【正文】 ack, Therefore， this paper studies a control method of double inverted pendulum LQR. First of all, the mathematical model of the double inverted pendulum is established, then make a control design to double inverted pendulum on the mathematical model, and determine the system performance index weight matrix Q, R by using geic algorithm in order to attain the system state feedback control matrix. Finally, the simulation of the system is made by MATLAB. After several test matrix Q value the results are not satisfactory response, then we optimize Q matrix by using Geic Algorithm. Simulation results show: that the system response can meet the design requirements effectively after Geic Algorithm optimization. Key words： Double inverted pendulum。倒立擺系統(tǒng)作為一個實驗 裝置，形象直觀，結(jié)構(gòu)簡單，成本低廉；作為一個控制對象，他又相當(dāng)復(fù)雜，同時就其本身而言，是一個高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性、強耦合系統(tǒng)，只有采取行之有效的控制方法才能使之穩(wěn)定，因此倒立擺裝置被公認(rèn)為是自動控制理論中的典型實驗設(shè)備 [1]。后來在此基礎(chǔ)上，人們又進行拓展，產(chǎn)生了直線二級倒立擺、環(huán)型倒立擺、平面倒立擺、柔性連接倒立擺、多級倒立擺等實驗設(shè)備。 勻質(zhì)擺桿的底端可以在平面內(nèi)自由運動，并且擺桿可以沿平面內(nèi)的任一軸線轉(zhuǎn)動。 對于多級倒立擺系統(tǒng)，有兩種基本的形式：串聯(lián)倒立擺系統(tǒng)和并聯(lián)倒立擺系統(tǒng)。從科學(xué)的角度講，這就叫二級倒立擺。 國內(nèi)外研究情況 倒立擺裝置被公認(rèn)為自動控制理論中的典型試驗設(shè)備，也是控制理論教學(xué)和科研中不可多得的典型物理模型，當(dāng)前國內(nèi)外有很多學(xué)者研究控制算法時都在利用倒立擺進行仿真驗證，倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定效果非常明了，可以通過擺動角 度、位移和穩(wěn)定時間直接度量，控制好壞一目了然。Gutmann M， Shamash YA,Saberi A，提出的采用線性狀態(tài)反饋方法控制單級倒立 擺 [5]。 1983 年，國防科技大學(xué)完成了一級倒立擺系統(tǒng)的研制并于 1984 年實現(xiàn)微機控制。 1989 年，哈爾濱工業(yè)大學(xué)研究生胡正濤完成了二級倒立擺控制裝置，采用二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)器，用降維觀測器對系統(tǒng)狀態(tài)進行重構(gòu)，同時也用線性函數(shù)觀測器進行了實驗。王衛(wèi)華在1999 年，運用專家模糊控制 [12]，實現(xiàn)了單級倒立擺的動態(tài)控制。 (Geic Algorithms, GA)，高曉智 [17]在 Michine 的倒立擺控制 Boxes方案的基礎(chǔ)上，利用 GA 對每個 BOX 中的控制作用進行了尋優(yōu)，結(jié)果表明 GA 可以有效地解決倒立擺的平衡問題。 2 主要介紹了對倒立擺的建模 3 主要介紹了最優(yōu)二次算法， 4 闡述了遺傳算法及其應(yīng)用， 5 主要實現(xiàn) matlab 仿真 與實物演示的對比 且 進行了實物演示。 二級倒立擺的結(jié)構(gòu)和工作原理 如圖 ， 系統(tǒng)包括計算機、運動控制卡、伺服機構(gòu)、倒立擺本體（小車，上擺，下擺，皮帶輪等）和光電碼盤幾大部分，組成了一個閉環(huán)系統(tǒng)。 拉格朗日方程： ( , ) ( , ) ( , )L q q T q q V q q?? () 式中， L —— 拉格朗日算子， q —— 系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)， T —— 系統(tǒng)的動能， V —— 系統(tǒng)的勢能。 1 61312121 ??? ?? lmlmJT pm ????????? () 則 2121111112139。39。實際的倒立擺的非線性很重，同時一些參數(shù)（如轉(zhuǎn)動慣量 等）的數(shù)值并不一定準(zhǔn)確，另外一些參數(shù)（如摩擦力矩系數(shù)）也不準(zhǔn)確，對象的條件數(shù)較大，這些因素都使得二級倒立擺的實際控沈陽航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 {論文 } 19 制比較難以實現(xiàn)。由于加權(quán)矩陣 Q 是對稱半正定的，故只要誤差存在，該代價函數(shù)總為非負(fù)。 函數(shù)的第一項 ( ) ( )T ffe t Se t 是在終端時刻 ft 上對誤差要求設(shè)置的代價函數(shù)。二次型性能指標(biāo)與實際工程意義的品質(zhì)指標(biāo)間的聯(lián)系至今未完全建立。它模擬了生物界中的生命進化機制，并用在人工系統(tǒng)中實現(xiàn)特定目標(biāo)的優(yōu)化。在科技高速發(fā)展的今天，對大規(guī)模的、復(fù)雜的、不確定性的系統(tǒng)進行有效控制的要求在不斷提高，如何準(zhǔn)確方便 地優(yōu)化各種控制方法中控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)己成 為迫切需要解決的問題。如果把待定的參數(shù)與生物個體進行對應(yīng)，就能比較容易地 理解遺傳算法的基本原理了。 遺傳算法的出發(fā)點是一個簡單的群體模型，該模型滿足以下假設(shè) [23]： (1)染色體由一固定長度的字符串組成，其中的每一位有有限數(shù)目的等位基因。遺傳算法也較早地喪失了進化能力。這個初始的群體也就是問題假設(shè)解的集合，也稱為初始群體。 給出目標(biāo)函數(shù) f，則 f(a)稱為個體 a 的適應(yīng)度。 例如有個體： S1=100101 S2=010111，選擇它們的左邊 3 位進行單點交叉操作，則有 39。因為所有個體都一樣時，交叉無法產(chǎn)生新的個體，這時只能靠變異產(chǎn)生新的個體。 ，容易形成通用算法程序。這說明遺傳算法是采用隨機方法進行最優(yōu)解搜索，選擇體現(xiàn)了向最優(yōu)解迫近，交叉體現(xiàn)了最優(yōu)解的產(chǎn)生，變異體現(xiàn)了全局最優(yōu)解的覆蓋。交叉概率 Pc 和變異概率都取為 20。 通過上述算法就確定了使目標(biāo)函數(shù)值最小加權(quán)矩陣 Q 中的待優(yōu)化元素的值，從而確定反饋控制規(guī)律的向量 K 。 2. 當(dāng) 加權(quán)矩陣： Q=? ?0002 0 01 0 01 0 0 ， R= 時， 反饋矩陣： k=? ?6 6 3 2 3 2 2 4 8 3 6 2 2 ??， K N x + u x Ax Buy Cx??? y 基于 LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng) 30 仿真結(jié)果如圖 所示 ,實際曲線如圖 所示 。 圖 最優(yōu)控制第一組仿真 實際仿真圖 1 沈陽航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 {論文 } 31 圖 最優(yōu)控制第二組仿真圖 圖 實際仿真圖 2 基于 LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng) 32 圖 最優(yōu)控制第三組仿真圖 圖 實際仿真圖 3 通過三組仿真圖象的對比，當(dāng) R 不變而 Q 變大時，調(diào)整時間減少，超調(diào)量減小，擺桿的角度變化也減小，上升時間也同時減??；當(dāng) Q 不變而 R 增大時，倒立擺系統(tǒng)的調(diào)整時間 與超調(diào)量增大，上升時間也同時增大；顯然，當(dāng) Q 和 R 的變化與上述兩種情況相反時，結(jié)論恰好相反。 圖 二級倒立擺控制系統(tǒng)的框圖 輸出 y ，即小車的位移，一級、二級擺與豎直方向的夾角。將 Q 矩陣的對角線 6 個元素作為待尋優(yōu)參數(shù)，采用長度為 10 位的二進制編碼串來分別表示這 6 個參數(shù)，然后將這些二進制編碼串連接在一起，組成一個 610 位長的二進制編碼串；取 R =5 ； 。一般把問題的各種參數(shù)用二進制編碼，構(gòu)成子串，然后把子串拼接構(gòu)成“染色體”串。遺傳算法只需適應(yīng)度和串編碼等通用信息，故幾乎可處理任何問題 。 當(dāng)最優(yōu)個體的適應(yīng)度達到給定的閥值，或者最優(yōu)個體的適應(yīng)度和群體適應(yīng)度不再上升時，則算法的迭代過程收斂、算法結(jié)束。2S =100111 基于 LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng) 26 根據(jù)生物遺傳中基因變異的原理，對某些個體的某些位執(zhí)行變異。適應(yīng)度較小的個體，繁殖下一代的數(shù)目較少，甚至被淘汰。問題的最優(yōu)解將通過這些初始假設(shè)解進化而求出。文獻 [24]證明了在交叉概率 Pc∈ (O， 1)，變異概率 Pm∈ (0， 1)，且采用輪盤賭方法的基本遺傳算法是不能收斂到全局最優(yōu)解的。 (3)每一個基因型個體有一相應(yīng)的適應(yīng)度，表示該個體的生存與復(fù)制能力。把一組參數(shù)下系統(tǒng)的性能指標(biāo)函數(shù)看成是這組參數(shù)對環(huán)境的適應(yīng)能力，性能指標(biāo)好的個體具有強的生存能力并遺傳給后代， 指標(biāo)差的個體的生存能力較弱。因此，對遺傳算法本身及其解決控制問題的能力的深入研究具有重要的現(xiàn)實意義。傳統(tǒng)的優(yōu)化搜索算法往往要求所求的函數(shù)具有連續(xù)、可微的性質(zhì)， 有要求搜索空間及噪聲相對較小的限制。 一般來說，加權(quán)矩陣 Q和 R的選取是在立足提高控制性能與降低控制能量消耗的折衷上考慮的。 綜上所述，具有二次型指標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)控制問題，實際上在于用不大控制能量來實現(xiàn)較小的誤差，以在能量和誤差兩個方面實現(xiàn)綜合最優(yōu)。如誤差為標(biāo)量函數(shù) e(t)，則 ( ) ( )Te t Qe t 項變成 2()et。對于線性系統(tǒng)，若取狀態(tài)變量的二次型函數(shù)的積分做為系統(tǒng)的性能指標(biāo)，這種系統(tǒng)最優(yōu)化問題稱為線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最 優(yōu)控制問題，簡稱線性二次型 (LQR)問題。 39。 139。 推導(dǎo)建立數(shù)學(xué)模型 在推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型之前，我們需要幾點必要的假設(shè)： 、下擺及小車 均是剛體； ；傳動 皮 帶無伸長現(xiàn)象； ； ，且無滯后，忽略電機電樞繞組中的電感； ； ； 二級倒立擺的運動分析示意圖如圖 圖 二級 倒立擺運動分析示意圖 倒立擺系統(tǒng)參數(shù)如下： M= 小車系統(tǒng)的等效質(zhì)量 1? y x x F m1 m3 2? m2 M 基于 LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng) 12 1m = 擺桿 1 質(zhì)量 1l = 擺桿 1 轉(zhuǎn)動中心到桿質(zhì)心距離 m2= 擺桿 2 質(zhì)量 l2= 擺桿 2 轉(zhuǎn)動中心到桿質(zhì)心距離 3m = 質(zhì)量塊質(zhì)量 F：作用在系統(tǒng)上的外力 1? ：擺桿 1 與垂直向上方向的夾角 2? ：擺桿 2 與垂直向上方向的夾角 首先，計算系統(tǒng)的動能： 321 mmmM TTTTT ???? () MT 小車動能： 212MT Mx? () 1mT 擺桿 1 動能： 111 mmm TTT ????? () 式中， 39。計算機從運動控制卡中讀取實時數(shù)據(jù)，確定控制決策（小車向哪個方向移動、移動速度、加速度等），并由運動控制卡來實現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應(yīng)的控制量，使電機轉(zhuǎn)動，帶動小車運動，保持兩節(jié)擺桿的平衡。它是分析、設(shè)計、預(yù)報和控制一個系統(tǒng)的基礎(chǔ)，所 以要對一個系統(tǒng)進行研究，首先要建立它的數(shù)學(xué)模型。 ，主要 是以模糊集合論、模糊語言變量以及模糊邏輯推理為基礎(chǔ)的一種計算機數(shù)字控制。 而由此項理論產(chǎn)生的方法和技術(shù)將在半導(dǎo)體及精密儀器加工、機器人技術(shù)、導(dǎo)彈攔截控制系統(tǒng)、航空器對接控制技術(shù)等方面具有廣闊的開發(fā)利用前景。 1993 年， 北京航空航天大學(xué)自控系張明廉教授等人，利用 規(guī)約法 設(shè)計了一級倒立擺仿人控制器，并通過 PC286 等設(shè)備穩(wěn)定了一級倒立擺，具有良好的魯棒性。 1985 年，尹征琦等人采用降維觀測器的模擬控制器實現(xiàn)了對二級倒立擺的控制。1998 年， Kim Hu ，提出來軌道控制，實現(xiàn)了二級擺的穩(wěn)定控制 [6]。隨著現(xiàn)行理論系統(tǒng)的發(fā)展，使得對可觀測系統(tǒng)的狀態(tài)重構(gòu)系統(tǒng)成為可能。倒立擺系統(tǒng)包含倒立擺本體、電控箱及由運動控制卡和普通 PC機組成 的控制平臺等三大部分。而并聯(lián)倒立擺系統(tǒng)是指多個擺桿底端都連接在“小車”上，呈并聯(lián)形式連接。根據(jù)倒立擺擺桿底端運動平臺裝置不同，驅(qū)動的數(shù)目可能各不相同，但是至少需要兩個電機驅(qū)動。小車可以通過傳動裝置由力矩電機、步進電機、直流電機、或者交流伺服電機驅(qū)動。對倒立擺系統(tǒng)進行控制，其穩(wěn)定效果非常明了，可以通過角度、位移和穩(wěn)定時間直接度量，控制好壞一目了然。 Geic Algorithm. 沈陽航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 {論文 } III 目 錄 摘 要 ...................................................................................................................................... I 1 緒論 ................................................................................................................................... 1 引言 ......................................................................................