【導(dǎo)讀】倒立擺系統(tǒng)是一個典型的多變量、非線性、強耦合和快速運動的高階不穩(wěn)定系統(tǒng)，它是檢驗各種新的控制理論和方法有效性的典型理想模型。在其控制過程中，能有效。地反映諸如鎮(zhèn)定性、魯棒性、隨動性以及跟蹤等許多關(guān)鍵問題。本文主要研究二級倒。態(tài)反饋控制矩陣。在幾次湊試Q矩陣值后系統(tǒng)的響應(yīng)結(jié)。果都不盡如人意，于是采用遺傳算法對Q矩陣優(yōu)化?；蟮南到y(tǒng)響應(yīng)能更加滿足設(shè)計要求。最后在實驗臺上進(jìn)行了試驗，驗證了matlab

　　

【正文】 等許多分支 [21,22]。越來越多的研究人員開始研究用遺傳算法及其改進(jìn)算法解決控制領(lǐng)域中的難題。在科技高速發(fā)展的今天，對大規(guī)模的、復(fù)雜的、不確定性的系統(tǒng)進(jìn)行有效控制的要求在不斷提高，如何準(zhǔn)確方便 地優(yōu)化各種控制方法中控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)己成 為迫切需要解決的問題。盡管遺傳算法經(jīng)過幾十年的理論及應(yīng)用研究已獲得了大 量的成果，但其理論基礎(chǔ)仍較薄弱，一些參數(shù)的選取還要依靠實驗經(jīng)驗的積累。因此，對遺傳算法本身及其解決控制問題的能力的深入研究具有重要的現(xiàn)實意義。 遺傳算法的基本理論 遺傳算法最早是由美國 Michigan大學(xué)的 John Holland和他的同事及學(xué)生提出的。它將“適者生存”的理論引入到搜索過程中，實現(xiàn)編碼串之間有組織但又隨機的 信息交換。其基本思想是模仿生物界中基因的復(fù)制、交叉和變異的行為，以獲 得離散搜索或者參數(shù)尋優(yōu)的結(jié)果。生物個體的所有信息都包含在基因中，種群經(jīng)過一代代的進(jìn)化，優(yōu)勝劣汰。不適應(yīng)環(huán)境的基因被淘汰，具有競爭力的個體則生存 下來并得以繁衍后代。如果把待定的參數(shù)與生物個體進(jìn)行對應(yīng)，就能比較容易地 理解遺傳算法的基本原理了。待定參數(shù)決定了系統(tǒng)的性能，參數(shù)尋優(yōu)的目的就是 要獲得使系統(tǒng)性能最佳的一組參數(shù)。把一組參數(shù)下系統(tǒng)的性能指標(biāo)函數(shù)看成是這組參數(shù)對環(huán)境的適應(yīng)能力，性能指標(biāo)好的個體具有強的生存能力并遺傳給后代， 指標(biāo)差的個體的生存能力較弱。這樣，經(jīng)過很多代的進(jìn)化，最后存活的個體必定 是最適應(yīng)環(huán)境的，其生 存能力最強。遺傳算法的主要特點是群體搜索策略和群體 中個體之間的信息交換，搜索不依賴梯度信息，基于 LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng) 24 也不需要求解函數(shù)可微，只需要該函數(shù)在約束條件下可解，因此該方法尤為適用于處理傳統(tǒng)方法難以解決的復(fù)雜 和非線性問題。 基本遺傳算法 基本遺傳算法 (Standard Geic Algorithms， 簡稱 SGA)是 Goldberg總結(jié)出的一 種最基本的遺傳算法，其工作流程和結(jié)構(gòu)形式是 Goldberg在天然氣管道控制優(yōu)化應(yīng)用中首先提出的。它只使用選擇算子、交叉算子和變異算子這三種基本的遺傳算子，其遺傳進(jìn)化操作簡單， 容易理解，是其它一些遺傳算法的雛形和基礎(chǔ)，也是研究各種遺傳算法性能和優(yōu)缺點的對象。在實際應(yīng)用中，可結(jié)合具體領(lǐng)域知識和問題特征對 SGA進(jìn)行改進(jìn)，增強 SGA的功能和解決問題的能力，以形成各式各樣 的具體的 GA。 遺傳算法的出發(fā)點是一個簡單的群體模型，該模型滿足以下假設(shè) [23]： (1)染色體由一固定長度的字符串組成，其中的每一位有有限數(shù)目的等位基因。 (2)群體由有限數(shù)目的基因型個體組成。 (3)每一個基因型個體有一相應(yīng)的適應(yīng)度，表示該個體的生存與復(fù)制能力。適應(yīng)度為大于零的實數(shù)，適應(yīng)度越大表示生存能力越強?；具z 傳算法的特點是采用輪盤賭選擇方法 (適應(yīng)度比例法 )，單點交叉，位點變異，群體中允許有相同的個體存在。遺傳算法的實現(xiàn)是一個迭代過程，它以編 碼空間代替問題空間，以適應(yīng)度函數(shù)為評價依據(jù)，以群體為進(jìn)化基礎(chǔ)，以對群體中個體的位串的遺傳操作實現(xiàn)選擇和遺傳機制，通過隨機重組位串中的重要基因，使群體不斷進(jìn)化，最終達(dá)到求解目的。 基本遺傳算法的局限性 基本遺傳算法采用二進(jìn)制編碼．二進(jìn)制編碼優(yōu)點很多，簡單、易于實現(xiàn)，符合最小字符集編碼原則，有較強的通用性，但它不反映所求問題的結(jié)構(gòu)特征，無法利用具體領(lǐng)域的特定知識，遺傳算子可 選擇的操作方式有限，精度也不太高。選擇采用輪盤賭方法，當(dāng)群體適應(yīng)度差異非常大時，最佳個體的生存機會顯著增高，較差個體的生存機會被剝奪，使最佳個體很快充滿整個群體。遺傳算法也較早地喪失了進(jìn)化能力。根據(jù)模式定理，即使基本 GAs搜索到最優(yōu)解，但在交叉和變異算子的作用下仍然可能在生成下一代群體的過程中丟失，當(dāng)前群體中最優(yōu)解被破壞的概率與群體規(guī)模和迭代次數(shù)成反比。文獻(xiàn) [24]證明了在交叉概率 Pc∈ (O， 1)，變異概率 Pm∈ (0， 1)，且采用輪盤賭方法的基本遺傳算法是不能收斂到全局最優(yōu)解的。另外，針對不同問題，僅采用單 點交叉和基本位變異的方法是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，其中交叉是遺傳算法生成新群體，沈陽航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 {論文 } 25 帶動群體進(jìn)化的主要方法，是遺傳算法的核心，變異是維持群體多樣性，突破局部極值的重要手段，兩算子的操作方式對整個 GA的影響捆當(dāng)大，應(yīng)根據(jù)具體問題選擇設(shè)計適當(dāng)?shù)牟僮鞣绞健?SGA采用固定的控制參數(shù)，在處理復(fù)雜問題時，很難同時兼顧搜索范圍廣和搜索速率快的矛盾，容易陷入局部極值或使搜索時間增長， Grefenstette[25]采用一組測試函數(shù)進(jìn)行了大量的實驗，試圖發(fā)現(xiàn)一組通用的或具有普適性的最佳參數(shù)，但結(jié)果表明。這樣的參數(shù)很難找到，因此，采用固定參數(shù) 的 GA有很多值得改進(jìn)的地方。 遺傳算法的求解步驟 、初始化 首先要把問題的解表示成為遺傳算法可以接受的格式，即 2 進(jìn)制或字符串的格式。接著產(chǎn)生初解群，即串或個體的集合。這個初始的群體也就是問題假設(shè)解的集合，也稱為初始群體。 通常以隨機方法產(chǎn)生初始群體。問題的最優(yōu)解將通過這些初始假設(shè)解進(jìn)化而求出。 這是從群體中選擇出較適應(yīng)環(huán)境的個體。這些選中的個體用于繁殖下一代。故有時也稱這一操作為再生 (Reproduction)。由于在選擇用于繁殖下一代的個體時，是根據(jù)個體對環(huán)境的適應(yīng)度而決定其繁殖量 的，故也稱為非均勻再生 (Differential Reproduction)。適應(yīng)度準(zhǔn)則體現(xiàn)了適者生存，不適應(yīng)者淘汰的自然法則。 給出目標(biāo)函數(shù) f，則 f(a)稱為個體 a 的適應(yīng)度。適應(yīng)度較高的個體，繁殖下一代的數(shù)目較多。適應(yīng)度較小的個體，繁殖下一代的數(shù)目較少，甚至被淘汰。這樣，就產(chǎn)生了對環(huán)境適應(yīng)能力較強的后代。對于問題求解角度來講，就是選擇出和最優(yōu)解較接近的中間解。 對于選中用于繁殖下一代的個體，隨機地選擇兩個個體的相同位置，在選中的位置實行交換。這個過程反映了隨機信息交換，目的在于產(chǎn)生新的基因組合， 也即產(chǎn)生新的個體。交叉時，可實行單點交叉或多點交叉。 例如有個體： S1=100101 S2=010111，選擇它們的左邊 3 位進(jìn)行單點交叉操作，則有 39。1S =010101 39。2S =100111 基于 LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng) 26 根據(jù)生物遺傳中基因變異的原理，對某些個體的某些位執(zhí)行變異。在變異時，對執(zhí)行變異的串的對應(yīng)位求反，即把 1 變?yōu)?0，把 0 變?yōu)?1。 例如有個體 ： S=101011，對其第 1， 4 位置的基因進(jìn)行變異，則有 39。S =001111。 單靠變異不能在求解中得到好處。但是，它能保證算法過程不會產(chǎn)生無法進(jìn)化的單一群體。因為所有個體都一樣時，交叉無法產(chǎn)生新的個體，這時只能靠變異產(chǎn)生新的個體。也就是說，變異增加了全局優(yōu)化的特質(zhì)。 當(dāng)最優(yōu)個體的適應(yīng)度達(dá)到給定的閥值，或者最優(yōu)個體的適應(yīng)度和群體適應(yīng)度不再上升時，則算法的迭代過程收斂、算法結(jié)束。否則，用經(jīng)過選擇、交叉、變異所得到的新一代群體取代上一代群體，并返回到第 2 步即選擇操作處繼續(xù)循環(huán) 執(zhí)行。 遺傳算法的求解流程如圖 所示： 遺傳算法的特點 遺傳算法具有以下幾個特點 ，而不是從單個解開始。這是遺傳算法與傳統(tǒng)優(yōu)化算法的極大區(qū)別。傳統(tǒng)優(yōu)化算法是從單個初始值開始迭代求最優(yōu)解的，容易誤入局部最優(yōu)解。遺傳算法從初始群體開始搜索，覆蓋面大，利于全局擇優(yōu)。 ，容易形成通用算法程序。由于遺傳算法使用適應(yīng)值這一信息進(jìn)行搜索，并不需要問題導(dǎo)數(shù)等與問題直接相關(guān)的信息。遺傳算法只需適應(yīng)度和串編碼等通用信息，故幾乎可處理任何問題 。 。遺傳算法的初始群體本身就帶有大量與最優(yōu)解甚遠(yuǎn)的信息。通過選擇、交叉、變異操作能迅速排除與最優(yōu)解相差極大的串，這是一個強烈的濾波過程，并且是一個并行濾波機制。故而，遺傳算法有很高的容錯能力。 、交叉和變異都是隨機操作，而不是確定的精確規(guī)則。這說明遺傳算法是采用隨機方法進(jìn)行最優(yōu)解搜索，選擇體現(xiàn)了向最優(yōu)解迫近，交叉體現(xiàn)了最優(yōu)解的產(chǎn)生，變異體現(xiàn)了全局最優(yōu)解的覆蓋。 沈陽航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 {論文 } 27 圖 遺傳算法的求解流程 遺傳算法的應(yīng)用關(guān)鍵 遺傳算法在應(yīng)用中最關(guān)鍵的問題有如下 3 個： 這本質(zhì)是問題編碼。一般把問題的各種參數(shù)用二進(jìn)制編碼，構(gòu)成子串，然后把子串拼接構(gòu)成“染色體”串。串長度及編碼形式對算法收斂影響極大。 適應(yīng)度函數(shù)也稱對象函數(shù)，這是題求解品質(zhì)的測量函數(shù)，往往也稱為問題的“環(huán)YES NO 生成初始群體 計算適應(yīng)度 選擇 交叉 變異 滿足終止條件？ 開始 結(jié)束 Gen=Gen+1 Gen=0 計算適應(yīng)度 基于 LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng) 28 境”。一般可以把問題的模型函數(shù)作為對象函數(shù)，但有時需要另行構(gòu)造。 遺傳算法自身參數(shù)有 3 個，即群體大小 M、交叉概率 Pc 和變異概率 Pm。群體大小 M 太 小時難以求出最優(yōu)解，太大則延長收斂時間，一般情況下專家建議n=20~200。交叉概率 Pc 和變異概率都取為 20。 遺傳算法優(yōu)化加權(quán)陣 采用遺傳算法優(yōu)化加權(quán)陣的具體步驟如下： 。將 Q 矩陣的對角線 6 個元素作為待尋優(yōu)參數(shù)，采用長度為 10 位的二進(jìn)制編碼串來分別表示這 6 個參數(shù)，然后將這些二進(jìn)制編碼串連接在一起，組成一個 610 位長的二進(jìn)制編碼串；取 R =5 ； 。解碼時需先將 810 位長的二進(jìn)制編碼串切斷為 6 個 10 位長的二進(jìn)制編碼串，然后分別將它們轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的 十進(jìn)制整數(shù)代碼； 。在 LQR最優(yōu)控制中取目標(biāo)函數(shù) J 為)(PtraceJ ? ，這里 P 為 0)()( ?????? QRKKBKAPPBKA TT 。選擇運算采用比例選擇算子，交叉運算采用單點交叉算子，變異運算采用基本位變異算子； 。設(shè)群體大小為 300，最大迭代次數(shù)為 1000，交叉概率選為 ，變異概率選為 并隨機產(chǎn)生初始群體； 。在本設(shè)計中將適應(yīng)度取為目標(biāo)函數(shù)值的倒數(shù)，即 1/fJ? ； ，即采用隨機采樣的方法選擇個體、通過交叉和變異產(chǎn)生新個體、再計算新個體的目標(biāo)函數(shù)值 JJ ； (即超過給定的最大代次 )，則結(jié)束算法；否則，重復(fù) 7。 通過上述算法就確定了使目標(biāo)函數(shù)值最小加權(quán)矩陣 Q 中的待優(yōu)化元素的值，從而確定反饋控制規(guī)律的向量 K 。 沈陽航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 {論文 } 29 5 二級倒立擺 LQR 控制設(shè)計及仿真 二級倒 立擺控制系統(tǒng)框圖 對二級倒立擺采用 LQR 控制設(shè)計，確定系統(tǒng)的 狀態(tài) 反饋，其 系統(tǒng) 的框圖 如圖 所示。 圖 二級倒立擺控制系統(tǒng)的框圖 輸出 y ，即小車的位移，一級、二級擺與豎直方向的夾角?？刂破髟O(shè)計時，系統(tǒng)輸入為單位階躍輸入。系統(tǒng)運行時，通過控制器的調(diào)節(jié)，小車可以達(dá)到指定位置，擺桿可以回到豎直位置。 用 LQR控制，其 關(guān)鍵問題是加權(quán)陣的選擇，本文針對加權(quán)陣的確定方式對二級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究。 任選加權(quán)陣的 LQR 最優(yōu)控制仿真 實現(xiàn)最優(yōu)控制的 具體程序參見附錄的最優(yōu)控制法 M 文件。 1. 當(dāng) 加權(quán)矩陣： Q=? ?0007 0 01 0 01 0 0 ， R= 時， 反饋矩陣： k=? ?7 7 8 1 3 7 3 3 4 3 9 2 2 ?? ， 仿真結(jié)果如圖 所示 ,實際曲線如圖 所示 。 2. 當(dāng) 加權(quán)矩陣： Q=? ?0002 0 01 0 01 0 0 ， R= 時， 反饋矩陣： k=? ?6 6 3 2 3 2 2 4 8 3 6 2 2 ??， K N x + u x Ax Buy Cx??? y 基于 LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng) 30 仿真結(jié)果如圖 所示 ,實際曲線如圖 所示 。 加權(quán)矩陣： Q=? ?0007 0 01 0 01 0 0 ， R=1 時， 反饋矩陣： k=? ? ??, 仿真結(jié)果如圖 所示 ，實際取下如圖 所示 。 圖 最優(yōu)控制第一組仿真 實際仿真圖 1 沈陽航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 {論文 } 31 圖 最優(yōu)控制第二組仿真圖 圖 實際仿真圖 2 基于 LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng) 32 圖 最優(yōu)控制第三組仿真圖 圖 實際仿真圖 3 通過三組仿真圖象的對比，當(dāng) R 不變而 Q 變大時，調(diào)整時間減少，超調(diào)量減小，擺桿的角度變化也減小，上升時間也同時減??；當(dāng) Q 不變而 R 增大時，倒立擺系統(tǒng)的調(diào)整時間 與超調(diào)量增大，上升時間也同時增大；顯然，當(dāng) Q 和 R 的變化與上述兩種情況相反時，結(jié)論恰好相反。 沈陽航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 {論文 } 33 用遺傳算法優(yōu)化 Q 陣的仿真結(jié)果 實現(xiàn)遺傳算法的具體程序參見附錄的遺傳算法 M文件。 優(yōu)化前 加權(quán)矩陣 ： Q=? ?0000700100100 , 遺傳算法優(yōu)化后 加權(quán)矩陣 ： Q=???????????????????? 反饋矩陣： K= [