【正文】 function 定義新的函數(shù)rank37。 給定向量，構(gòu)造對角矩陣diag是他們的鼓勵(lì)、關(guān)心和支持，才使我能有今天表達(dá)感謝的機(jī)會。另外 ， 我還要感謝所有關(guān)心和幫助我的朋友和同學(xué)，他們給予了我諸多的鼓勵(lì)、啟發(fā)和幫助。在此，我謹(jǐn)對周老師表示最衷心的感謝。同時(shí)周老師的博學(xué)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，高瞻遠(yuǎn)矚的治學(xué)方法和忘我的工作作風(fēng)也使我受益終身。　　　　　　　　　　　致　謝對于本論文的完成，首先要感謝周少武教授的傾心幫助。這在具有很強(qiáng)非線性特性的倒立擺系統(tǒng)研究中具有非常明顯的局限性，研究已證明了這種近似處理方法的控制效果是不能令人滿意的，要解決倒立擺系統(tǒng)的控制問題，需要新的方法和思路。4 結(jié)束語環(huán)型二級倒立擺控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì),綜合了現(xiàn)代控制理論中的穩(wěn)定、能觀、可控以及最優(yōu)化設(shè)計(jì)等諸多概念. 因此,該系統(tǒng)對于掌握和學(xué)習(xí)現(xiàn)代控制理論有著重要意義. 另外,倒立擺系統(tǒng)有多種方法和理論來實(shí)現(xiàn)其系統(tǒng)的穩(wěn)定控制,如PID、自適應(yīng)、狀態(tài)反饋、模糊控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等. ,對實(shí)現(xiàn)其他不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制,也有一定的參考價(jià)值。Nu=N(1+s)。C,D])*Z39。Z=[zeros([1,s]) 1]。plot(T,Y)legend(‘水平擺’，‘上擺’，‘下擺’)函數(shù)rscale內(nèi)容，調(diào)用時(shí)用addpath指出文件路徑。Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K)B=[Nbar*B]。[Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T)。T=0::5。Cc=[C]。K=lqr(A,B,Q,R)：Ac=[(AB*K)]。 0 0 0 0 0 0]。 0 0 0 0 0 0。 0 Y 0 0 0 0。Z=1。X=1。1。0。 0 0 0 0]。 0 0 0 0 0 0。Qo=obsv(A,C)：A=[0 0 0 1 0 0； 0 0 0 0 1 0。P=eig(A)。0。 0 0 1 0 0 0]。C=[1 0 0 0 0 0。1。0。 0 0 0 0]。 0 0 0 0 0 0。 圖８ 消除穩(wěn)態(tài)誤差后的階躍響應(yīng)　Matlab實(shí)現(xiàn)、能控性、能觀性的程序如下：A=[0 0 0 1 0 0； 0 0 0 0 1 0?，F(xiàn)在,是把輸出信號反饋回來乘于一個(gè)系數(shù)矩陣K，給輸入乘于增益NBAR，如圖７所示:　　　　　　　　　　　　　圖７　加入Nbar的狀態(tài)反饋框圖用函數(shù)rscal來計(jì)算NBAR：Nbar=rscal(A,B,Cn,0,K)= ，可以看出，實(shí)際上Nbar和K向量中與水平桿角度對應(yīng)的那一項(xiàng)相等?？梢园l(fā)現(xiàn),Q矩陣中,增加使穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間變短,并且使擺桿的角度變化減少。其中,代表水平桿角度的權(quán)重,而是上、下擺桿角度的權(quán)重,輸入的權(quán)重R=,MATLAB語句K=lqr(A,B,Q,R),求得：K=[ ]LQR控制的階躍響應(yīng)如圖５所示:圖５ 環(huán)型二級倒立擺系統(tǒng)LQR控制的階躍響應(yīng)從圖中可以看出，響應(yīng)的超調(diào)量很小，但穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間偏大，水平桿的角度沒有跟蹤輸入，而是向相反方向移動。最簡單的情況是假設(shè),。用MATLAB中的lqr函數(shù),也可以得到最優(yōu)控制器對應(yīng)的K。經(jīng)計(jì)算得rank ()=6,可知該系統(tǒng)為能觀系統(tǒng)。把系統(tǒng)參數(shù)代入程序，經(jīng)運(yùn)行可知, rank ( Pc) = 6 ,可知該系統(tǒng)能控。用MATLAB程序eig(A)可以求出開環(huán)極點(diǎn)為（，0，0）,可以看出,，,這說明開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。我們要設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，使得當(dāng)給系統(tǒng)施加一個(gè)階躍輸入時(shí)，擺桿會擺動，然后仍然回到垂直位置，水平桿到達(dá)新的命令位置?！?shí)例分析：由實(shí)際數(shù)據(jù)的系統(tǒng)的狀態(tài)方程：引入全狀態(tài)反饋，如圖４所示。2）如果想有效地抑制控制量的幅值及其引起的能量消耗，則可增大R。Q和R矩陣這兩個(gè)參數(shù)用來平衡系統(tǒng)對狀態(tài)量和輸入量的敏感程度，在此，假設(shè)控制向量是不受約束的。目前確定加權(quán)矩陣Q 和R 的普遍方法是仿真試湊法,該方法的基本原理是:首先進(jìn)行分析初步選取Q 和R , 通過計(jì)算機(jī)仿真判斷其是否符合設(shè)計(jì)要求, 如果符合要求則停止仿真,當(dāng)前的Q 和R 值就是實(shí)際控制系統(tǒng)所需要的,然后利用計(jì)算機(jī)可非常方便地求出最優(yōu)增益矩陣K,并把K代入到實(shí)際系統(tǒng)的控制器參數(shù)中,這樣就完成了控制器的設(shè)計(jì)。加權(quán)陣Q 和R 是用來平衡狀態(tài)向量和輸入向量的權(quán)重, Q 是半正定陣即: Q ≥0 , R 陣是正定陣即: R 0 。為了獲得良好的瞬態(tài)和靜態(tài)性能， 且考慮到系統(tǒng)的實(shí)際要求，這里采用無限長時(shí)間調(diào)節(jié)器。有限時(shí)間調(diào)節(jié)器問題只考察控制系統(tǒng)由任意初態(tài)恢復(fù)到平衡狀態(tài)的行為。 圖3 線性定常最優(yōu)調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖環(huán)型倒立擺的平衡控制問題實(shí)際上就是一個(gè)調(diào)節(jié)器問題。這里應(yīng)用最優(yōu)控制中的定常線性調(diào)節(jié)器理論，選取合適的、通過MATLABY語句lqr， 得到線性狀態(tài)反饋增益系數(shù)。采用狀態(tài)反饋可以使系統(tǒng)獲得一系列極為有實(shí)際價(jià)值的性質(zhì)。實(shí)質(zhì)上可歸結(jié)為對初始狀態(tài)的識別問題。2. 可觀測性定義線性系統(tǒng)在 時(shí)刻存在 ，（為系統(tǒng)的時(shí)間定義域），如根據(jù)在的觀測值，在區(qū)間內(nèi)能夠唯一地確定系統(tǒng)在時(shí)刻的任意初始狀態(tài)，則稱系統(tǒng)在上是狀態(tài)可觀測的。系統(tǒng)的可控性與可觀測性從狀態(tài)的控制能力和狀態(tài)的識別能力兩個(gè)方面反映系統(tǒng)本身的內(nèi)在特性，往往是確定最優(yōu)系統(tǒng)是否有解的先決條件，對系統(tǒng)的設(shè)計(jì)是至關(guān)重要的。這兩個(gè)概念是卡爾曼在20世紀(jì)60年代提出的，是現(xiàn)代控制理論中的兩個(gè)基本概念。3）加權(quán)矩陣的減小，會導(dǎo)致大的控制量，應(yīng)注意控制的大小，不要超過系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的能力，使得放大器處于飽和狀態(tài)。 選取, 時(shí)主要考慮了以下幾個(gè)方面:1）由于我們采用的模型是經(jīng)線性化后的模型，為使我們的設(shè)計(jì)模型能有效地工作，應(yīng)使各狀態(tài)盡量工作在系統(tǒng)的線性范圍內(nèi)，這樣就要求不應(yīng)過大。由于這些非線性因素的影響，使得以線性模型為基礎(chǔ)的仿真與實(shí)際動態(tài)響應(yīng)有很大差別，甚至使系統(tǒng)不能穩(wěn)定，因而，利用二次型最優(yōu)控制使的系統(tǒng)穩(wěn)定的關(guān)鍵是尋找一個(gè)使系統(tǒng)穩(wěn)定的加權(quán)矩陣,。在選取時(shí)則選為零。對于二級倒立擺系統(tǒng)，二次型性能指標(biāo)應(yīng)能使二級倒立擺在調(diào)節(jié)過程中不偏離倒立擺的控制區(qū)域且盡可能在系統(tǒng)的線性范圍內(nèi)，這樣，在考慮倒立擺系統(tǒng)的各個(gè)狀態(tài)時(shí)，下擺和上擺偏角差應(yīng)比下擺的偏角重要，下擺的偏角應(yīng)比水平桿偏角重要。R是對控制量u平方的加權(quán)。因?yàn)樵诘沽[系統(tǒng)中C=I，及=0，則有，并且倒立擺的控制是時(shí)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)調(diào)節(jié)問題，所以指標(biāo)函數(shù)可以等價(jià)為:采用反饋控制:其中，P為滿足方程的唯一正定對稱解： 　加權(quán)矩陣的選取盡管二次型最優(yōu)控制理論發(fā)展日趨成熟，但在工程實(shí)際應(yīng)用中仍然存在不少問題，一個(gè)最關(guān)鍵的問題就是二次型性能指標(biāo)中加權(quán)矩陣和的選取。它表示在給定終端時(shí)刻到來時(shí)，系統(tǒng)實(shí)際輸出接近期望輸出的程度。反之，如果重視降低控制能量的消耗，則需增大加權(quán)矩陣R的各個(gè)元素。 注意，加權(quán)矩陣Q和R的選取是立足提高控制性能與降低控制能量消耗的折衷考慮上的。(2).被積函數(shù)中的第二項(xiàng)是用來衡量控制作用強(qiáng)弱的代價(jià)函數(shù)項(xiàng)。如誤差為標(biāo)量函數(shù)e(t)，則項(xiàng)變成。由于加權(quán)矩陣Q是對稱半正定的，故只要誤差存在，該代價(jià)函數(shù)總為非負(fù)。它們是用來權(quán)衡向量e(t)及控制向量U(t)在指標(biāo)函數(shù)J中重要程度的加權(quán)矩陣。若用表示系統(tǒng)的期望輸出，則從系統(tǒng)的輸出端定義: 為系統(tǒng)的誤差向量，是11矩陣。 B－控制矩陣，是nr矩陣。Y(r)－輸出向量，是ll矩陣。 二次型最優(yōu)控制理論設(shè)給定線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:式中：X(t)－狀態(tài)向量，是nl矩陣。根據(jù)系統(tǒng)不同的用途，可以提出各種不同的性能指標(biāo)。最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的核心。但是對于諸多新型而復(fù)雜的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，例如多輸入多輸出系統(tǒng)與階次較高的系統(tǒng)，往往得不到滿意的結(jié)果。線性二次型最優(yōu)控制一般包括兩個(gè)方面的問題：線性二次型最優(yōu)控制問題（LQ問題），具有狀態(tài)反饋的線性最優(yōu)控制系統(tǒng)；線性二次型Gauss最優(yōu)控制問題，一般針對具有系統(tǒng)噪聲和量測噪聲的系統(tǒng)，用卡爾曼濾波器觀測系統(tǒng)狀態(tài)。系統(tǒng)模型是用空間形式給出的線性系統(tǒng)，其目標(biāo)函數(shù)是對象狀態(tài)和控制輸入的二次型。伺服問題是研究利用反饋方法， 對受控系統(tǒng)施以控制，使它的輸出跟蹤某一給定的輸入。線性最優(yōu)控制問題包括線性調(diào)節(jié)器和線性伺服系統(tǒng)兩類問題。 可以得到系統(tǒng)動能：系統(tǒng)的勢能為：（以水平桿所在的位置為零能位置） 至此得到拉格朗日算子 : 由于在廣義坐標(biāo)上無外力作用，有以下等式成立： (1) (2) 展開(1)、(2)式，得到(3)、(4)式如下： (3) (4) 將(3)式對求解代數(shù)方程，得到下式： （5）將(4)式對求解代數(shù)方程，得到下式： （6）表示成以下形式： （7） （8）取平衡位置時(shí)各變量的初值為零，將(5)式在平衡位置進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，并線性化，令帶入(5)式，得到線性化之后的公式： （9） 將(6)式在平衡位置進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，并線性化，令帶入(6)式，得到線性化之后的公式： （10）現(xiàn)在得到了一個(gè)線性微分方程，我們采用角加速度作為輸入，因此還需加上一個(gè)方程 （11） 取狀態(tài)變量如下：由(9)，(10)，(11)式得到狀態(tài)空間方程如下：3 線性二次型最優(yōu)控制器（LQR）的設(shè)計(jì)對于線性系統(tǒng)， 若取狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分作為性能指標(biāo)函數(shù)時(shí)， 這種動態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)化問題稱為線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題， 簡稱線性二次型問題。拉格朗日方程由廣義坐標(biāo) 和表示為： 其中，為系統(tǒng)沿該廣義坐標(biāo)方向上的外力，在本系統(tǒng)中，設(shè)系統(tǒng)的兩個(gè)廣義坐標(biāo)分別是, ,。二級倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模