【文章內(nèi)容簡介】 真和實物實現(xiàn) 第二章 系統(tǒng)設計的流程 數(shù)學建模 數(shù)學模型是利用數(shù)學結構來反映系統(tǒng)內(nèi)部之間、內(nèi)部與外部某些因素之間的精確的定量的表示。它是分析、設計、預報和控制一個系統(tǒng)的基礎，所以要對一個系統(tǒng)進行研究，首先要建立它的數(shù)學模型。 建立數(shù)學模型有兩種方法 :一種是從基本物理定律，即利用各個專門學科領域提出來的物質(zhì)和能量的守恒性和連續(xù)性原理，以及系統(tǒng)的結構數(shù)據(jù)推導出模型。這種方法得出的數(shù)學模型稱為機理模型或解 析模型，這種建立模型的方法稱為解析法。另一種是從系統(tǒng)運行和實驗數(shù)據(jù)建立系統(tǒng)的模型 (模型結構和參數(shù) )，這種方法稱為系統(tǒng)辯識。倒立擺的形狀較為規(guī)則，而且是一個絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)，無法通過測量頻率特性方法獲取其數(shù)學模型 ,故適合用數(shù)學工具進行理論推導。 建立倒立擺系統(tǒng)的模型時，一般采用牛頓運動規(guī)律，結果要解算大量的微分方程組，而且考慮到質(zhì)點組受到的約束條件，建模問題將更加復雜，為此本文采用分析力學方法中的姓名：論文題目 2021 年 14 / 38 Lagrange方程推導倒立擺的系統(tǒng)模型。 Lagrange 方程 拉格朗日提出了用能量的方法推導物 理系統(tǒng)的數(shù)學模型，引入了廣義坐標。 廣義坐標： 系統(tǒng)的廣義坐標是描述系統(tǒng)運動必需的一組獨立坐標，廣義坐標數(shù)等同于系統(tǒng)自由度數(shù)。如果系統(tǒng)的運動用 n維廣義坐標 q1,q2,? qn來表示，我們可以把這 n維廣義坐標看成是 n維空間的 n位坐標系中的坐標。對于任一系統(tǒng)可由 n維空間中的一點來表征。系統(tǒng)在 n維空間中運動形成的若干系統(tǒng)點連成一條曲線，此曲線表示系統(tǒng)點的軌跡。 拉格朗日方程： () 式中， L —— 拉格朗日算子， q —— 系統(tǒng)的廣義坐標 ， T —— 系統(tǒng)的動能， V —— 系統(tǒng)的勢能。 拉格朗日方程由廣義坐標 iq 和 L表示為： () 其中 ni ?3,2,1? ， if 為系統(tǒng)沿該廣義坐標方向上的外力。 Lagrange方程有如下特點： 1:它是以廣義坐標表達的任意完整系統(tǒng)的運動方程式，方程式的數(shù)目和系統(tǒng)的自由度是一致的。 2:理想約束反力不出現(xiàn)在方程組中，因此在建立運動方程式時，只需分析已知的主動力，而不必分析未知的約束反力。 3:Lagrange方程是以能量觀點建立起來的運動方程，為了列出系統(tǒng)的運動方程，只需要從兩個方面去分析，一個是表征系統(tǒng)運動的動力學量－系統(tǒng)的動能，另一個是表征主動力作用的動力學量－廣義力。 因此用 Lagrange方程來求解系統(tǒng)的動力學方程可以大大簡化建模過程。 狀態(tài)空間模 型 現(xiàn)代控制理論是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎上發(fā)展起來的。因此，確定控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，即建立在狀態(tài)空間中的數(shù)學模型是一個基本問題，也是現(xiàn)代控制理論中分析和綜合控制系統(tǒng)的前提的基礎上，其重要性就像經(jīng)典控制理論中確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一樣。 現(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)空間法，簡單地說就是將描述系統(tǒng)運動的高階微分方程改寫成一階聯(lián)立微分方程組的形式，或者將系統(tǒng)的運動直接用一階微分方程組表示，寫成矩陣形式，這樣2021 年 中國地質(zhì)大學學士學位論文 15 / 38 就得到了狀態(tài)空間模型。 連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ?? ?? tDutCxty tButAxtx 式中， ??tu 是 1?r 的系統(tǒng)控制輸入 （ r個） 向量， ??tx 是 1?n 的系統(tǒng)狀態(tài)變量， ??ty 則是 1?m 的系統(tǒng)輸出向量。 A是 nn? 的系統(tǒng)矩陣（狀態(tài)矩陣），有控制對象的參數(shù)決定； B為 rn?的控制矩陣（輸入矩陣）； C為 nm? 的輸出矩陣（觀測矩陣）； D為 rm? 的輸入輸出矩陣（直接傳輸矩陣）。 離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ?? ??? kDukCxky kBukAxkx 1 式中， yxu , 輸入向量、狀態(tài)向量、輸出向量， K 表示采樣點。 A 為狀態(tài)矩陣，由控制對象的參數(shù)決定； B 為控制矩陣； C 為輸出矩陣； D 為直接傳輸矩陣。 在 MATLAB中，系統(tǒng)可用 [ DCBA , ]表示，用函數(shù) ss （）來建立控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，或者將傳遞函數(shù)模型與零極點增益模型轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)空間 模型 。 二級倒立擺系統(tǒng) 的 數(shù)學模型 是一個理想模型，需要滿足下面的條件 : 1)每一級 擺桿都是剛體 . 2)在實驗過程中同步帶長度保持不變 . 3)驅(qū)動力與放大器輸入成正比并無延遲的直接施加于 旋轉(zhuǎn)平臺 . 4)實驗過程中的庫侖摩擦、動摩擦等所有摩擦力足夠小，在建模過程中可忽略不計 . 在忽略了空氣流動，各種摩擦之后，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成兩個勻質(zhì)桿和質(zhì)量塊組成的系統(tǒng)，如圖 : 姓名：論文題目 2021 年 16 / 38 圖 環(huán)形二級串聯(lián)倒立擺數(shù)學模型 1m ：水平桿的質(zhì)量 2m ：擺桿 1 的質(zhì)量 3m ：擺桿 2 的質(zhì)量 4m ：質(zhì)量塊 1 的質(zhì)量 5m ：質(zhì)量塊 2 的質(zhì)量 1l ：水平桿長度 2l ：擺桿 1 轉(zhuǎn)動中心到桿質(zhì)心的距離 0. 08m 3l ：擺桿 2 轉(zhuǎn)動中心到桿質(zhì)心的距離 0. 1975m 1? ：連桿與水平 x 軸的夾角（圖示順時針為正） 2? ：擺桿 1與垂直向上方向的夾角（圖示順時針為正） 3? ：擺桿 2與垂直向上方向的夾角（圖示順時針為正） 利用拉格朗日方程推導環(huán)形倒立擺動力學方程 拉格朗日方程為： ? ? ? ? ? ?qqVqqTqqL ??? , ?? 其中， L 為拉格朗日算子， q 為系統(tǒng)的廣義坐標， T 為系統(tǒng)的動能， V 為系統(tǒng)的勢能。 拉格朗日方程由廣義坐標 iq 和 L 表示為： iii fqLqLdtd ??????? 其中， ni ?3,2,1? ， if 為系統(tǒng)沿該廣義坐標方向上的外力，在本系統(tǒng)中，設系統(tǒng)的兩 個廣義坐標分別是 1? , 2? , 3? 。 首先計算系統(tǒng)的動能： 54321 mmmmm TTTTTT ????? 其中連桿動能， 2mT 為擺桿 1 動能， 3mT 為擺桿 2 動能， 4mT 為質(zhì)量塊 1 動能， 5mT2021 年 中國地質(zhì)大學學士學位論文 17 / 38 為質(zhì)量塊 2 動能。 21211212112111 61312121 ??? ?? lmlmJT m ????????? ? ? ? ?? ?? ? ? ? 212122122222221212121222222222221212222222211222222222213s i n2c o s221613s i n221s i n21c o s2121???????????????????????lmlmllllmlmlmlmdtlldmdtldmJT m???????????????????? ?????????? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? 21213323223232222323332223233322211323233212132332232332232332211323333s i ns i n4s i ns i n421s i ns i n221c o sc o s221613s i ns i n221c o sc o s221s i ns i n22121????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????? ????lmllllmllmlllmlmlmllmdtlldmdtllldmwJTm ? ?? ? ? ?? ? 2121321232322323222233232322323222233131221212121323233321s i ns i n4s i ns i n461c o s44c o s2c o s42161????????????????????????????????lmllllmlllllllllmlmTm???????????????????? ? ? 2121421144 2121 ?? ?lmdtldmT m ???????? ? ? ? ?? ?2212122222121522252221155c o s4421c o s221s i n221???????????? llllmdtldmdtlldmTm???????????????? ?? 可以得到系統(tǒng)動能： 姓名：論文題目 2021 年 18 / 38 ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?2212122222121521214212132123232232322223323232232322223313122121212132323321212212222222121212122222222222121154321c o s44212121s i ns i n4s i ns i n461c o s44c o s2c o s42161213s i n2c o s2216161????????????????????????????????????????????????????????????llllmlmlmllllmlllllllllmlmlmlmllllmlmlmTTTTTTmmmmm???????????????????????????? 系統(tǒng)的勢能為：（以水平桿所在的位置為零能位置） ? ? 22533223222 54321 c os20c osc os2c os0 ???? glmllgmglm V