【文章內(nèi)容簡介】 偏離角度范圍。 直線一級倒立擺系統(tǒng)其中：M是滑塊質(zhì)量，m是擺桿質(zhì)量。x是滑塊位置 直線一級倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 分析滑塊水平方向所受的合力，可以得到以下方程： （）設(shè)擺桿受到與垂直方向夾角為的干擾力Fg，可分解為水平方向、垂直方向的干擾力，所產(chǎn)生的力矩可以等效為在擺桿頂端的水平干擾力Fs、垂直干擾力Fh產(chǎn)生的力矩。 （）對擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式： （）即 （）對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可得到下面方程： （）力矩平衡方程如下： （）帶入P和N，得到方程：（）設(shè)（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角，單位是弧度），帶入上式。假設(shè)，則可以進行近似處理：由于： 方程化為： （）令：，則化為： （）帶入之前給出的實際數(shù)據(jù)，微分方程如下： （）忽略，系統(tǒng)的微分方程如下： （） 忽略干擾力后，直線一級倒立擺系統(tǒng)是單輸入二輸出的四階系統(tǒng)，考慮干擾力后，直線一級倒立擺系統(tǒng)是二輸入二輸出的四階系統(tǒng)。其內(nèi)部的 4 個狀態(tài)量分別是滑塊的位移x、滑塊的速度、擺桿的角度θ、擺桿的角速度。系統(tǒng)輸出的觀測量為滑塊的位移x、擺桿的角度θ。其控制量為滑塊的加速度，是直線一級倒立擺運動中各種干擾因素的綜合項，可以等效為干擾力考慮。 旋轉(zhuǎn)一級倒立擺的系統(tǒng)建模 旋轉(zhuǎn)倒立擺運動分析 在建立倒立擺系統(tǒng)的模型時，傳統(tǒng)的方法一般采用牛頓運動定律求解。但是當質(zhì)點組存在約束情況時，還需要確定各質(zhì)點間的相互作用力、位移、速度、加速度關(guān)系，聯(lián)立求解這些方程則更困難。因此在旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)建模中，是采用分析力學(xué)中的拉格朗日方程推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)倒立擺的系統(tǒng)模型。 ，在忽略各種阻力和摩擦的條件下，旋臂和擺桿可以抽象為兩個勻質(zhì)桿，其中旋臂長度為r，相對其水平方向零位的角位移為；擺桿質(zhì)心與鉸鏈距離為L，相對其豎直方向零位的角位移為。為旋臂角速度，為擺桿角速度。 旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)模型擺桿質(zhì)心的速度由水平和豎直兩個分量構(gòu)成： （212）其中，表示擺桿質(zhì)心的水平速度分量，表示擺桿質(zhì)心的豎直速度分量。旋臂和擺桿一起運動，其沿水平方向x的線速度為： （213）擺桿質(zhì)心在x方向和y方向的速度分量為： （214）方程組（214）給出了完整的擺桿速度描述，應(yīng)用拉格朗日方程可推導(dǎo)出系統(tǒng)的動態(tài)方程。 旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 以懸臂所在水平面為零勢能面，則系統(tǒng)的勢能V即為擺桿的重力勢能，因此系統(tǒng)勢能V可以表示為：。 系統(tǒng)的動能T由四部分因素構(gòu)成，包括：旋臂在水平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動，擺桿在豎直平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動，擺桿質(zhì)心沿x軸方向的速度，沿y方向的速度，對應(yīng)的動能分量用T1，T2，T3，T4表示。 因此系統(tǒng)動能T為四者之和，T=T1+T2+T3+T4，其中,。設(shè)R為擺桿長度，由于L為R的一半，R=2L。因此，擺桿對其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為。帶入動能等式中，可推導(dǎo)出拉格朗日函數(shù)H=TV： （215） 應(yīng)用拉格朗日方程，其中H為拉格朗日算子，q為系統(tǒng)廣義坐標，T為系統(tǒng)動能，V為系統(tǒng)勢能。拉格朗日方程由廣義坐標qi和H表示為：。I=1,2，q=，θ為旋臂角位移，α為擺桿角位移，Qi為系統(tǒng)沿廣義坐標方向上的外力，于是的方程組： （216） 其中為輸出轉(zhuǎn)矩。因已知式（215），所以可計算出（216）中的各分量。 另外易知。之后將四個分量帶入方程組（216），可得到旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)的非線性方程：（217）將輸出轉(zhuǎn)矩帶入，其中令，可以列出一個關(guān)于的方程組（218）然后將帶入，進一步化簡，然后將帶入（218），最后再化簡，并且為方便起見，令，并將x1,x2,y1,y2,替換為，則，最終得到旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)的非線性狀態(tài)方程：+y=[1 0 1 0] ]T (219) 考慮旋轉(zhuǎn)倒立擺的初始位置再平衡點附近的情況，假設(shè)此時α和θ同1rad相比，遠遠小于1rad，則，將他們帶入（219），于是該方程組可局部線性化為：+y=[1 0 1 0] ]T （220） 則（220）即為最終得到的旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)的線性化狀態(tài)方程。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析任何一個系統(tǒng)最為重要的特性莫過于它的穩(wěn)定性。因為一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無法完成預(yù)期控制任務(wù)的。因此如何判別一個系統(tǒng)是否穩(wěn)定以及怎樣改善其穩(wěn)定性乃是系統(tǒng)分析與設(shè)計的一個首要問題。系統(tǒng)的穩(wěn)定性，表示為系統(tǒng)在遭受外界擾動偏離原來的平衡狀態(tài)，而在擾動消失后，系統(tǒng)自身仍有能力恢復(fù)到原來平衡狀態(tài)的一種特性。 在經(jīng)典控制理論中，對于單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)，應(yīng)用勞斯（Routh）判據(jù)和胡維茨（Hurwitz）判據(jù)等代數(shù)方法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，非常方便有效。至于頻域中的奈奎斯特（）判據(jù)則是更為通用的方法，它不僅用于判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，而且還能指明改善系統(tǒng)穩(wěn)定性的方向。 本章小結(jié)本章主要綜述了數(shù)學(xué)建模的基本概念、基本方法等，并對直線與旋轉(zhuǎn)一級倒立擺進行了系統(tǒng)建模，進行了運動分析和數(shù)學(xué)模型建立。 第三章 單級倒立擺的控制方法 系統(tǒng)概述根據(jù)單級倒立擺系統(tǒng)的系統(tǒng)建模，建立了單級倒立擺系統(tǒng)的系統(tǒng)模型框圖。 單級倒立擺系統(tǒng)框圖 該系統(tǒng)主要分為控制器和倒立擺兩大部分。該系統(tǒng)通過輸入一個信號作為系統(tǒng)的初始狀態(tài)，再通過選定的控制器經(jīng)由狀態(tài)反饋來控制倒立擺，使擺桿與豎直方向呈0176。，系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)并保持。因此，如何設(shè)計一個有效的控制器使系統(tǒng)保持穩(wěn)定狀態(tài)是本論文研究的重中之重。 控制方法概述 線性系統(tǒng)理論控制方法單級倒立擺系統(tǒng)是一種非線性的不穩(wěn)定系統(tǒng)，將它的非線性模型進行近似線性化處理，獲得系統(tǒng)在平衡點附近的線性化模型，再利用各種線性控制方法得到期望的控制器。在線性控制方法中，PID控制、狀態(tài)反饋控制、LQR控制算法等都是較為典型的控制方法。a). PID控制將偏差的比例P( Proportional)、積分I( Integral)、微分D( Differential)通過線性組合構(gòu)成控制量，對被控對象進行控制，稱為PID 控制。這是在工業(yè)控制系統(tǒng)中應(yīng)用最為廣泛的一種控制規(guī)律， 實際運行經(jīng)驗和理論分析證明該控制規(guī)律對于眾多被控對象，通過合理地調(diào)節(jié)PID控制器的參數(shù)，都能取得滿意的效果。對于單級倒立擺控制的早期一般按常規(guī)PID理論進行控制：通過對單級倒立擺物理模型的分析，建立單級倒立擺的動力學(xué)模型，然后利用工程數(shù)學(xué)方法將模型轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)的形式。b). 狀態(tài)反饋控制通過對倒立擺系統(tǒng)物理模型的分析，建立系統(tǒng)的動力學(xué)模型，然后使用狀態(tài)空間理論推導(dǎo)出狀態(tài)方程和輸出方程，應(yīng)用狀態(tài)反饋，實現(xiàn)對單級倒立擺的控制。c). LQR控制倒立擺系統(tǒng)是非線性、強藕合、多變量和自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)。線性二次型最優(yōu)控制（LinearQuadraticRegulator—LQR）問題在現(xiàn)代控制理論中占有非常重要的位置。由于線性二次型（LQ）性能指標易于分析、處理和計算，而且通過線性二次型最優(yōu)設(shè)計方法得到的控制系統(tǒng)具有較好的魯棒性與動態(tài)特性等優(yōu)點，線性二次型在控制界得到普遍重視。 智能控制理論 智能控制（intelligent controls）是在無人干預(yù)的情況下能自主地驅(qū)動智能機器實現(xiàn)控制目標的自動控制技術(shù)。它是以控制理論、計算機科學(xué)、人工智能、運籌學(xué)等學(xué)科為基礎(chǔ)，擴展了相關(guān)的理論和技術(shù)。它源自于實踐經(jīng)驗，不需要精確的數(shù)學(xué)模型，是目前應(yīng)用較為廣泛的控制方法。其中應(yīng)用較多的有模糊邏輯、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、專家系統(tǒng)、遺傳算法等理論和自適應(yīng)控制、自組織控制、自學(xué)習(xí)控制等技術(shù)。 在本設(shè)計中基于研究對象為單級倒立擺，本身的結(jié)構(gòu)較之于其它二級乃至多級倒立擺的結(jié)構(gòu)更為簡單。因此，本文就建立單級倒立擺的數(shù)學(xué)模型，接著對數(shù)學(xué)模型進行線性化，然后用線性理論控制方法來對單級倒立擺進行控制。線性控制方法是建立在系統(tǒng)的線性模型基礎(chǔ)上，對于單級倒立擺系統(tǒng)，由于其線性化后誤差較小且模型簡單，可以解決常規(guī)倒立擺的穩(wěn)定控制問題。本次設(shè)計將會采用PID控制，狀態(tài)反饋以及LQR三種控制方法。 PID控制器 PID控制原理 PID 控制器是一種線性控制器，它根據(jù)給定值r(t)與實際輸出值c(t)構(gòu)成控制偏差e(t)。將偏差的比例 P、積分 I 和微分 D 通過線性組合構(gòu)成控制量，對被控對象進行控制，故稱 PID 控制器。直線一級倒立擺系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： （）其控制規(guī)律為： （） 寫成傳遞函數(shù)為： （）式中Kp—比例系數(shù)：TI—積分時間常數(shù)；TD—微分時間常數(shù) 在控制系統(tǒng)設(shè)計和仿真中，也將傳遞函數(shù)寫成如下形式: （）簡單說來，PID 控制器各校正環(huán)節(jié)的作用如下：A、比例環(huán)節(jié)P：成比例地反映控制系統(tǒng)的偏差信號e(t),偏差一旦產(chǎn)生，控制器立即產(chǎn)生控制作用，以減少偏差。B、積分環(huán)節(jié)I：主要用于消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的型別。積分作用的強弱取決于積分時間常數(shù)Tl,其越大，積分作用越弱，反之則越強。C、微分環(huán)節(jié)D：反映偏差信號的變化趨勢（變化速率），并能在偏差信號值變得太大之前，在系統(tǒng)中引入一個有效的早期修正信號，從而加快系統(tǒng)的動作速度，減小調(diào)節(jié)時間。 PID參數(shù)的確定方法A：根軌跡法確定 PID 參數(shù) PID數(shù)學(xué)模型可化為：