【正文】 優(yōu)化前 加權(quán)矩陣 ： Q=? ?0000700100100 , 遺傳算法優(yōu)化后 加權(quán)矩陣 ： Q=???????????????????? 反饋矩陣： K= [ 。 圖 最優(yōu)控制第一組仿真 實際仿真圖 1 沈陽航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 {論文 } 31 圖 最優(yōu)控制第二組仿真圖 圖 實際仿真圖 2 基于 LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng) 32 圖 最優(yōu)控制第三組仿真圖 圖 實際仿真圖 3 通過三組仿真圖象的對比，當(dāng) R 不變而 Q 變大時，調(diào)整時間減少，超調(diào)量減小，擺桿的角度變化也減小，上升時間也同時減?。划?dāng) Q 不變而 R 增大時，倒立擺系統(tǒng)的調(diào)整時間 與超調(diào)量增大，上升時間也同時增大；顯然，當(dāng) Q 和 R 的變化與上述兩種情況相反時，結(jié)論恰好相反。 2. 當(dāng) 加權(quán)矩陣： Q=? ?0002 0 01 0 01 0 0 ， R= 時， 反饋矩陣： k=? ?6 6 3 2 3 2 2 4 8 3 6 2 2 ??， K N x + u x Ax Buy Cx??? y 基于 LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng) 30 仿真結(jié)果如圖 所示 ,實際曲線如圖 所示 。 任選加權(quán)陣的 LQR 最優(yōu)控制仿真 實現(xiàn)最優(yōu)控制的 具體程序參見附錄的最優(yōu)控制法 M 文件。系統(tǒng)運行時，通過控制器的調(diào)節(jié)，小車可以達(dá)到指定位置，擺桿可以回到豎直位置。 圖 二級倒立擺控制系統(tǒng)的框圖 輸出 y ，即小車的位移，一級、二級擺與豎直方向的夾角。 通過上述算法就確定了使目標(biāo)函數(shù)值最小加權(quán)矩陣 Q 中的待優(yōu)化元素的值，從而確定反饋控制規(guī)律的向量 K 。設(shè)群體大小為 300，最大迭代次數(shù)為 1000，交叉概率選為 ，變異概率選為 并隨機(jī)產(chǎn)生初始群體； 。在 LQR最優(yōu)控制中取目標(biāo)函數(shù) J 為)(PtraceJ ? ，這里 P 為 0)()( ?????? QRKKBKAPPBKA TT 。將 Q 矩陣的對角線 6 個元素作為待尋優(yōu)參數(shù)，采用長度為 10 位的二進(jìn)制編碼串來分別表示這 6 個參數(shù)，然后將這些二進(jìn)制編碼串連接在一起，組成一個 610 位長的二進(jìn)制編碼串；取 R =5 ； 。交叉概率 Pc 和變異概率都取為 20。 遺傳算法自身參數(shù)有 3 個，即群體大小 M、交叉概率 Pc 和變異概率 Pm。 適應(yīng)度函數(shù)也稱對象函數(shù)，這是題求解品質(zhì)的測量函數(shù)，往往也稱為問題的“環(huán)YES NO 生成初始群體 計算適應(yīng)度 選擇 交叉 變異 滿足終止條件？ 開始 結(jié)束 Gen=Gen+1 Gen=0 計算適應(yīng)度 基于 LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng) 28 境”。一般把問題的各種參數(shù)用二進(jìn)制編碼，構(gòu)成子串，然后把子串拼接構(gòu)成“染色體”串。這說明遺傳算法是采用隨機(jī)方法進(jìn)行最優(yōu)解搜索，選擇體現(xiàn)了向最優(yōu)解迫近，交叉體現(xiàn)了最優(yōu)解的產(chǎn)生，變異體現(xiàn)了全局最優(yōu)解的覆蓋。故而，遺傳算法有很高的容錯能力。遺傳算法的初始群體本身就帶有大量與最優(yōu)解甚遠(yuǎn)的信息。遺傳算法只需適應(yīng)度和串編碼等通用信息，故幾乎可處理任何問題 。 ，容易形成通用算法程序。傳統(tǒng)優(yōu)化算法是從單個初始值開始迭代求最優(yōu)解的，容易誤入局部最優(yōu)解。 遺傳算法的求解流程如圖 所示： 遺傳算法的特點 遺傳算法具有以下幾個特點 ，而不是從單個解開始。 當(dāng)最優(yōu)個體的適應(yīng)度達(dá)到給定的閥值，或者最優(yōu)個體的適應(yīng)度和群體適應(yīng)度不再上升時，則算法的迭代過程收斂、算法結(jié)束。因為所有個體都一樣時，交叉無法產(chǎn)生新的個體，這時只能靠變異產(chǎn)生新的個體。 單靠變異不能在求解中得到好處。 例如有個體 ： S=101011，對其第 1， 4 位置的基因進(jìn)行變異，則有 39。2S =100111 基于 LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng) 26 根據(jù)生物遺傳中基因變異的原理，對某些個體的某些位執(zhí)行變異。 例如有個體： S1=100101 S2=010111，選擇它們的左邊 3 位進(jìn)行單點交叉操作，則有 39。這個過程反映了隨機(jī)信息交換，目的在于產(chǎn)生新的基因組合， 也即產(chǎn)生新的個體。對于問題求解角度來講，就是選擇出和最優(yōu)解較接近的中間解。適應(yīng)度較小的個體，繁殖下一代的數(shù)目較少，甚至被淘汰。 給出目標(biāo)函數(shù) f，則 f(a)稱為個體 a 的適應(yīng)度。由于在選擇用于繁殖下一代的個體時，是根據(jù)個體對環(huán)境的適應(yīng)度而決定其繁殖量 的，故也稱為非均勻再生 (Differential Reproduction)。這些選中的個體用于繁殖下一代。問題的最優(yōu)解將通過這些初始假設(shè)解進(jìn)化而求出。這個初始的群體也就是問題假設(shè)解的集合，也稱為初始群體。 遺傳算法的求解步驟 、初始化 首先要把問題的解表示成為遺傳算法可以接受的格式，即 2 進(jìn)制或字符串的格式。 SGA采用固定的控制參數(shù)，在處理復(fù)雜問題時，很難同時兼顧搜索范圍廣和搜索速率快的矛盾，容易陷入局部極值或使搜索時間增長， Grefenstette[25]采用一組測試函數(shù)進(jìn)行了大量的實驗，試圖發(fā)現(xiàn)一組通用的或具有普適性的最佳參數(shù)，但結(jié)果表明。文獻(xiàn) [24]證明了在交叉概率 Pc∈ (O， 1)，變異概率 Pm∈ (0， 1)，且采用輪盤賭方法的基本遺傳算法是不能收斂到全局最優(yōu)解的。遺傳算法也較早地喪失了進(jìn)化能力。 基本遺傳算法的局限性 基本遺傳算法采用二進(jìn)制編碼．二進(jìn)制編碼優(yōu)點很多，簡單、易于實現(xiàn)，符合最小字符集編碼原則，有較強(qiáng)的通用性，但它不反映所求問題的結(jié)構(gòu)特征，無法利用具體領(lǐng)域的特定知識，遺傳算子可 選擇的操作方式有限，精度也不太高?；具z 傳算法的特點是采用輪盤賭選擇方法 (適應(yīng)度比例法 )，單點交叉，位點變異，群體中允許有相同的個體存在。 (3)每一個基因型個體有一相應(yīng)的適應(yīng)度，表示該個體的生存與復(fù)制能力。 遺傳算法的出發(fā)點是一個簡單的群體模型，該模型滿足以下假設(shè) [23]： (1)染色體由一固定長度的字符串組成，其中的每一位有有限數(shù)目的等位基因。它只使用選擇算子、交叉算子和變異算子這三種基本的遺傳算子，其遺傳進(jìn)化操作簡單， 容易理解，是其它一些遺傳算法的雛形和基礎(chǔ)，也是研究各種遺傳算法性能和優(yōu)缺點的對象。遺傳算法的主要特點是群體搜索策略和群體 中個體之間的信息交換，搜索不依賴梯度信息，基于 LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng) 24 也不需要求解函數(shù)可微，只需要該函數(shù)在約束條件下可解，因此該方法尤為適用于處理傳統(tǒng)方法難以解決的復(fù)雜 和非線性問題。把一組參數(shù)下系統(tǒng)的性能指標(biāo)函數(shù)看成是這組參數(shù)對環(huán)境的適應(yīng)能力，性能指標(biāo)好的個體具有強(qiáng)的生存能力并遺傳給后代， 指標(biāo)差的個體的生存能力較弱。如果把待定的參數(shù)與生物個體進(jìn)行對應(yīng)，就能比較容易地 理解遺傳算法的基本原理了。生物個體的所有信息都包含在基因中，種群經(jīng)過一代代的進(jìn)化，優(yōu)勝劣汰。它將“適者生存”的理論引入到搜索過程中，實現(xiàn)編碼串之間有組織但又隨機(jī)的 信息交換。因此，對遺傳算法本身及其解決控制問題的能力的深入研究具有重要的現(xiàn)實意義。在科技高速發(fā)展的今天，對大規(guī)模的、復(fù)雜的、不確定性的系統(tǒng)進(jìn)行有效控制的要求在不斷提高，如何準(zhǔn)確方便 地優(yōu)化各種控制方法中控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)己成 為迫切需要解決的問題。 近年來，自動控制己成為遺傳算法最活躍的研究領(lǐng)域之一，包括 PID控制、最 優(yōu)控制、自適應(yīng)、魯棒控制、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制及系統(tǒng)辨識等許多分支 [21,22]。遺傳算法的這種特點使得它能夠處理許多復(fù)雜問題，具有廣泛的適用性和魯捧性。傳統(tǒng)的優(yōu)化搜索算法往往要求所求的函數(shù)具有連續(xù)、可微的性質(zhì)， 有要求搜索空間及噪聲相對較小的限制。它模擬了生物界中的生命進(jìn)化機(jī)制，并用在人工系統(tǒng)中實現(xiàn)特定目標(biāo)的優(yōu)化。 對于二級倒立擺系統(tǒng)，二次型性能指標(biāo)應(yīng)能使其在調(diào)節(jié)過程中不偏離倒立擺的控制區(qū)域且盡可能在系統(tǒng)的線性范圍內(nèi)，根據(jù)前面對二級倒立擺運動分析， 在考慮倒立擺系統(tǒng)的各個狀態(tài)時，上擺偏角 2? 應(yīng)比下擺的偏角 1? 重要，下擺的偏 角 1? 應(yīng)比小車的位移 x重要，因此要在選擇加權(quán)矩陣 Q和 R時反映這些 要求。這樣可以看出 iq 是對狀態(tài) X平方的加權(quán)， iq 相對增大就意味著對 X的要求較嚴(yán) 。 一般來說，加權(quán)矩陣 Q和 R的選取是在立足提高控制性能與降低控制能量消耗的折衷上考慮的。二次型性能指標(biāo)與實際工程意義的品質(zhì)指標(biāo)間的聯(lián)系至今未完全建立。 基于 LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng) 22 P 代入方程式 ()，得到的即為最優(yōu)反饋增益矩陣 K。 0RQ??,P 為滿足 Riccati 方程的唯一正定對稱解： 1 0TTP A A P P B R B P Q?? ? ? ? () 綜上所述，系統(tǒng)的設(shè)計步驟可概括如下： ()Riccati 方程，求得矩陣 P。 綜上所述，具有二次型指標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)控制問題，實際上在于用不大控制能量來實現(xiàn)較小的誤差，以在能量和誤差兩個方面實現(xiàn)綜合最優(yōu)。 函數(shù)的第一項 ( ) ( )T ffe t Se t 是在終端時刻 ft 上對誤差要求設(shè)置的代價函數(shù)。 注意，加權(quán)矩陣 Q 和 R 的選取是立足提高控制性能與降低控制能量消耗的折衷考慮上的。 ( ) ( )TU t RU t 是用來衡量控制作用強(qiáng)弱的代價函數(shù)項。如誤差為標(biāo)量函數(shù) e(t)，則 ( ) ( )Te t Qe t 項變成 2()et。由于加權(quán)矩陣 Q 是對稱半正定的，故只要誤差存在，該代價函數(shù)總為非負(fù)。它們是用來權(quán)衡向量 e(t)及控制向量 U(t)在指標(biāo)函數(shù) J 中重要程度的加權(quán)矩陣。 線性二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)器原理 設(shè)給定線性系統(tǒng)的 狀態(tài)方程為： ( ) ( ) ( )( ) ( )X t A X t B U tY t C X t??? () 其中 : ()Xt—— 狀態(tài)向量，是 1n? 矩陣； ()Ut—— 控制向量，是 1r? 矩陣； ()Yt—— 輸出向量，是 11? 矩陣； A —— 系統(tǒng)矩陣，是 nn? 矩陣； B —— 控制矩陣 , 是 nr? 矩陣； C —— 輸出矩陣，是 1n? 矩陣； 若用 ry 表示系統(tǒng)的期望輸出，則從系統(tǒng)的輸出端定義： ( ) ( ) ( )re t y t y t?? () 為系統(tǒng)的誤差向量，是 11? 矩陣。對于線性系統(tǒng)，若取狀態(tài)變量的二次型函數(shù)的積分做為系統(tǒng)的性能指標(biāo)，這種系統(tǒng)最優(yōu)化問題稱為線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最 優(yōu)控制問題，簡稱線性二次型 (LQR)問題。實際的倒立擺的非線性很重，同時一些參數(shù)（如轉(zhuǎn)動慣量 等）的數(shù)值并不一定準(zhǔn)確，另外一些參數(shù)（如摩擦力矩系數(shù)）也不準(zhǔn)確，對象的條件數(shù)較大，這些因素都使得二級倒立擺的實際控沈陽航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 {論文 } 19 制比較難以實現(xiàn)。 可控性矩陣 0T 的條件數(shù)決定系統(tǒng)控制的難控程度，條件數(shù)越大，系統(tǒng)越難控制。 22 2 2 2 1 1 1 2 2 21 2 2 c o s c o s2m m mT T T m x x l l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??????? ???? 122121222221212 c os434421 ?????? ???? llllm () 3mT 質(zhì)量塊動能： 221 1 1 133( 2 si n ) ( 2 c os )12md x l d lTm dt dt?????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ??? 2 2 23 3 1 1 1 3 1 11 2 c o s 22 m x m l x m l? ? ?? ? ? () 因此，可以得到系統(tǒng)動能 ： 1 2 3M m m mT T T T T? ? ? ? 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 11 1 2c o s2 2 3M x m x m l x m l? ? ?? ? ? ? ? ?? ?22211122 c osc os2221 ???? ???? llxxm ??? ? ??????? ???? 122121222221212 c os434421 ?????? ???? llllm 21213111323 2c os221 ??? ???? lmxlmxm ??? () 系統(tǒng)的勢能為： 1 2 3m m mV V V V? ? ? ? ?1 1 1 3 1 1 2 1 1 2 2c os 2 c os 2 c os c osm gl m gl m g l l? ? ? ?? ? ? ? () 至此得到拉格朗日算子 L ： L T V?? 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 11 1 2c o s2 2 3M x m x m l x m l? ? ?? ? ? ? 基于 LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng) 14 ? ?? ?22211122 c osc os2221 ???? ???? llxxm ??? ? ??????? ???? 122121222221212 c os43442