【正文】 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 作 者 ： 系 別 ： 專 業(yè) ： 學 號 ： 指導教師 ： 日期：二零零六年五月二十日 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 1 摘要 控制理論發(fā)展過程中，某一理論的正確性以及實際應用中可行性，往往需要一個按其理論所設計的控制器去控制一個典型對象來驗證其控制策略的效果。倒立擺就是這樣一個較為理想的實驗裝置。倒立擺本身是一個自然不穩(wěn)定體，在控制過程中能有效地反映控制中的許多問題。倒立擺的典型性在于 :作為一個裝置，其成本低廉，結構簡單，便于模擬，數(shù)字實現(xiàn)不同方式控制 。作 為被控對象，又相當復雜，是高階次、不穩(wěn)定、非線性、強 耦合 系統(tǒng)，只有采取行之有效的控制方法方能使之穩(wěn)定。 本文 在環(huán)型二級倒立擺系統(tǒng)進行數(shù)學建模的基礎上得出系統(tǒng)的狀態(tài)方程 , 應用線性二次型最優(yōu)控制策略 , 對環(huán)型二級倒立擺進行ＬＱＲ控制器的設計與ＭＡＴＬＡＢ仿真實驗 ， 并給出了相應的實驗結果。 關鍵 詞 : 倒立擺； ＬＱＲ ；最優(yōu)控制；狀態(tài)方程 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 2 Abstract The inverted pendulum is an ideal equipment, which enables the possibility to validate the validity and the feasibility of some control theories, The inverted pendulum is a natural unstable equipment and can effectively reflects many matters in the control process. The model of the inverted pendulum is: as an equipment, low cost, simple machinery, easy to perform all kinds of controls in simulation and digital。 as a controlled object, quite plex, high orders, instability, nonlinearity, strong coupling system. We can keep it stable through some control method. Inverted pendulum system is a plicated , nonlinear , unstable system of high order. In the paper, it is discussed how to model the system of double inverted pendulums by using dynamics equation and then to t transform into a control problem of linearitied system. The optimized cont rolling policy with LQR cont roller is established on the MATLAB platform. The relevant experiment is also provided. Keywords: LQR。 inverted pendulum。 optimal control 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 3 目 錄 １ 概述 ?????????????????????????????????????????? ４ １ .１ 當前國內(nèi)外控制理論發(fā)展概述 ??????????????????????????? ５ １ .２ 倒立擺系統(tǒng)的歷史 ?????????????????????????????????? ６ １ .３ 倒立擺控制系統(tǒng)的發(fā)展動向 ?????????????????????????????? ７ １ .４ 現(xiàn)代控制在倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定控制中的應用 ????????????? ??????????? ９ １ .５ 對倒立擺系統(tǒng)研究的意義 ??????????????????????????????? １０ １ .６ 本文的主要工作 ???????????????????????????????????? １ １ ２ 環(huán)型倒立擺系統(tǒng)數(shù)學模型的建立 ????????????????????????????? １ ２ ２ .１ 環(huán)型倒立擺的特點 ????????????????????????????????? １ ２ ２ .２ Lagrange方程的特點 ???????????? ???????????????????? １ ２ ２ .３ 狀態(tài)空間模型 ??????????????????????????????????? １ ３ ２ .４ 環(huán)型二級倒立擺系統(tǒng)數(shù)學模型的建立 ????????????????????????? １４ ３ 線性二次型最優(yōu)控制器（ LQR）的設計 ?????????????????????????? ２１ ３ .１ 線性二次型最優(yōu)控制理論 ?????????????????????????????? ２ １ ３ .１ .１ 二次型最優(yōu) 控制理論 ??????????????????????????????? ２ １ ３ .１ .２ 加權矩陣的選取 ????????????????????????????????? ２３ ３ .２ 系統(tǒng)的可控性與可觀測性 ?????????????????????????????? ２ ４ ３ .３ 環(huán)型二級倒立擺 LQR 調(diào)節(jié)器 的設計 ?????????????????????????? ２ ４ ３ .３ .１ 設計要求 ?????????????????????????????? ?????? ２ ５ ３ .３ .２ 理論分析 ????????????????????????????????? ??? ２ ５ ３ .３ .３ 實例分析 ??????????????????????????????????? ? ２ ６ ３ .３ .４ Matlab實現(xiàn) ?????????????????????????????????? ? ３０ ４ 結束語 ???????????????????????????????????????? ３ ３ 致謝 ?????????????????????????????????? ????????? ３ ４ 參考文獻 ????????????????????????????????????????? ３ ５ 附錄 ??????????????????????????????????????????? ３ ６ 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 4 1 概述 在現(xiàn)代科學技術的許多領域中，自動控制技術起著越來越重要的作用。所謂自動控制，是指在沒有人直接參與的情況下，利用外加的設備或裝置 (稱控制裝置或控制器 )，使機器、 設備或生產(chǎn)過程 (統(tǒng)稱被控對象 )的某個工作 狀態(tài)或參數(shù) (即被控量 )自動地按照預定的規(guī) 律運行。例如，數(shù)控車床按照預定程序自動地切削工件 ?；瘜W反應爐的溫度或壓力自動地維 持恒定 :雷達和計算機組成的導彈發(fā)射和制導系統(tǒng)，自動地將導彈引導到敵方目標 。無人駕駛飛機按照預定航跡自動升降和飛行 。人造衛(wèi)星準確地進入預定軌道運行并回收等，這一切 都是以高水平的自動控制技術為前提的。 自動控制系統(tǒng)的優(yōu)劣，將直接影響到產(chǎn)量、質量、成本、勞動條件和預期目標的完成。因此，自動控制愈來愈受到人們的重視，進而在控制理論和技術應用方面也獲得了飛速的發(fā)展。 自動控制系統(tǒng)有多種分類方法。例如 ，按控制方式可分為開環(huán)控制、反饋控制、復合控制等 。按元件類型可分為機械系統(tǒng)、電氣系統(tǒng)、機電系統(tǒng)、液壓系統(tǒng)、氣動系統(tǒng)、生物系統(tǒng) 等 :按系統(tǒng)功用可分為溫度控制系統(tǒng)、壓力控制系統(tǒng)、位置控制系統(tǒng)等 。按系統(tǒng)性能可分為線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)、連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)、定常系統(tǒng)和時變系統(tǒng)、確定性系統(tǒng)和不確定 性系統(tǒng)等 :按參據(jù)量變化規(guī)律又可分為恒值控制系統(tǒng)、隨動系統(tǒng)和程序控制系統(tǒng)等。 倒立擺裝置被公認為自動控制理論中的典型試驗設備，是控制理論教學和科研中不可多得的典型物理模型。通過對它的研究不僅可以解決控制中的理論問題，還能將控制 理論 設計的三個主要基礎學科 :力學、數(shù)學和電學 (包含計算機 )進行有機的綜合應用， 在多種控制理論與方法的研究和應用中，特別是工程實踐中，存在一種可行性的試驗問題，將其理論和方法得到有效的經(jīng)驗，倒立擺可為此提供一個從控制理論通往實踐的橋 梁。 倒立擺系統(tǒng)是一種嚴重非線性、多變量、強 耦合 和絕對不穩(wěn)定的系統(tǒng)，倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定與控制的研究在國外始于 60年代，我國則從 70年代中期開始研究。首先根據(jù)經(jīng)典控制理論與現(xiàn)代控制理論應用極點配置法，設計模擬控制器。國內(nèi)外專家學者先后控制了單倒立擺與二級倒立擺的穩(wěn)定。隨著徽機的廣泛應用，又陸 續(xù)實現(xiàn)了數(shù)控二級倒立擺的穩(wěn)定。此外，由 于智能控制理論的興起，相繼應用模糊理論與神經(jīng)網(wǎng)絡控制了二級倒立擺的穩(wěn)定。 近代機械控制系統(tǒng)中，如直升飛機、火箭發(fā)射、人造衛(wèi)星運行及機器人舉重物、做體操和行走機器人步行控制等等都存在有類似于倒 立 擺的穩(wěn)定控制問題 .倒立擺系統(tǒng)大概可以歸 納為如下幾類 :懸掛式倒立擺、平行式倒立擺和球平衡式倒立擺系統(tǒng)。倒立擺的級數(shù)可以是 一級、二級、三級乃至多級，倒 立 擺系統(tǒng)的運動軌道可以是水平的，還可以是傾斜的 (這對實 際機器人的步行穩(wěn)定控制研究更有意義 )。早在 60年代，人們就開始了對倒立擺系統(tǒng)控制的 研究。 1966年 Schaefer和 Cannon應用 BangBang控制理論，將一個曲軸穩(wěn)定于倒置位置。在 60年代后期，作為一個典型的不穩(wěn)定、嚴重非線性系統(tǒng)的例證，倒立擺系統(tǒng)的概念被提了 出來。人們習慣于用它來檢驗控制方法對不穩(wěn)定、非線性和快速系統(tǒng)的控制處理能力。因而 受到了普遍的重視。 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 5 當前國內(nèi)外控制理論發(fā)展概述 自動控制自從其產(chǎn)生以來，廣泛的應用在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通運輸和國防各個方面，凡是 控制性能要求較高的場合，都離不開自動控制?，F(xiàn)代化的機械設備、生產(chǎn)線、車間，甚至整 個工廠都是電氣化和自動化的。它們 由各種電動機、電器元件、半導體器件等設備，按一定 規(guī)律組成系統(tǒng)，對生產(chǎn)過程進行自動控制。自動控制是一門理論性很強的工程技術，我們把實現(xiàn)這種技術的理論叫做“自動理論”。 在國民經(jīng)濟各部門中，由于廣泛應用了自動控制技術，改善了勞動條件，提高了產(chǎn)品質量和勞動生產(chǎn)率。近幾十年來，隨著電子計算機技術的發(fā)展和應用，在宇宙航行、導彈制導以及核動力等高新技術領域中，自動控制更具有特別重要的作用。不僅如此，自動控制技術的應用范圍現(xiàn)己擴展到生物、醫(yī)學、環(huán)境、經(jīng)濟管理和其它許多社會生活領域中，自動控制已成為現(xiàn)代社會活動中不可缺少的 重要組成部分。 控制理論研究如何改進動態(tài)系統(tǒng)的性能以達到所需目標，這個廣義定義 包含了 人類活動的許多方面。控制理論試圖以定量方式描繪這些問題，并集中于尋求一些精確的數(shù)學描述方法?？刂评碚撚袃蓚€目標 :了解基本控制原理 :以數(shù)學表達它們，使它們最終能用以計算進入系統(tǒng) 的控制輸入，或用以設計自動控制系統(tǒng)。更進一步說，控制科學不僅用以處理單個動態(tài)系統(tǒng)，還用以處理在觀察輸出和系統(tǒng)本身帶有不確定性條件下的復雜動態(tài)系統(tǒng)。 自動控制理論是研究自動控制共同規(guī)律的技術科學。它的發(fā)展初期，是以反饋理論為基礎的自動調(diào)節(jié)原理，并主要用于工 業(yè)控制。第二次世界大戰(zhàn)期間，為了設計和制造飛機及船 用自動駕駛儀、火炮定位系統(tǒng)、雷達跟蹤系統(tǒng)以及其它基于反饋原理的軍用裝備，進一步促進并完善了自動控制理論的發(fā)展。到戰(zhàn)后，己形成完整的自動控制理論體系，這就是以傳遞函數(shù)為基礎的經(jīng)典控制理論，它主要研究單輸入一單輸出、線性定常系統(tǒng)的分析和設計問題。一般處理的系統(tǒng)是單變量的系統(tǒng)，數(shù)學模型簡單，基本分析和結合的方法是基于頻率法、根軌跡法、相平面法等，描述系統(tǒng)的數(shù)學模型是微分方程或傳遞函數(shù)。然而經(jīng)典控制理論對干 非線性時變系統(tǒng)卻難以奏效。 到了 50年代中期，由于空間技術的 發(fā)展，現(xiàn)代控制理論應運而生?，F(xiàn)代控制理論主要研究具有高性能、高精度的多變量變參數(shù)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題?，F(xiàn)代控制理論是基于系統(tǒng)內(nèi)部描述的狀態(tài)方程進行時域分析的狀態(tài)空間方法、最優(yōu)控制、最優(yōu)濾波、系統(tǒng)辯識和自適應控制等等?，F(xiàn)代控制理論運用狀態(tài)空間理論解決了多輸入多輸出問題，對象的模型采用內(nèi)部模型以解析運算為主要手段，實現(xiàn)某個或某幾個性能指標的最優(yōu)。所研究的對象可以為線性定常系統(tǒng)，也可以為非線性時