【正文】 在日常學(xué)習(xí)和生活中，和我在同一個(gè)實(shí)驗(yàn)室學(xué)習(xí)和工作的其他同學(xué)也給予了我很多幫助，他們?cè)谖业恼撐墓ぷ髦刑岢隽嗽S多寶貴的意見并給予了全力的支持。我還要感謝自動(dòng)化教研室全體老師，在這過去的幾年時(shí)間里，老師們細(xì)心的傳授我們自動(dòng)化專業(yè)的基本知識(shí)，并在實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)一步一步教導(dǎo)我們，將書本知識(shí)得到進(jìn)一步的理解與鞏固。在這半年里楊老師不僅在學(xué)習(xí)上更在生活上給予了我極大的支持和關(guān)心，在為人處世上也給予了我諄諄的教導(dǎo)。PendSpd39。PendAng39。CartSpd39。CartPos39。39。hold on。.39。hold on。.39。hold on。39。[Y,X]=lsim(Ac,B,Cc,Dc,U,T)。%Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K)。Nu=N(1+s)。Cn,0])*Z39。Z=[zeros([1,s]) 1]。Cn=[1 0 0 0]。T=0::5。 Cc = [C]。K = lqr(A,B,Q,R)Ac = [(AB*K)]。 0 0 0 0]。 0 0 0 0。 Q33=200。D=[ 0 0 ]39。C=[ 1 0 0 0。 0 0 0]。 0 0 0 0。rank(cona)rank(cona2)一級(jí)倒立擺LQR控制器設(shè)計(jì)程序 clear。cona=[B A*B A^2*B A^3*B]。D=[0。C=[1 0 0 0。0。B=[0。 0 0 0 1。A=[ 0 1 0 0。(3) 通過本文研究的一級(jí)倒立擺，為自己的倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定奠定了一些基礎(chǔ)，可以延伸二級(jí)、三級(jí)或是四級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制研究。所以對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究還將繼續(xù)深入，將其各種可能的影響都考慮進(jìn)來(lái)。 展望本文在分析前人的研究的基礎(chǔ)之上，對(duì)倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，取得了一定的成果，但是由于學(xué)識(shí)和能力的限制，還有很多問題值得研究和完善，主要包括以下兩個(gè)方面：(1) 本文所建立的倒立擺系統(tǒng)模型是在忽略了一些因素的影響下建立起來(lái)的理想模型，并進(jìn)行了線性化。并以直線一級(jí)倒立擺為被控對(duì)象，設(shè)計(jì)了一個(gè)二次型最優(yōu)控制器(LQR)。不僅僅在倒立擺這類運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中可以發(fā)揮重要作用，而且也可以應(yīng)用在諸如過程控制等控制系統(tǒng)中，因此其研究及實(shí)現(xiàn)具有非常重要的意義和廣闊的應(yīng)用前景。第五章 結(jié)論與展望 結(jié)論倒立擺是典型的重心在上、支點(diǎn)在下的非線性、不穩(wěn)定、多變量、強(qiáng)耦合的復(fù)雜系統(tǒng)，因此倒立擺控制系統(tǒng)很適合作為控制理論的檢驗(yàn)裝置，在控制理論研究方面發(fā)揮著相當(dāng)重要的作用，值得大力推廣。說(shuō)明本次設(shè)計(jì)的LQR控制器完成了基本的要求。下面是實(shí)驗(yàn)運(yùn)行的結(jié)果：圖47一級(jí)倒立擺實(shí)物控制位置和角度波形圖圖48 一級(jí)倒立擺控制實(shí)物圖其中圖47上半部分為小車的位置曲線，下半部分為擺桿角度變化曲線，于是我們通過實(shí)物控制輸出的位置和角度圖可以看出，擺桿一直處于自動(dòng)調(diào)整保持為豎直的狀態(tài)，角度有點(diǎn)細(xì)微的變化，但一直保持在動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)下。將“Pendulum”模塊打開其內(nèi)部結(jié)構(gòu)：圖46 “Pendulum”模塊內(nèi)部結(jié)構(gòu)其中“Set Cart’s Acc and Vel”模塊的作用是設(shè)置小車運(yùn)動(dòng)的速度和加速度，“Get Cart’s Position”模塊的作用是讀取小車當(dāng)前的實(shí)際位置，“Get Pend’s Angle”的作用是讀取擺桿當(dāng)前的實(shí)際角度。下面是建立的直線一級(jí)倒立擺LQR實(shí)時(shí)控制模塊，圖41 一級(jí)倒立擺實(shí)物控制程序塊其中“LQR Controller”為L(zhǎng)QR控制器模塊，“Real Control”為實(shí)時(shí)控制模塊，可以將 “Real Control”模塊打開LQR控制器參數(shù)設(shè)置窗口，將第三章仿真的結(jié)果填入下表，進(jìn)行實(shí)物控制圖42 一級(jí)倒立擺LQR控制參數(shù)設(shè)置框經(jīng)過實(shí)物檢驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，這一組數(shù)據(jù)不能順利控制住一級(jí)倒立擺，估計(jì)倒立擺滑軌摩擦因素導(dǎo)致的，經(jīng)過調(diào)試得到下面的一組數(shù)據(jù)可以很好的控制一級(jí)倒立擺裝置。并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果做出了分析。 本章小結(jié)本章主要是簡(jiǎn)單介紹線性二次型最優(yōu)控制LQR控制原理，設(shè)計(jì)LQR控制器。這里取=1000，=200,則K=[ ] 輸入?yún)?shù)，運(yùn)行得到響應(yīng)曲線如下：圖39 當(dāng)Simulink仿真結(jié)果圖從Simulink圖上可以看出，小車的位置、小車的速度、擺桿的角度、擺桿的角速度可以在2s左右同時(shí)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，可以看出達(dá)到了穩(wěn)定效果。在Simulink中建立直線一級(jí)倒立擺的模型如下圖所示：圖34 Simulink中直線一級(jí)倒立擺的模型“LQR Controller”為一封裝好的模塊，單擊鼠標(biāo)右鍵，選擇“Look under mask”打開其結(jié)構(gòu)如下：圖35 LQR Controller 內(nèi)部結(jié)構(gòu)雙擊“Matrix gain K”即可輸入控制參數(shù)：圖36 LQR參數(shù)設(shè)置框其中雙擊Linear1Stage模塊可以將前面已經(jīng)建立起來(lái)的系統(tǒng)狀態(tài)方程輸入進(jìn)去，如下圖所示：圖37 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)狀態(tài)方程輸入框在全部數(shù)據(jù)輸入完畢后，再點(diǎn)擊執(zhí)行仿真，得到如下仿真結(jié)果：圖38 當(dāng)Simulink仿真結(jié)果圖LQR控制的階躍響應(yīng)如上圖所示， 其中黃色曲線為小車的位置曲線， 紫色為小車的速度曲線，紅色為擺桿角度曲線，青綠色為擺桿角速度曲線，從圖中可以看出，閉環(huán)控制系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量很小，但穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間偏大，我們可以通過增大控制量來(lái)縮短穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間。下面來(lái)求矩陣K，Matlab語(yǔ)句為K=lqr（A,B,Q,R）。當(dāng)然，也可以通過改變Q矩陣中的非零元素來(lái)調(diào)節(jié)控制器來(lái)得到期望的響應(yīng)。lqr 函數(shù)允許你選擇兩個(gè)參數(shù)——R 和Q，這兩個(gè)參數(shù)用來(lái)平衡輸入量和狀態(tài)量的權(quán)重。假設(shè)全狀態(tài)反饋可以實(shí)現(xiàn)（四個(gè)狀態(tài)量都可測(cè)），找出確定反饋控制規(guī)律的向量K 。前面已經(jīng)得到了直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)方程（228）：應(yīng)用線性反饋控制器，小車的輸入信號(hào)是階躍信號(hào)，四個(gè)狀態(tài)量分別代表小車位移、小車速度、擺桿角度和擺桿角速度，輸出包括小車位置和擺桿角度。但是Q不能過大。對(duì)線性系統(tǒng)： （34）根據(jù)期望性能指標(biāo)選取Q和R，利用Matlab命令lqr就可以得到反饋矩陣K的值。 （32）使得性能指標(biāo)達(dá)到最小值： （33）式中 Q正定（或正半定）厄米特或?qū)崒?duì)稱陣 R為正定厄米特或?qū)崒?duì)稱陣KXu 圖31 最優(yōu)控制LQR控制原理圖方程右端第二項(xiàng)是考慮到控制能量的損耗而引進(jìn)的，矩陣Q和R確定了誤差和能量損耗的相對(duì)重要性。利用Matlab求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程的參數(shù)矩陣，并進(jìn)一步對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性和能觀性進(jìn)行分析。因此可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，使系統(tǒng)穩(wěn)定。rank(Uc)rank(Vo)可以得到：ans = 4ans = 2可以看出，系統(tǒng)的狀態(tài)能控性矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)變量維數(shù)，系統(tǒng)的輸出完全能控性矩陣的秩等于系統(tǒng)輸出向量y的維數(shù)，所以系統(tǒng)能控。Uc=ctrb(A,B)。cona2=[C*B C*A*B C*A^2*B C*A^3*B]。對(duì)于此倒立擺經(jīng)過上面的數(shù)學(xué)建模已經(jīng)得到：系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的條件為：當(dāng)且僅當(dāng)n*m維矩陣的的秩等于n。（2）狀態(tài)的能觀性是指系統(tǒng)狀態(tài)的變化能否由系統(tǒng)的輸出反應(yīng)出來(lái)。對(duì)于此倒立擺經(jīng)過上面的數(shù)學(xué)建模已經(jīng)得到：系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的條件為：當(dāng)且僅當(dāng)向量組是線性無(wú)關(guān)的，或n*n維矩陣的秩為n。否則，系統(tǒng)就是不完全能控的，或簡(jiǎn)稱不能控。設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中，x（t）——n維狀態(tài)向量 u（t）——r維輸入向量A（t）——n*n系統(tǒng)矩陣B（t）——n*r輸入矩陣（1）狀態(tài)的能控性是指系統(tǒng)的輸入能否控制狀態(tài)的變化。能空性和能觀性正是分別分析u（t）對(duì)狀態(tài)x（t）的控制能力以及y（t）對(duì)狀態(tài)x（t）的反應(yīng)能力。在現(xiàn)代控制理論中，分析和設(shè)計(jì)一個(gè)控制系統(tǒng)時(shí)，必修研究這個(gè)系統(tǒng)的能空性和能觀性。實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下表22所示：表22 直線一級(jí)倒立擺模型相關(guān)參數(shù)