【正文】 VVVVV mmmmm ?????? ????? 至此得到拉格朗日算子 L : ? ?? ?22221213212122122222221212121222222222221211c os21213s i n2c os2216161????????????glmlmlmlmllllmlmlmVTL???????????????????? 由于在廣義坐標(biāo) 2? 上無(wú)外力作用，有以下等式成立： 022???????????? ?? ?? LLdtd ? (1) 033???????????? ?? ?? LLdtd ? (2) 展開(kāi) (1)、 (2)式，得到 (3)、 (4)式如下： 0s i n2s i n2s i n24242342252232221215222533232223121312122222????????????????????glmglmglmllmlmllmlmllmllmlm ?????????????? (3) 0s i n234 333232332331313 ????? ???? glmllmlmllm ?????? (4) 將 (3)式對(duì) 2?? 求解代數(shù)方程，得到下式： 2021 年 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 19 / 38 ? ?25323325321153224342322221lmmmgmgmmmlmmm?????? ???????????? ??????????? （ 5） 將 (4)式對(duì) 3?? 求解代數(shù)方程，得到下式： ? ? ? ? ? ??????? ??????????2533325325321123335444512216632119mmmlmmmmmmglmlm ???? ???? （ 6） 表示成以下形式： ? ?32132112 ,, ??????? ????? f? （ 7） ? ?32132123 ,, ??????? ????? f? （ 8） 取平衡位置時(shí)各變量的初值為零， ? ? ? ?0,0,0,0,0,0,, 321321 ??????? ??? 將 (5)式在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并線性化，令 00,0,0,0,0,0,01111 1321321 ???? ??????? ???????? ?????fK ? ?25325320,0,0,0,0,0,02112434221321321 lmmmgmmmfK?????? ??????????????? ???????? ????? 253230,0,0,0,0,0,03113434321321321 lmmmgmfK?????? ??????? ??????? ???????? ????? 00,0,0,0,0,0,01114 1321321 ???? ??????? ???????? ??????fK 00,0,0,0,0,0,02115 1321321 ???? ??????? ???????? ??????fK 00,0,0,0,0,0,03116 1321321 ???? ??????? ???????? ??????fK 姓名：論文題目 2021 年 20 / 38 ?????? ???????? ?????? ???????53215320,0,0,0,0,0,011174342211321321 mmmlmmmfK ???????? ??????? 帶入 (5)式，得到線性化之后的公式： 1173132122 ???? ???? KKK ??? （ 9） 將 (6)式在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并線性化，令 00,0,0,0,0,0,01221 1321321 ???? ??????? ???????? ?????fK ? ??????? ????????????????25335320,0,0,0,0,0,02222354426631321321 mmmlgmmmfK???????? ????? ? ??????? ????????????????25335320,0,0,0,0,0,0322335444122151321321 mmmlgmmmfK???????? ????? 00,0,0,0,0,0,01224 1321321 ???? ??????? ???????? ??????fK 00,0,0,0,0,0,02225 1321321 ???? ??????? ???????? ??????fK 00,0,0,0,0,0,03226 1321321 ???? ??????? ???????? ??????fK ? ??????? ???????????????25331320,0,0,0,0,0,01227354449111321321 mmmllmmfK???????? ??????? 帶入 (6)式，得到線性化之后的公式： 1273232223 ???? ???? KKK ??? （ 10） 現(xiàn)在得到了一個(gè)線性微分方程，我們采用角加速度作為輸入，因此還需加上一個(gè)方程 1???u （ 11） 取狀態(tài)變量如下： 11 ??x 2021 年 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 21 / 38 22 ??x 33 ??x 14 ???x 25 ???x 36 ???x 由 (9)， (10)， (11)式得到狀態(tài)空間方程如下： uKKxxxxxxKKKKxxxxxx??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????271765432123221312654321100000000000000000100000010000001000?????? uxxxxxxy?????????????????????????????????????????????????????000000100000010000001654321321??? 線性二次型最優(yōu)控制器（ LQR）的設(shè)計(jì) 對(duì)于線性系統(tǒng)， 若取狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分作為性能指標(biāo)函數(shù)時(shí)， 這種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)化問(wèn)題稱為線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn) 題， 簡(jiǎn)稱線性二次型問(wèn)題。它可以把一些相互矛盾的要求統(tǒng)一在一個(gè)性能指標(biāo)中，求得系統(tǒng)的總體最優(yōu)性，它的最優(yōu)解可以寫(xiě)成統(tǒng)一的解析表達(dá)式，且可導(dǎo)致一個(gè)簡(jiǎn)單的狀態(tài)線性反饋控制律，構(gòu)成閉環(huán)控制，其計(jì)算和工程實(shí)現(xiàn)都比較容易。 線性最優(yōu)控制問(wèn)題包括線性調(diào)節(jié)器和線性伺服系統(tǒng)兩類問(wèn)題。調(diào)節(jié)器問(wèn)題是針對(duì)系統(tǒng)未處于平衡狀態(tài) (通常是狀態(tài)空間原點(diǎn) )或受脈沖型擾動(dòng)時(shí)，研究利用反饋方法，施以控制，使它回到平衡狀態(tài)。伺服問(wèn)題是研究利用反饋方法， 對(duì)受控系統(tǒng)施以控制，使它的輸出跟蹤某一給定的輸入。 線性二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)是基于狀態(tài)空間技術(shù)來(lái) 設(shè)計(jì)一個(gè)優(yōu)化的動(dòng)態(tài)控制器。系統(tǒng)模型是用空間形式給出的線性系統(tǒng)，其目標(biāo)函數(shù)是對(duì)象狀態(tài)和控制輸入的二次型。二次型問(wèn)題就是在線性姓名：論文題目 2021 年 22 / 38 系統(tǒng)約束條件下選擇控制輸入使二次型目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小。 線性二次型最優(yōu)控制一般包括兩個(gè)方面的問(wèn)題：線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題（ LQ 問(wèn)題），具有狀態(tài)反饋的線性最優(yōu)控制系統(tǒng)；線性二次型 Gauss最優(yōu)控制問(wèn)題，一般針對(duì)具有系統(tǒng)噪聲和量測(cè)噪聲的系統(tǒng)，用卡爾曼濾波器觀測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)。 注：倒立擺擺桿在擺到與垂直方向夾角 ? 很小， 即 cos? 近似為 1， sin? 近似等于 ? 的時(shí)候可以看成是線性系統(tǒng)，此時(shí)可以運(yùn)用 LQR算法來(lái)控制擺桿的穩(wěn)定性。 應(yīng)用經(jīng)典控制理論設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)，能夠解決很多簡(jiǎn)單、確定系統(tǒng)的實(shí)際設(shè)計(jì)問(wèn)題。但是對(duì)于諸多新型而復(fù)雜的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，例如多輸 入多輸出系統(tǒng)與階次較高的系統(tǒng)，往往得不到滿意的結(jié)果。這時(shí)就需要在狀態(tài)空間模型下建立最優(yōu)控制策略。 最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的核心。所謂最優(yōu)控制，就是在一定條件下，在完成所要求的控制任務(wù)時(shí)，使系統(tǒng)的某種性能指標(biāo)具有最優(yōu)值。根據(jù)系統(tǒng)不同的用途，可以提出各種不同的性能指標(biāo)。最優(yōu)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，就是選擇最優(yōu)控制，以使某一種性能指標(biāo)為最小。 線性二次型最優(yōu)控制理論又細(xì)分為二部分： a)二次型最優(yōu)控制理論 設(shè)給定線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 : ? ? ? ? ? ?? ? ? ?tCXtY tBUtAXtX ? ??? 式中： X(t)－狀態(tài)向量，是 n l矩陣 。 U(t)－控制向量，是 :n l矩陣 。 Y(r)－輸出向量，是 l l矩陣 。 A－系統(tǒng)矩陣，是 n n矩陣 。 B－控制矩陣，是 n r矩陣 。 C－輸出矩陣，是 l n矩陣 。 若用表示系統(tǒng)的期望輸出，則從系統(tǒng)的輸出端定義 : ? ? ? ? ? ?tytyte r ?? 為系統(tǒng)的誤差向量，是 1 1矩陣。求取最優(yōu)控制，使基于誤差向量 e構(gòu)成的指標(biāo)函數(shù) : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?dttUtRtUQetetSeteJ TTffT ? ??? 102121 取極小值，其中 S為 1 1對(duì)稱半正定矩陣， Q為 l l對(duì)稱半正定矩陣， R為 r r對(duì)稱半正定矩陣。它們是用來(lái)權(quán)衡向量 e(t)及控制向量 U(t)在指標(biāo)函數(shù) J中重要程度的加權(quán)矩陣。其中各項(xiàng)所表示的物理意義簡(jiǎn)述如下 : (l).被積函數(shù)中的第一項(xiàng) ?? ??tQeteT 是在控制過(guò)程中由于誤差的存在而出現(xiàn)的代價(jià)函數(shù)項(xiàng)。2021 年 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 23 / 38 由于加權(quán)矩陣 Q是對(duì)稱半正定的，故只要誤差存在，該代價(jià)函數(shù)總為非負(fù)。它說(shuō)明，當(dāng) =0時(shí)，代價(jià)函數(shù)為零；而誤差越 大，則因此付出的代價(jià)也就越大。如誤差為標(biāo)量函數(shù) e(t)，則?? ??tQeteT 項(xiàng)變成 ??te2 。于是，上述代價(jià)函數(shù)的積分 ???10 221 dtte 便是在古典控制理論中熟悉的用以評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的誤差平方積分。 (2).被積函數(shù)中的第二項(xiàng) ? ? ? ?tRUtUT 是用來(lái)衡量控制作用強(qiáng)弱的代價(jià)函數(shù)項(xiàng)。由于加權(quán)矩陣R 是對(duì)稱正定，故只要有控制 ??tU 存在，該代價(jià)函數(shù)總是正的，而且控 制越大，則付出的代價(jià) ? ? ? ?tRUtUT 也越大。 注意，加權(quán)矩陣 Q和 R的選取是立足提高控制性能與降低控制能量消耗的折衷考慮上的。