【導(dǎo)讀】一階倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究在理論上和方法上具有深遠(yuǎn)的意義。的研究可以歸結(jié)為對(duì)非線性、多變量、不穩(wěn)定系統(tǒng)的研究。在應(yīng)用上，一階倒立。倒立擺的控制問(wèn)題，其中，內(nèi)環(huán)控制倒立擺的擺角，外環(huán)控制倒立擺的位置。件進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

　　

【正文】 nb 三 角 形 [9999 1 ] ns [1 0] z [ 0 ] ps [0 1] pb [ 1 9999] 輸出變量 u [0 1] nb 單 點(diǎn) 形 [] ns [] z [0] ps [] pb [] 模糊控制規(guī)則 模糊控制規(guī)則是模糊控制器的核心 ，它將操作者的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)加以總結(jié)，而得到的一條條模糊條件語(yǔ)句的集合。在一階倒立擺雙閉環(huán)模糊控制系統(tǒng)中，內(nèi)環(huán)和外環(huán)控制器的輸入量均為偏差及其對(duì)應(yīng)的偏差變化率，輸出為控制量。在這種情況下，可以借助經(jīng)驗(yàn)公式設(shè)計(jì)控制規(guī)則：將五個(gè)模糊子集 nb,ns,z,ps,pb 分別用數(shù)值 2， 1,0， 1， 2 代換，則結(jié)論的數(shù)字大約為兩個(gè)前件數(shù)值代數(shù)和的一半。依此經(jīng)驗(yàn)公式選定控制規(guī)則的初值，再經(jīng)實(shí)驗(yàn)調(diào)整，即可得到系統(tǒng)內(nèi)環(huán)和外環(huán)的模糊控制規(guī)則集，按照上述方法得到的一階倒立擺系統(tǒng)雙閉環(huán)模糊控制內(nèi)外環(huán)模糊控制器的具體規(guī)則如表 、表 。 本科畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 4 雙閉環(huán)模糊控制系統(tǒng)設(shè)計(jì) 24 表 內(nèi)環(huán)模糊控制規(guī)則 F ec1 nb ns z ps pb e1 nb nb ns nb ns z ns nb nb ns z ps z nb ns z ps pb ps ns z ps pb pb pb z ps pb pb pb 表 外環(huán)模糊控制規(guī)則 u ec2 nb ns z ps pb e2 nb nb ns nb ns z ns nb nb ns z ps z nb ns z ps pb ps ns z ps pb pb pb z ps pb pb pb 輸出向量的解模糊 通過(guò)模糊推理后所得到的是輸出變量的一個(gè)范圍上的隸屬度函數(shù)，它不能直接用于控制被控對(duì)象，因此需要先轉(zhuǎn)化成一個(gè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)可以執(zhí)行的精確量。此過(guò)程一般稱為解模糊過(guò)程，它可以看作模糊空間到清晰空間的一種映射。解模糊的目的是根據(jù)模糊推理的結(jié)果，求得最能反映控制量的真實(shí)分布。解模糊判決可以采用不同的方法，用不同的方法所得到的結(jié)果也是不同的。 ①重心法 重心法又稱加權(quán)平均法，就是取模糊隸屬度函數(shù)曲線與橫坐標(biāo)軸圍成的面積的重心作為代表點(diǎn)。理論上說(shuō)，應(yīng)該計(jì)算輸出 范圍內(nèi)一系列連續(xù)點(diǎn)的重心，但實(shí)際上我們是計(jì)算輸出范圍內(nèi)整個(gè)采樣點(diǎn)的重心，這樣在不花太多時(shí)間的情況下，用足夠小的取樣間隔來(lái)提供所需要的精度，該方法不僅充分利用了模糊子集提供的信息量，而且根據(jù)其隸屬度確定其提供信息的大小，因此該方法的應(yīng)用最為普遍。 ②最大隸屬度法 本科畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 4 雙閉環(huán)模糊控制系統(tǒng)設(shè)計(jì) 25 這種方法最簡(jiǎn)單，只要在推理結(jié)論的模糊集合中取隸屬度最大的那個(gè)元素作為輸出量即可。不過(guò)要求這種情況下其隸屬函數(shù)曲線一定是正規(guī)凸模糊集合。如果該曲線是梯形平頂?shù)?，那么具有最大隸屬度的元素就可以不止一個(gè)，這時(shí)就要對(duì)所有取最大隸屬度的元素求其平均值。 ③取中 位數(shù)判決法 充分利用輸出模糊集合所包含的信息，利用數(shù)學(xué)方法將描述輸出模糊集合的隸屬度函數(shù)曲線與橫坐標(biāo)圍成面積的均分點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的論域值作為判據(jù)結(jié)果。 由于在一階倒立擺雙閉環(huán)模糊控制系統(tǒng)中，內(nèi)環(huán)和外環(huán)模糊控制器的輸出量的隸屬函數(shù)均為單點(diǎn)集，所以這里采用重心法解模糊的單點(diǎn)公式作為解模糊算法。 根據(jù)重心法解模糊的單點(diǎn)計(jì)算公式可以方便的推導(dǎo)出控制系統(tǒng)內(nèi)環(huán)和外環(huán)解模糊的計(jì)算公式分別為： 內(nèi)環(huán)解模糊運(yùn)算公式 25 2511i i iiifF ????? ?? 外環(huán)解模糊運(yùn)算公式 25 2511i i iiisu ??????? 與最大隸屬度法相比較，重心法具有更平滑的輸出推理控制，即對(duì)于輸入信號(hào)的微小變化，其推理的最終輸出一般也會(huì)發(fā)生一定的變化，且這種變化明顯比最大隸屬度法要平滑。本文中 MATLAB 中的模糊邏輯工具箱采用的就是重心法。 建立模糊控制查詢表 ①模糊子集的查詢 由 ( ) ( 1 ~ 6)??e k x i 查 e 的隸屬函數(shù)表得 iA(x) ，由 ( ) ( 1 5 )? ? ?ec k y j 查 ec的隸屬函數(shù)表得 ()jBy，由 ( )( 1 5)??iA x i 和 ( )( 1 5)??jB y i 根據(jù)系統(tǒng)的模糊控制狀態(tài)表查出 ijC 的檔次，然后由 F 的隸屬函數(shù)表得 ()ijCz。 ②作直乘運(yùn)算求出 ( , )ijD x y ? ?( , ) ( ) ( ) ( ) / ,? ? ? ? ? ?ij i j i j i jD x y A x B y x y x x y y 1, 2 , , 1, 2 ,??i m j n 直乘運(yùn)算規(guī)則：按矩 陣直乘規(guī)則，對(duì)應(yīng)元素相乘時(shí)隸屬度取小。 ③求每條規(guī)則的模糊關(guān)系 ( , , )ijR x y z ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( )? ? ? ? ?ij i j ij ij ijR x y z A x B y C z D x y C z按直乘規(guī)則計(jì)算。 ④模糊控制規(guī)則的綜合 本科畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 4 雙閉環(huán)模糊控制系統(tǒng)設(shè)計(jì) 26 5 , 51 , 1 ( , , )????? ?ijij ij ijijR F R x y z 模糊關(guān)系求并方法：按矩陣加法規(guī)則，對(duì)應(yīng)元素相加時(shí)，隸屬度取大，將模糊關(guān)系作求并運(yùn)算，得到總的滿足 5x5=25 條規(guī)則的模糊關(guān)系 ijR 。 ⑤合成運(yùn)算（模糊決策） ? ?1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 12 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2121 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( )? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?n m mn m mij mm m m n n n m m nr r r x r x r x rr r r x r x r x rF z x x xr r r x r x r x r 其中： 。 1 , 2 , , 。 1 , 2 , ,? ? ? ?ij i jr x y i m j n。 合成運(yùn)算規(guī)則：先取小，后取大。經(jīng)過(guò)合成運(yùn)算求出的 ()ijFz，即為執(zhí)行量的模糊子集。 ⑥ 模糊判決，求控制量的量化值 *ijF max *?????ij ijFF ()ijFz經(jīng)過(guò)模糊判斷，采用最大隸屬度原則，求出 *ijF ，即為 2~2 之 間的量化值。通過(guò)以上可以求得內(nèi)環(huán)模糊控制查詢表如表 表 內(nèi)環(huán)模糊控制查詢表 F ec1 2 1 0 1 2 e1 2 4 3 3 0 0 1 4 3 3 0 0 0 3 3 0 0 0 +0 0 0 0 2 2 +1 0 0 2 2 4 +2 0 0 2 2 4 同理可以求出外環(huán)模糊控制查詢表如表 本科畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 4 雙閉環(huán)模糊控制系統(tǒng)設(shè)計(jì) 27 表 外環(huán)模糊控制查詢表 u ec2 2 1 0 1 2 e2 2 4 4 4 1 0 1 4 4 1 0 0 0 1 1 0 1 1 +0 1 1 0 1 1 +1 0 0 1 4 4 +2 3 3 4 4 4 本科畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 5 一階倒立擺系統(tǒng)仿真及其分析 28 5 一階倒立擺系統(tǒng)仿真及其分析 通過(guò)建立一階倒立擺的數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出一階倒立擺近似線性狀態(tài)方程并分析了一階倒立擺系統(tǒng)。詳細(xì)討論了模糊控制倒立擺的方法，給出了模糊控制器的設(shè)計(jì)方法，證明了利用模糊控制策略控制倒立擺的可行的，本章是利用 MATLAB 工具進(jìn)行一階倒立擺模糊控制系統(tǒng)的仿真研究。 MATLAB 及其模糊工具箱的介紹 MATLAB 模糊 邏輯工具箱是集科學(xué)計(jì)算、結(jié)果可視化和編程于一身，能夠方便地進(jìn)行科學(xué)計(jì)算和大量工程計(jì)算的數(shù)學(xué)軟件。目前，它已成為世界上應(yīng)用最為廣泛的工程計(jì)算軟件之一。 MATLAB 是美國(guó)的 Cleve Moler 博士在 1980 年研制開(kāi)發(fā)的矩陣分析軟件，對(duì)后來(lái)的控制系統(tǒng)的理論及計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)技術(shù)起到了巨大的推動(dòng)作用，值得指出的是該語(yǔ)言原本并不是專門為控制理論領(lǐng)域的學(xué)者使用的，其最初的目的是為線性代數(shù)等課程提供一種方便可行的實(shí)驗(yàn)手段，該軟件出現(xiàn)以后一直在美國(guó)的大學(xué)作為教學(xué)輔導(dǎo)軟件使用，該軟件的出現(xiàn)對(duì)控制界的影響是十分巨大的。 MATLAB于 1984年推出了正式版本。 1992 年初推出了應(yīng)用于 Windows 操作系統(tǒng)的 MATLAB 版本，1998 年推出 MATLAB 版本， 1999 年推出 MATLAB 版本， 2021 年為 MATLAB 版本，現(xiàn)在最新的版本為 MATLAB 。 MATLAB 的主要特點(diǎn) MATLAB 的基本單位為矩陣，其表達(dá)式與數(shù)學(xué)、工程計(jì)算中常用的形式類似。并且矩陣的行和列無(wú)需定義，可隨時(shí)添加和修改。 MATLAB 語(yǔ)言以解釋方式工作，對(duì)每條語(yǔ)句進(jìn)行解釋后即運(yùn)行，鍵入算式即得結(jié)果，無(wú)需編譯，對(duì)錯(cuò) 誤可立即作出反映，大大減少了編程和調(diào)試的工作；具有非常友好的人機(jī)界面。 MATLAB 語(yǔ)言規(guī)則與人們長(zhǎng)期以來(lái)使用的在演算紙上進(jìn)行演算的書(shū)寫(xiě)習(xí)慣十分相似，易學(xué)易讀適于交流；具有強(qiáng)大的作圖和數(shù)據(jù)可視化功能?？梢园褦?shù)據(jù)以多種形式加以表現(xiàn)，非常簡(jiǎn)單、直觀、方便，具有極強(qiáng)的可擴(kuò)展性。 MATLAB 軟件包括 MATLAB 主程序和許多日益增多的工具箱，工具箱實(shí)際就是用MATLAB 基本語(yǔ)句編寫(xiě)的各種子程序集，用于解決某一方面的專門問(wèn)題或?qū)崿F(xiàn)某一類的新算法， MATLAB 還提供了與其他應(yīng)用語(yǔ)言的接口，以實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的共享和傳遞。 本科畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 5 一階倒立擺系統(tǒng)仿真及其分析 29 MATLAB 的基本組成 MATLAB 主要由 MATLAB 主程序、 SIMULINK 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真和 MATLAB 工具箱三大部分組成。其中 MATLAB 主程序包括 MATLAB 語(yǔ)言、工作環(huán)境、句柄圖形、數(shù)學(xué)函數(shù)庫(kù)和應(yīng)用程序接口五個(gè)部分； SIMULINK 是用于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真的交互式系統(tǒng)，允許用戶在屏幕上繪制框圖來(lái)模擬一個(gè)系統(tǒng)，并能動(dòng)態(tài)地控制該系統(tǒng)，目前的SIMULINK 可以處理線性、非線性、連續(xù)、離散、多變量及多系統(tǒng)；工具箱實(shí)際就是用 MATLAB 的基本語(yǔ)句編寫(xiě)的各種子程序集和函數(shù)庫(kù)，用于解決某一方面的特定問(wèn)題或?qū)崿F(xiàn)某 一類的新算法，它是開(kāi)放性的，可以應(yīng)用也可以根據(jù)自己的需要進(jìn)行擴(kuò)展。 模糊邏輯工具箱中的圖形用戶界面 (GUI)提供了五個(gè)圖形化工具來(lái)創(chuàng)建模糊推理系統(tǒng)。這五個(gè)圖形化工具為 :模糊推理系統(tǒng)編輯器 (Fuzzy)、隸屬函數(shù)編輯器(Mfedit)、模糊規(guī)則編輯器 (Ruleedit)、模糊規(guī)則觀察器 (Ruleview)和模糊推理輸入輸出曲面視圖 (Surfview)。這五個(gè)圖形化工具相互動(dòng)態(tài)聯(lián)系，可同時(shí)用來(lái)創(chuàng)建模糊推理系統(tǒng)， Fuzzy Logic Controller 模塊為模糊控制器模塊是模糊控制的核心部分。其模糊推理系統(tǒng)編 輯器的圖形界面如圖 。 圖 模糊推理系統(tǒng)編輯器的圖形界面 本科畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 5 一階倒立擺系統(tǒng)仿真及其分析 30 一階倒立擺模糊控制系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn) 建立 Simulink 仿真模型 利用 Simulink 基本模塊庫(kù)和 Fuzzy Logic Toolbox 建立仿真模型。其中，包括倒立擺模型、內(nèi)外環(huán)模糊控制器、微分模塊、增益模塊、數(shù)據(jù)文本輸出模塊等。 利用 GUI 編輯 FIS 結(jié)構(gòu)文件，即設(shè)計(jì)模糊控制器 ①編輯名稱為 “ neihuan” 的一階倒立擺模糊控制系統(tǒng) FIS 增加一個(gè)輸入變量 1）將內(nèi)環(huán)模糊控制器輸入、輸出變量的名稱分別改為 e ec F。 在 MATLAB 主窗口中鍵入 fuzzy,回車；在彈出的界面上順序單擊菜單“ Edit” ， “ Add Variable” ， “ input” ， 得到二維 Mandani 型 FIS 編輯器界面，在此 FIS 編輯器界面原始界面上，做如下一些編輯： 在 FIS 編輯器界面上，單擊輸入量“ input1”?？?，使其邊框變紅變粗，再在“ Current Variable” 區(qū)中“ Name” 編輯框里，填入 e1，回車，是輸入變量得到新命名。單擊輸入變量“ input2”模塊，再在“ Current Variable”區(qū)中“ Name”編輯框里，填入 ec1,回車得到新命名。單擊輸出變量“ output”模框，使其邊框變紅變粗，再在“ Current Variable” 區(qū)中的“ Name” 編輯框里，填入 F，回車得到新的命名。 2）將這個(gè) FIS 文件命名為“ neihuan” 并予以存盤(pán)。得出如圖 所示的 FIS編輯器界面。 ②編輯覆蓋的