǒng)是指對(duì)各擺桿“頭尾”相接，呈串聯(lián)形式連接。 （ 8）模糊控制 [13]主要是確定模糊規(guī)則設(shè)計(jì)出模糊控制器，實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制。許多控制系統(tǒng)多為靜態(tài)控制，自適應(yīng)控制隨著環(huán)境的變化而 變化，屬于一種動(dòng)態(tài)控制系統(tǒng)，從而提高控制精度 。基于倒立擺的動(dòng)力學(xué)模型，使用狀態(tài)空間理論推導(dǎo)出其非線性模型 ，再在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化得到倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程，根據(jù)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程設(shè)計(jì)出 PID 控制器，實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制。各種控制理論和方法都可以在這里得以充分實(shí)踐， 并且可以促成相互間的有機(jī)結(jié)合 。近年來，雖然各種新型倒立擺不斷問世，但是可自主研發(fā)并生產(chǎn)倒立擺裝置的廠家并不多。到了 20世紀(jì) 60年代后期，倒立擺作為一個(gè)典型不穩(wěn)定、非線性的例證被提出 [1]。之后通過 simulink來建立仿真模型，與硬件設(shè)備連接，啟動(dòng)倒立擺，通過調(diào)整模型參數(shù)的大小，來實(shí)現(xiàn)倒立擺的起擺穩(wěn)態(tài)控制。 本文首先介紹了倒立擺的發(fā)展歷史、現(xiàn)狀、控制方法，研究方向和研究意義以及在科研方面的應(yīng)用，然后經(jīng)過對(duì)比分析選取了一個(gè)合適的控制方法即線性二次型最優(yōu)控制（ LQR)和狀態(tài)反饋控制結(jié)合的控制方法來設(shè)計(jì)環(huán)形二級(jí)串聯(lián)倒立擺的 起擺實(shí)驗(yàn)。 本學(xué)位論文屬于 保密 □ ，在 _________年解密后適用本授權(quán)書。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。 不保密 □ 。 先是查找大量和倒立擺相關(guān)的資料，把做本實(shí)驗(yàn)需要運(yùn)用的知識(shí)復(fù)習(xí)和自學(xué)一遍，參考部分倒立擺已有的程序和視頻來為自己的實(shí)驗(yàn)做一個(gè)鋪墊。 本實(shí)驗(yàn)所做的倒立擺起擺實(shí)驗(yàn)由于是建立 在理想的數(shù)學(xué)模型之上，忽略了客觀因素的影響（比如擺桿質(zhì)量測(cè)量不精準(zhǔn)，空氣阻力，各種摩擦力都不計(jì)等），所以得到的結(jié)果和預(yù)計(jì)的有所差別，但從得到的結(jié)果已經(jīng)可以看出來分析過程和程序設(shè)計(jì)的思路都是正確，所以說還算是一次成功的設(shè)計(jì)。自此，對(duì)于倒立擺系統(tǒng)的研究便成了控制界關(guān)注的焦點(diǎn)。目前，國(guó)內(nèi)各高校基本上都采用香港固高公司和加拿大 Quanser公司生產(chǎn)的系統(tǒng) [ 5]；其它一些生產(chǎn)廠家還包括（韓國(guó)）奧格斯科技 發(fā)展有限公司（ FT4820型倒立擺）、保定航空技術(shù)實(shí)業(yè)有限公司；最近，鄭州微納科技有限公司的微納科技直線電機(jī)倒立擺的研制取得了成功。 當(dāng)前倒立擺的控制方法可分為以下幾類： （ 1）狀態(tài)反饋控制 [6]基于倒立擺的動(dòng)力學(xué)模型，使用狀態(tài)空間理論推導(dǎo)出狀態(tài)方程和輸出方程，應(yīng)用狀態(tài)反饋，實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制。 姓名：論文題目 2021 年 8 / 38 （ 3）云模型控制 [9]云模型是一種擬人控制，用云模型構(gòu)成語(yǔ)言值，用語(yǔ)言值 構(gòu)成規(guī)則，形成一種定性的推理機(jī)制。 （ 5）非線性控制 [10]實(shí)際系統(tǒng)多被進(jìn)行線性化處理，非線性系統(tǒng)更能準(zhǔn)確反映實(shí)際系統(tǒng)，對(duì)提高系統(tǒng)控制精度具有更大意義。 （ 9）線性二次型最優(yōu)控制（ LQR):LQR理論是以線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間設(shè)計(jì)方法為基礎(chǔ)的，它根據(jù)狀態(tài)變量的線性反饋構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制，可以通過 MatTab進(jìn)行仿真使我們更便捷的實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)。而并聯(lián)倒立擺系統(tǒng)是指多個(gè)擺桿底端都連接在“小車”上，呈并聯(lián)形式連接。 環(huán)形二階倒立擺系統(tǒng)的特點(diǎn) : 和直線倒立擺運(yùn)動(dòng)平臺(tái)不同，環(huán)形倒立擺的基本模塊旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)通過增加一節(jié)倒立擺桿和相應(yīng)的傳感器，可以構(gòu)成環(huán)形單級(jí)倒立擺；通過增加兩節(jié)倒立擺桿和相應(yīng)的傳感器，就可構(gòu)成環(huán)形兩級(jí)倒立擺。環(huán)形倒立擺系統(tǒng)以角度編碼器采集的電機(jī)位置信號(hào)為反饋信息，編碼器反饋的傳感方式得到系統(tǒng)的反饋，并以此為依據(jù)進(jìn)行控制，通過轉(zhuǎn) 動(dòng)平臺(tái)，來控制轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)角位置并保持?jǐn)[桿直立。 實(shí)驗(yàn)室的倒立擺連接好的圖如 下圖 ： 2021 年 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 11 / 38 圖 實(shí)驗(yàn)室環(huán)形二級(jí)倒立擺和機(jī)箱（機(jī)箱里都已經(jīng)安裝好了