【正文】 此時系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖 ，水平桿角度跟蹤輸入信號，并且擺桿超調(diào)足夠小，穩(wěn)態(tài)誤差滿足要求，上升時間和穩(wěn)定時間也符合設(shè)計指標(biāo)。這里取100,100,200 332211 ??? Q ，則： K=[ ] 響應(yīng)曲線如圖 : 2021 年 中國地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 29 / 38 圖 改進(jìn) LQR 控制器的階躍響應(yīng) 如果在增大 332211 Q ， ， 系統(tǒng)的響應(yīng)還會改善 .但在保證 332211 Q ， 足夠小的情況下 ,系統(tǒng)響應(yīng)已經(jīng)滿足要求了。下面縮短穩(wěn)定時間和上升時間。當(dāng)然，也可以通過改變矩陣中的非零元素來調(diào)節(jié)控制2021 年 中國地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 27 / 38 器以 得到期望的響應(yīng)。 lqr函數(shù)允許選擇兩個參數(shù) R和 Q，這兩個參數(shù)來平衡輸入量和狀態(tài)量的權(quán)重。綜上所述，線性定常系統(tǒng)為不穩(wěn)定的能控、能觀系統(tǒng)，可加外控制器實現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定 . 第二步 ,找出確定反饋控制規(guī)律的向量 K。 MATLAB 中 , 用 obsv(A, C) 來 求 系 統(tǒng) 的 能 觀 陣? ?TnCACACQ 10 ?? ?。 MATLAB 中 ,用 ctrb( A , B)來求系統(tǒng)的能控陣 ? ?BAABBPc n 1?? ?。 圖 狀態(tài)反饋框圖 設(shè)計的第一步時確定系統(tǒng)的開環(huán)極點 ,并判斷系統(tǒng)能控性和能觀性 。圖中， R是加在水平桿上的階躍輸入，六個狀態(tài)量分別代表水平桿、擺桿的夾角、角速度，輸出包括水平桿和擺桿角度。為了獲得良好的瞬態(tài)和靜態(tài)性能， 且考慮到系統(tǒng)的實際要求，這里采用無限長時間調(diào)節(jié)器。有限時間調(diào)節(jié)器問題只考察控制系統(tǒng)由任意初態(tài)恢復(fù)到平衡狀態(tài)的行為。 圖 線性定常最優(yōu)調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖 環(huán)型倒立擺的平衡控制問題實際上就是一個調(diào)節(jié)器問題。這里應(yīng)用最優(yōu)控制中的定常線性調(diào)節(jié)器理論，選取合適的、通過 MATLABY語句 lqr， 得到線性狀態(tài)反饋增益系數(shù)。采用狀態(tài)反饋可以使系統(tǒng)獲得一系列極為有實際價值的性質(zhì)。實質(zhì)上可歸結(jié)為對初始狀態(tài)的 識別問題。 2. 可觀測性定義 線性系統(tǒng) ??? ? ?? Cxy BuAXx? 在 0t 時刻存在 0tta? ， Jta? （ J 為系統(tǒng)的時間定義域），如根據(jù)在 ? ?att,0 的觀測值， ??ty在區(qū)間 ? ?attt ,0? 內(nèi)能夠唯一地確定系統(tǒng)在時刻的任意初始狀態(tài)，則稱系統(tǒng)在 ? ?att,0 上是狀態(tài)可觀測的。系統(tǒng)的可控性與可觀測性從狀態(tài)的控制能力和狀態(tài)的識別能力兩個方面反映系統(tǒng)本身的內(nèi)在特性，往往是確定最優(yōu)系統(tǒng)是否有解的先決條件，對系統(tǒng)的設(shè)計是至關(guān)重要的。這兩個概念 是卡爾曼在 20世紀(jì) 60年代提出的，是現(xiàn)代控制理論中的兩個基本概念。 3）加權(quán)矩陣的減小，會導(dǎo)致大的控制量，應(yīng)注意控制的大小，不要超過系統(tǒng)執(zhí)行機構(gòu)的能力，使得放大器處于飽和狀態(tài)。 選取 , 時主要考慮了以下幾個方面 : 1）由于我們采用的模型是經(jīng)線性化后的模型，為使我們的設(shè)計模型能有效地工作，應(yīng)使各狀態(tài)盡量工作在系統(tǒng)的線性范圍內(nèi) ，這樣就要求不應(yīng)過大 621 , xxx ? 。由于這些非線性因素的影響，使得以線性模型為基礎(chǔ)的仿真與實際動態(tài)響應(yīng)有很大差別，甚至使系統(tǒng)不能穩(wěn)定，因而，利用二次型最優(yōu)控制使的系統(tǒng)穩(wěn)定的關(guān)鍵是尋找一個使系統(tǒng)穩(wěn)定的加權(quán)矩陣 ,。在選取時則選654 , qqq 為零。 對于二級倒立擺系統(tǒng)，二次型性能指標(biāo)應(yīng)能使二級倒立擺在調(diào)節(jié)過程中不偏離倒立擺的控制區(qū)域且盡可能在系統(tǒng)的線性范圍內(nèi)，這樣，在考慮倒立擺系統(tǒng)的各個狀態(tài)時，下擺和上擺偏角差32 ?? ? 應(yīng)比下擺的偏角 2? 重要，下擺的偏角 2? 應(yīng)比水平桿偏角 1? 重要。 R是對控制量 u平方的加權(quán)。 因為在倒立擺系統(tǒng)中 C=I，及 ? ?ty r =0，則有 ? ? ? ? ? ?tetXtY ??? ，并且倒立擺的控制是 ??ft時線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)調(diào)節(jié)問題，所以指標(biāo)函數(shù)可以等價為 : ? ?dtRUUQXXJ TT?? ??0 采用反饋控制 : kXu ?? 其中， P為滿足方程的唯一正定對稱解： 01 ???? ? QPBP B RPAPA TT b)加權(quán)矩陣的選取 盡管二次型最優(yōu)控制理論發(fā)展日趨成熟，但在工程實際應(yīng)用中仍然存在不少問題，一個最關(guān)鍵的問題就是二次型性能指標(biāo)中加權(quán)矩陣和的選取。它表示在給定終端時刻 ft 到來時，系統(tǒng)實際輸出 ??ty 接近期望輸出 ??tyr 的程度。反之，如果重視降低控制能量的消耗，則需增大加權(quán)矩陣 R的各個元素。 注意，加權(quán)矩陣 Q和 R的選取是立足提高控制性能與降低控制能量消耗的折衷考慮上的。 (2).被積函數(shù)中的第二項 ? ? ? ?tRUtUT 是用來衡量控制作用強弱的代價函數(shù)項。如誤差為標(biāo)量函數(shù) e(t)，則?? ??tQeteT 項變成 ??te2 。2021 年 中國地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 23 / 38 由于加權(quán)矩陣 Q是對稱半正定的，故只要誤差存在，該代價函數(shù)總為非負(fù)。它們是用來權(quán)衡向量 e(t)及控制向量 U(t)在指標(biāo)函數(shù) J中重要程度的加權(quán)矩陣。 若用表示系統(tǒng)的期望輸出，則從系統(tǒng)的輸出端定義 : ? ? ? ? ? ?tytyte r ?? 為系統(tǒng)的誤差向量，是 1 1矩陣。 B－控制矩陣，是 n r矩陣 。 Y(r)－輸出向量，是 l l矩陣 。 線性二次型最優(yōu)控制理論又細(xì)分為二部分： a)二次型最優(yōu)控制理論 設(shè)給定線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 : ? ? ? ? ? ?? ? ? ?tCXtY tBUtAXtX ? ??? 式中： X(t)－狀態(tài)向量，是 n l矩陣 。根據(jù)系統(tǒng)不同的用途，可以提出各種不同的性能指標(biāo)。 最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的核心。但是對于諸多新型而復(fù)雜的控制系統(tǒng)設(shè)計，例如多輸 入多輸出系統(tǒng)與階次較高的系統(tǒng)，往往得不到滿意的結(jié)果。 注：倒立擺擺桿在擺到與垂直方向夾角 ? 很小， 即 cos? 近似為 1， sin? 近似等于 ? 的時候可以看成是線性系統(tǒng)，此時可以運用 LQR算法來控制擺桿的穩(wěn)定性。二次型問題就是在線性姓名：論文題目 2021 年 22 / 38 系統(tǒng)約束條件下選擇控制輸入使二次型目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小。 線性二次型最優(yōu)控制設(shè)計是基于狀態(tài)空間技術(shù)來 設(shè)計一個優(yōu)化的動態(tài)控制器。調(diào)節(jié)器問題是針對系統(tǒng)未處于平衡狀態(tài) (通常是狀態(tài)空間原點 )或受脈沖型擾動時，研究利用反饋方法，施以控制，使它回到平衡狀態(tài)。它可以把一些相互矛盾的要求統(tǒng)一在一個性能指標(biāo)中，求得系統(tǒng)的總體最優(yōu)性，它的最優(yōu)解可以寫成統(tǒng)一的解析表達(dá)式，且可導(dǎo)致一個簡單的狀態(tài)線性反饋控制律，構(gòu)成閉環(huán)控制，其計算和工程實現(xiàn)都比較容易。 首先計算系統(tǒng)的動能： 54321 mmmmm TTTTTT ????? 其中連桿動能， 2mT 為擺桿 1 動能， 3mT 為擺桿 2 動能， 4mT 為質(zhì)量塊 1 動能， 5mT2021 年 中國地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 17 / 38 為質(zhì)量塊 2 動能。 二級倒立擺系統(tǒng) 的 數(shù)學(xué)模型 是一個理想模型，需要滿足下面的條件 : 1)每一級 擺桿都是剛體 . 2)在實驗過程中同步帶長度保持不變 . 3)驅(qū)動力與放大器輸入成正比并無延遲的直接施加于 旋轉(zhuǎn)平臺 . 4)實驗過程中的庫侖摩擦、動摩擦等所有摩擦力足夠小，在建模過程中可忽略不計 . 在忽略了空氣流動，各種摩擦之后，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成兩個勻質(zhì)桿和質(zhì)量塊組成的系統(tǒng)，如圖 : 姓名：論文題目 2021 年 16 / 38 圖 環(huán)形二級串聯(lián)倒立擺數(shù)學(xué)模型 1m ：水平桿的質(zhì)量 2m ：擺桿 1 的質(zhì)量 3m ：擺桿 2 的質(zhì)量 4m ：質(zhì)量塊 1 的質(zhì)量 5m ：質(zhì)量塊 2 的質(zhì)量 1l ：水平桿長度 2l ：擺桿 1 轉(zhuǎn)動中心到桿質(zhì)心的距離 0. 08m 3l ：擺桿 2 轉(zhuǎn)動中心到桿質(zhì)心的距離 0. 1975m 1? ：連桿與水平 x 軸的夾角（圖示順時針為正） 2? ：擺桿 1與垂直向上方向的夾角（圖示順時針為正） 3? ：擺桿 2與垂直向上方向的夾角（圖示順時針為正） 利用拉格朗日方程推導(dǎo)環(huán)形倒立擺動力學(xué)方程 拉格朗日方程為： ? ? ? ? ? ?qqVqqTqqL ??? , ?? 其中， L 為拉格朗日算子， q 為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)， T 為系統(tǒng)的動能， V 為系統(tǒng)的勢能。 A 為狀態(tài)矩陣，由控制對象的參數(shù)決定； B 為控制矩陣； C 為輸出矩陣； D 為直接傳輸矩陣。 A是 nn? 的系統(tǒng)矩陣（狀態(tài)矩陣），有控制對象的參數(shù)決定； B為 rn?的控制矩陣（輸入矩陣）； C為 nm? 的輸出矩陣（觀測矩陣）； D為 rm? 的輸入輸出矩陣（直接傳輸矩陣）。 現(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)空間法，簡單地說就是將描述系統(tǒng)運動的高階微分方程改寫成一階聯(lián)立微分方程組的形式，或者將系統(tǒng)的運動直接用一階微分方程組表示，寫成矩陣形式，這樣2021 年 中國地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 15 / 38 就得到了狀態(tài)空間模型。 狀態(tài)空間模 型 現(xiàn)代控制理論是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。 3:Lagrange方程是以能量觀點建立起來的運動方程，為了列出系統(tǒng)的運動方程，只需要從兩個方面去分析，一個是表征系統(tǒng)運動的動力學(xué)量－系統(tǒng)的動能，另一個是表征主動力作用的動力學(xué)量－廣義力。 Lagrange方程有如下特點： 1:它是以廣義坐標(biāo)表達(dá)的任意完整系統(tǒng)的運動方程式，方程式的數(shù)目和系統(tǒng)的自由度是一致的。 拉格朗日方程： () 式中， L —— 拉格朗日算子， q —— 系統(tǒng)的廣義坐標(biāo) ， T —— 系統(tǒng)的動能， V —— 系統(tǒng)的勢能。對于任一系統(tǒng)可由 n維空間中的一點來表征。 廣義坐標(biāo)： 系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)是描述系統(tǒng)運動必需的一組獨立坐標(biāo)，廣義坐標(biāo)數(shù)等同于系統(tǒng)自由度數(shù)。 建立倒立擺系統(tǒng)的模型時，一般采用牛頓運動規(guī)律，結(jié)果要解算大量的微分方程組，而且考慮到質(zhì)點組受到的約束條件，建模問題將更加復(fù)雜，為此本文采用分析力學(xué)方法中的姓名：論文題目 2021 年 14 / 38 Lagrange方程推導(dǎo)倒立擺的系統(tǒng)模型。另一種是從系統(tǒng)運行和實驗數(shù)據(jù)建立系統(tǒng)的模型 (模型結(jié)構(gòu)和參數(shù) )，這種方法稱為系統(tǒng)辯識。 建立數(shù)學(xué)模型有兩種方法 :一種是從基本物理定律，即利用各個專門學(xué)科領(lǐng)域提出來的物質(zhì)和能量的守恒性和連續(xù)性原理，以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)推導(dǎo)出模型。 Matlab語言進(jìn)行數(shù)字仿真，分析仿真結(jié)果，實現(xiàn)環(huán)形二級倒立擺的自動擺起的仿真和實物實現(xiàn) 第二章 系統(tǒng)設(shè)計的流程 數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)模型是利用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來反映系統(tǒng)內(nèi)部之間、內(nèi)部與外部某些因素之間的精確的定量的表示。 實驗室的倒立擺連接好的圖如 下圖 ： 2021 年 中國地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 11 / 38 圖 實驗室環(huán)形二級倒立擺和機箱（機箱里都已經(jīng)安裝好了伺服驅(qū)動器等硬件設(shè)備 ) 姓名：論文題目