【正文】 系。要分析一下系統(tǒng)的特性，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。由于狀環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 10 態(tài) 空間方法可以很方便地處理初始條件，又可以適用于非線性系統(tǒng)、多輸入多輸出系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、隨機系統(tǒng)和離散系統(tǒng)，同時又可以很方便地用計算機求解，所以它很快就發(fā)展起來，得到廣泛的應用。 在現(xiàn)代控制理論中，系統(tǒng)是用一組狀態(tài)變量構成一階微分方程組來描述的，這組狀態(tài)變量能夠表達系統(tǒng)內部運動的全部動態(tài)過程，因而它能更深刻地刻劃系統(tǒng)的特征。而傳遞函數(shù)是從系統(tǒng)的外部觀察系統(tǒng)時得出的系統(tǒng)數(shù)學模型的一種描述，不涉及系統(tǒng)內部的動態(tài)過程，因而傳遞函數(shù)被稱為系統(tǒng)的外部描述模型。 9） 采用遺傳算法與神經(jīng)網(wǎng)絡相結合的方法，首先建立倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型，然后為其設計出神經(jīng)網(wǎng)絡控制器，再利用改進的遺傳算法訓練神經(jīng)網(wǎng)絡的權值，從而實現(xiàn)對倒立擺的控制，采用 GA學習的 NN控制器兼有 NN的廣泛映射能力和 GA快速收斂以及增強式學習等性能。 7） 模糊控制，主要是確定模糊規(guī)則，設計出模糊控制器實現(xiàn)對倒立擺的控制 。 5） 遺傳算法 ((Geic Algorithms GA)，高曉智在 Michine的倒立擺控制 Boxes方案的基礎上，利用 GA對每個 BOX中的控制作用進行了尋優(yōu)，結果表明 GA可以有效地解決倒立擺的平衡問題 。這種擬人控制不要求給出被控對象精確的數(shù)學模型，僅僅依據(jù)人的經(jīng)驗、感受和邏輯判斷，將人用自然語言表達的控制經(jīng)驗，通過語言原子和云模型轉換到語言控制規(guī)則器中，就能解決非線性問題和不確定性問題 。 2） 狀態(tài)反饋 ?H 控制，通過對倒立擺物理模型的分析，建立倒立擺的動力學模型， 然后使用狀態(tài)空間理論推導出狀態(tài)方程和輸出方程，應用狀態(tài)反饋 ?H 和 Kalman濾波相結合的方法，實現(xiàn)對倒立擺的控制 。例如基于神經(jīng)網(wǎng)絡中的 BP網(wǎng)絡、 RBF網(wǎng)絡、 Hopfield網(wǎng)絡、模擬退火算法、 遺傳算法等設計的模糊控制算法，大大減小了模糊控制器設計的復雜度。起初是單純的模糊控制，由于模糊控制的控制規(guī)則較多，導致相應控制器的參數(shù)太多而無法很好地選取。從倒立擺魯棒控制的文獻中可以看出，基于各種魯棒控制原理設計的控制器最終都是得到一組狀態(tài)反饋系數(shù)，這對控制器本身并沒有變化，只是給同樣的控制器賦予了不同的含義，并用不同的方式得到控制器的參數(shù)而已。其中基于數(shù)學模型進行仿真研究的有 :翁正新等利用魯棒 ?H 狀態(tài)反饋控制器對二級倒立擺和傾斜導軌上的倒立擺進行了控制；樓順天等利用時變不確定性關聯(lián)系統(tǒng)的魯棒自適應控制方法對互耦 雙倒立擺系統(tǒng)實現(xiàn)了控制；劉珊中等利用 ?H 狀態(tài)反饋和 Kalman濾波相結合的方法實現(xiàn)了二級倒立擺的控制。之后隨著一些控制理論的發(fā)展和完善，許多特殊的控制方法逐漸被應用到倒立擺系統(tǒng)上。1975年 Shozo Mori應用此方法和硬件狀態(tài)觀測器對懸 掛式倒立擺模型控制成功 。早期的倒立擺控制方法主要是傳統(tǒng)的控制方法，如 PD控制和基于線性模型的狀態(tài)反饋控制。另一方面是倒立擺的外形結構呈現(xiàn)了多樣化，不斷出現(xiàn)新型的倒立擺，如旋轉式倒立擺、環(huán)形倒立擺平面倒立擺等。 由此演繹，漸漸產(chǎn)生了二級、三級和多級倒立擺。一方面是傳統(tǒng)的小車式倒立擺的級數(shù)逐漸增加。 自從倒立擺的概念被首次正式提出以來，倒立擺的控制一直是控制領域及相關領域經(jīng)久不衰的研究課題。 倒立擺系統(tǒng)是一種非線性、多變量和絕對不穩(wěn)定的動態(tài)系統(tǒng)。不難理解，當今高速飛行器外形的選擇無不與其控制手段有關。它深刻地揭示了自然界一種基本的規(guī)律，即一個環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 8 自然不穩(wěn)定的被控對象，通過控制手段可使之具有良好的穩(wěn)定性。 倒立擺控制系統(tǒng)的 發(fā)展動向 倒立擺的運動與雜技頂桿表演類似，雜技頂桿表演是人們熟悉的演藝，不僅是其技藝的精湛。同年，張飛舟等采用相平面分析法并結合人的控制經(jīng)驗，實現(xiàn)了一、二、三軸倒立擺的擬人智能控制。在三軸倒立擺方面， Furuta和 Meier等分別利用帶函數(shù)觀測器和降階觀測器的 LQR方法設計了反饋控制器。 1999年，李巖等運用基于 PD控制的專家智能控制本實現(xiàn)了二級倒立擺的穩(wěn)定控制。 Yamakita等運用學習控制方法成功擺起了二軸倒立擺系統(tǒng)，而且在 1994年他們運用這相同的控制方法使倒立擺在四種平衡狀態(tài)中互相切換。 Zuren等在 1984年運用部分狀態(tài)和線性 函數(shù)觀測器結構，在模擬計算機上應用了同一算法， 1987年他們使用離散二次性能指標修改了這一控制器。但 Furuta等，證明了這種結論的錯誤性并在 1978年利用一個線性函數(shù)觀測器穩(wěn)定了同一系統(tǒng)。 1998年，王佳斌用 BP網(wǎng)絡控制倒立擺。 Wei等利用 bangbang非線性控制器擺起了倒立擺并穩(wěn)定在垂直向上方向。 Mori等設計了一個組合控制器，既可以擺起倒立擺，還可以維持它在垂直向上方向上的平衡。 1963年 Higdon和 Cannon提出了平行倒立擺的問題。同年，張葛祥等建立了三軸倒立擺的 數(shù)學模型，并分析了系統(tǒng)的可控制性和可觀測性，給出了智能控制算法的思路。隨后， Larbe把符號算法應用于兩軸倒立擺系統(tǒng)的開環(huán)線性化動態(tài)方程，并且計算了系統(tǒng)的特征方程和開環(huán)極點。在數(shù)學模型方面， Larbe得到了在二維坐標中的簡單多軸倒立擺系統(tǒng)的運動方程。環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 7 2021年，李洪興領導的模糊系統(tǒng)和模糊信息研究 中心利用變論域自適應模糊控制的思想在國際上首次實現(xiàn)了四軸倒立擺的仿真 。 2021年，劉妹琴等用進化 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡控制二軸倒立擺。 1996年，翁正新等，利用帶觀測器的 ?H 狀態(tài)反饋控制器對二軸倒立擺系統(tǒng)進行了仿真控制。 2021年，單波等利用基于神經(jīng)網(wǎng)絡的預測控制算法對倒立擺的控制進行了仿真。 1995年，任章等應用振蕩控制理論，通過在倒立擺支撐點的垂直方向上加入一個零均值的高頻振蕩信號，改善了倒立擺系統(tǒng)本身的穩(wěn)定性。 1989年， Anderson和 Grantham運用函數(shù)最小化和 Lyapunov穩(wěn)定方法成功產(chǎn)生了一個優(yōu)化反饋控制器。 2） 實驗方面 :調查引起計算機仿真結果和實時控制之間性能差異的物理不確定性?，F(xiàn)在 最有潛力的控制方法主要有基于模糊邏輯的模 糊控制系統(tǒng)，基于神經(jīng)網(wǎng)絡的神經(jīng)控制系統(tǒng)以 及基于知識的專家控制系統(tǒng)。我們認為，智能控制系統(tǒng)具有能夠處理高度非線性和復雜性的被控對象并對系統(tǒng)和環(huán)境的不確定性變化具有高度動態(tài)適應能力的自主系統(tǒng)，其本質是對動態(tài)的感知、 學習和適應能力。智能控制是人工智能，自動控制與計算機相結合的產(chǎn)物，利用人類智能實現(xiàn)控制目的。而隨著人類社會的進步，面對的被控對象日趨復雜，其非線性特性可能不符合小偏離線性化的條件，甚至難以建 立數(shù)學模型，致使自動控制理論面臨嚴峻的挑戰(zhàn)。這就是說，控制理論所依賴的工具 —— 數(shù)學，限制了其應用。自動控制理論對科技進步功不可沒堪稱二十世紀偉大科 技成就之一。 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 6 自動控制理論己經(jīng)過八十余年的歷程，具備了從經(jīng)典到現(xiàn)代嚴謹?shù)睦碚擉w系。所研究的對象可以為線性定常系統(tǒng)，也可以為非線性時變系統(tǒng)。現(xiàn)代控制理論是基于系統(tǒng)內部描述的狀態(tài)方程進行時域分析的狀態(tài)空間方法、最優(yōu)控制、最優(yōu)濾波、系統(tǒng)辯識和自適應控制等等。 到了 50年代中期，由于空間技術的 發(fā)展，現(xiàn)代控制理論應運而生。一般處理的系統(tǒng)是單變量的系統(tǒng)，數(shù)學模型簡單，基本分析和結合的方法是基于頻率法、根軌跡法、相平面法等，描述系統(tǒng)的數(shù)學模型是微分方程或傳遞函數(shù)。第二次世界大戰(zhàn)期間，為了設計和制造飛機及船 用自動駕駛儀、火炮定位系統(tǒng)、雷達跟蹤系統(tǒng)以及其它基于反饋原理的軍用裝備，進一步促進并完善了自動控制理論的發(fā)展。 自動控制理論是研究自動控制共同規(guī)律的技術科學。控制理論有兩個目標 :了解基本控制原理 :以數(shù)學表達它們，使它們最終能用以計算進入系統(tǒng) 的控制輸入，或用以設計自動控制系統(tǒng)。 控制理論研究如何改進動態(tài)系統(tǒng)的性能以達到所需目標，這個廣義定義 包含了 人類活動的許多方面。近幾十年來，隨著電子計算機技術的發(fā)展和應用，在宇宙航行、導彈制導以及核動力等高新技術領域中，自動控制更具有特別重要的作用。自動控制是一門理論性很強的工程技術，我們把實現(xiàn)這種技術的理論叫做“自動理論”?，F(xiàn)代化的機械設備、生產(chǎn)線、車間，甚至整 個工廠都是電氣化和自動化的。因而 受到了普遍的重視。在 60年代后期，作為一個典型的不穩(wěn)定、嚴重非線性系統(tǒng)的例證，倒立擺系統(tǒng)的概念被提了 出來。早在 60年代，人們就開始了對倒立擺系統(tǒng)控制的 研究。 近代機械控制系統(tǒng)中，如直升飛機、火箭發(fā)射、人造衛(wèi)星運行及機器人舉重物、做體操和行走機器人步行控制等等都存在有類似于倒 立 擺的穩(wěn)定控制問題 .倒立擺系統(tǒng)大概可以歸 納為如下幾類 :懸掛式倒立擺、平行式倒立擺和球平衡式倒立擺系統(tǒng)。隨著徽機的廣泛應用，又陸 續(xù)實現(xiàn)了數(shù)控二級倒立擺的穩(wěn)定。首先根據(jù)經(jīng)典控制理論與現(xiàn)代控制理論應用極點配置法，設計模擬控制器。通過對它的研究不僅可以解決控制中的理論問題，還能將控制 理論 設計的三個主要基礎學科 :力學、數(shù)學和電學 (包含計算機 )進行有機的綜合應用， 在多種控制理論與方法的研究和應用中，特別是工程實踐中，存在一種可行性的試驗問題，將其理論和方法得到有效的經(jīng)驗，倒立擺可為此提供一個從控制理論通往實踐的橋 梁。按系統(tǒng)性能可分為線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)、連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)、定常系統(tǒng)和時變系統(tǒng)、確定性系統(tǒng)和不確定 性系統(tǒng)等 :按參據(jù)量變化規(guī)律又可分為恒值控制系統(tǒng)、隨動系統(tǒng)和程序控制系統(tǒng)等。例如 ，按控制方式可分為開環(huán)控制、反饋控制、復合控制等 。因此，自動控制愈來愈受到人們的重視，進而在控制理論和技術應用方面也獲得了飛速的發(fā)展。人造衛(wèi)星準確地進入預定軌道運行并回收等，這一切 都是以高水平的自動控制技術為前提的?；瘜W反應爐的溫度或壓力自動地維 持恒定 :雷達和計算機組成的導彈發(fā)射和制導系統(tǒng)，自動地將導彈引導到敵方目標 。所謂自動控制，是指在沒有人直接參與的情況下，利用外加的設備或裝置 (稱控制裝置或控制器 )，使機器、 設備或生產(chǎn)過程 (統(tǒng)稱被控對象 )的某個工作 狀態(tài)或參數(shù) (即被控量 )自動地按照預定的規(guī) 律運行。 inverted pendulum。 關鍵 詞 : 倒立擺； ＬＱＲ ；最優(yōu)控制；狀態(tài)方程 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 2 Abstract The inverted pendulum is an ideal equipment, which enables the possibility to validate the validity and the feasibility of some control theories, The inverted pendulum is a natural unstable equipment and can effectively reflects many matters in the control process. The model of the inverted pendulum is: as an equipment, low cost, simple machinery, easy to perform all kinds of controls in simulation and digital。作 為被控對象，又相當復雜，是高階次、不穩(wěn)定、非線性、強 耦合 系統(tǒng)，只有采取行之有效的控制方法方能使之穩(wěn)定。倒立擺本身是一個自然不穩(wěn)定體，在控制過程中能有效地反映控制中的許多問題。 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 作 者 ： 系 別 ： 專 業(yè) ： 學 號 ： 指導教師 ： 日期：二零零六年五月二十日 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 1 摘要 控制理論發(fā)展過程中，某一理論的正確性以及實際應用中可行性，往往需要一個按其理論所設計的控制器去控制一個典型對象來驗證其控制策略的效果。倒立擺就是這樣一個較為理想的實驗裝置。倒立擺的典型性在于 :作為一個裝置，其成本低廉，結構簡單，便于模擬，數(shù)字實現(xiàn)不同方式控制 。 本文 在環(huán)型二級倒立擺系統(tǒng)進行數(shù)學建模的基礎上得出系統(tǒng)的狀態(tài)方程 , 應用線性二次型最優(yōu)控制策略 , 對環(huán)型二級倒立擺進行ＬＱＲ控制器的設計與ＭＡＴＬＡＢ仿真實驗 ， 并給出了相應的實驗結果。 as a controlled object, quite plex, high orders, instability, nonlinearity, strong coupling system. We can keep it stable through some control method. Inverted pendulum system is a plicated , nonlinear , unstable system of high order. In the paper, it is discussed how to model the system of double inverted pendulums by using dynamics equation and then to t transform into a control problem of linearitied system. The optimized cont rolling policy