【正文】 工程上所關心的另一類更廣泛的問題，即無限長時間調(diào)節(jié)器問題，除保證有限時間內(nèi)系統(tǒng)的非零初態(tài)響應最優(yōu)性之 外， 。調(diào)節(jié)器又分為有限時間調(diào)節(jié)器和無限長時間調(diào)節(jié)器。控制系統(tǒng)框圖見圖 ３， 輸出變量 Y 為各擺桿的角度信號，角速度信號通過硬件微分電路得到， 省去了狀態(tài)觀測器的重構。如閉環(huán)系統(tǒng)的極點在一定條件下可以任意配置 :可以使系統(tǒng)具有二次型性能指標最優(yōu)化等等。 環(huán)型二級倒立擺 LQR 調(diào)節(jié)器 的設計 在線性定?？刂葡到y(tǒng)中，狀態(tài)反饋是一種非常重要的控制方式。 可觀測性研究狀態(tài)和輸出量的關系，即通過對輸出量在有限時間內(nèi)的量測，把系統(tǒng)的狀態(tài)識別出來。 ??3 可控性與可觀測性定義如下： 線性系統(tǒng) BuAXx ??? ，在 0t 時刻的任意初始值 ??0tx = 0x ，對于 0tta? ， Jta? （ J 為系統(tǒng) 的時間定義域），可找到容許控制 u ，其元在 ? ?att,0 上是狀態(tài)完全能控的。 可控性是指系統(tǒng)的狀態(tài)能否被控制；可觀測性是指系統(tǒng)狀態(tài)的變化能否由輸出檢測反映出來。 系統(tǒng)的可控性與可觀測性 在狀態(tài)空間分析中，系統(tǒng)的可控性與可觀測性也是非常重要的概念。 2） 閉環(huán)系統(tǒng)的主導極點最好能有一對 共軛 復數(shù)極點，這樣有利于克服系統(tǒng)的摩擦非線性，但系環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 24 統(tǒng)主導極點的模不應過大，以免系統(tǒng)的頻帶過寬，使得系統(tǒng)對噪聲過于敏感， 以致于不能正常工作。 由于系統(tǒng)的非線性是固有的，片面追求系統(tǒng)的線性行為是不合理的，應使采用線性模型設計的控制器能夠克服系統(tǒng)非線性來適應對應參數(shù)變化，具有一定的魯棒性。 二級倒立擺系統(tǒng)是一個比較復雜的系統(tǒng)，它的非 線性因素很多，如 :各運動副之間的干摩擦，電機的飽和特性，模型簡化時忽略的高次項以及其他隨機干擾。因此要在性能指標上反映這些要求，則應該使得 21x 加權最大， 22x 的加權次之， 23x 的加權最小。當 R相對很大，意味著控制費用增加，使 得 控制能量較小，反饋減弱，當 R相對較小時，控制費用較低，反饋增加，系統(tǒng)動態(tài)響應迅速。 為了使問題簡單及加權矩陣具有比較明顯的物理意義，本文將加權矩陣 Q 選為對角矩陣，即 : ),( 621 qqqdiagQ ?? 這樣性能指標 ? ?dtRUUQXXJ TT?? ??0可以表示為 : ? ?? ? ?????? 0 2266233222211 RuxqxqxqxqJ ? 可以看出， 1q 是對狀態(tài) 1x 的平方的加權， 1q 的相對增加就意味著對 1x 的要求較嚴，在性能指標中占的比重比較大，就使 1x 的偏差狀態(tài)相對減少 (在平均意義上來說 )。 因為在倒立擺系統(tǒng)中 C=I，及 ? ?ty r =0，則有 ? ? ? ? ? ?tetXtY ??? ，并且倒立擺的控制是 ??ft 時線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)調(diào)節(jié)問題，所以指標函數(shù)可以等價為 : ? ?dtRUUQXXJ TT?? ?? 0 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 23 采用反饋控制 : kXu ?? 其中 PBRk T1??? ， 0。它表示在給定終端時刻 ft 到來時，系統(tǒng)實際輸出 ??ty 接近期望輸出 ??tyr 的程度。反之，如果重視降低控制能量的消耗，則需增大加權矩陣 R的各個元素。 注意， 加權矩陣 Q和 R的選取是立足提高控制性能與降低控制能量消耗的折衷考慮上的。 (2).被積函數(shù)中的第二項 ? ? ? ?tRUtUT 是用來衡量控制作用強弱的代價函數(shù)項。如誤差為標量函數(shù) e(t)，則 ?? ??tQeteT 項變成 ??te2 。由于加權矩陣 Q是對稱半正定的，故只要誤差存在，該代價函數(shù)總為非負。它們是用來權衡向量 e(t)及控制向量 U(t)在指標函數(shù) J中重要程度的加權矩陣。 若用 ry 表示系統(tǒng)的期望輸出，則從系統(tǒng)的輸出端定義 : ? ? ? ? ? ?tytyte r ?? 為系統(tǒng)的誤差向量，是 1 1矩陣。 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 22 B－ 控制矩陣，是 n r矩陣 。 Y(r)－ 輸出向量，是 l l矩陣 。 ??3 二次型最優(yōu)控制理論 設給定線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 : ? ? ? ? ? ?? ? ? ?tCXtY tBUtAXtX ? ??? 式中： X(t)－ 狀態(tài)向量，是 n l矩陣 。根據(jù)系統(tǒng)不同的用途，可以提出各種不同的性能指標。 最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的核心。但是對于諸多新型而復雜的控制系統(tǒng)設計，例如多輸入多輸出系統(tǒng)與階次較高的系統(tǒng)，往往得不到滿意的結果。 線性二次型最優(yōu)控制一般包 括兩個方面的問題： 線性二次型最優(yōu)控制問題（ LQ 問題），具有狀態(tài)反饋的線性最優(yōu)控制系統(tǒng)；線性二次型 Gauss最優(yōu)控制問題，一般針對具有系統(tǒng)噪聲和量測噪聲的系統(tǒng)，用卡爾曼濾波器觀測系統(tǒng)狀態(tài)。系統(tǒng)模型是用空間形式給出的線性系統(tǒng)，其目標函數(shù)是對象狀態(tài)和控制輸入的二次型。伺服問題是研究利用反饋方法， 對受控系統(tǒng)施以控制，使它的輸出跟蹤某一給定的輸入。 線性最優(yōu)控制問題包括線性調(diào)節(jié)器和線性伺服系統(tǒng)兩類問題。 21211212112111 61312121 ??? ?? lmlmJT m ????????? ? ? ? ?? ?? ? ? ? 212122122222221212121222222222221212222222211222222222213s i n2c o s221613s i n221s i n21c o s2121???????????????????????lmlmllllmlmlmlmdtlldmdtldmJT m???????????????????? ?????????? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? 21213323223232222323332223233322211323233212132332232332232332211323333s i ns i n4s i ns i n421s i ns i n221c o sc o s221613s i ns i n221c o sc o s221s i ns i n22121????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????? ????lmllllmllmlllmlmlmllmdtlldmdtllldmwJTm 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 17 ? ?? ? ? ?? ? 2121321232322323222233232322323222233131221212121323233321s i ns i n4s i ns i n461c o s44c o s2c o s42161????????????????????????????????lmllllmlllllllllmlmTm???????????????????? ? ? 2121421144 2121 ?? ?lmdtldmT m ???????? ? ? ? ?? ?2212122222121522252221155c o s4421c o s221s i n221???????????? llllmdtldmdtlldmTm???????????????? ?? 可以得到系統(tǒng)動能： ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?2212122222121521214212132123232232322223323232232322223313122121212132323321212212222222121212122222222222121154321c o s44212121s i ns i n4s i ns i n461c o s44c o s2c o s42161213s i n2c o s2216161????????????????????????????????????????????????????????????llllmlmlmllllmlllllllllmlmlmlmllllmlmlmTTTTTTmmmmm???????????????????????????? 系統(tǒng)的勢能為：（以水平桿所在的位置為零能位置） ? ? 22533223222 54321 c os20c osc os2c os0 ???? glmllgmglm VVVVVV mmmmm ?????? ????? 至此得到拉格朗日算子 L : ? ?? ?22221213212122122222221212121222222222221211c os21213s i n2c os2216161????????????glmlmlmlmllllmlmlmVTL???????????????????? 由于在廣義坐標 2? 上無外力作用，有以下等式成立： 022???????????? ?? ?? LLdtd ? (1) 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 18 033???????????? ?? ?? LLdtd ? (2) 展開 (1)、 (2)式，得到 (3)、 (4)式如下： 0s i n2s i n2s i n24242342252232221215222533232223121312122222????????????????????glmglmglmllmlmllmlmllmllmlm ?????????????? (3) 0s i n234 333232332331313 ????? ???? glmllmlmllm ?????? (4) 將 (3)式對 2?? 求解代數(shù)方程，得到下式： ? ?25323325321153224342322221lmmmgmgmmmlmmm?????? ???????????? ??????????? （ 5） 將 (4)式對 3?? 求解代數(shù)方程，得到下 式： ? ? ? ? ? ??????? ??????????2533325325321123335444512216632119mmmlmmmmmmglmlm ???? ???? （ 6） 表示成以下形式： ? ?32132112 , ??????? ????? f? （ 7） ? ?32132123 , ?????