【正文】 1 ?????? ???? llllm 11121213111323 c os2c os221 ???? glmlmxlmxm ???? ???? ? ?22112113 c o sc o s2c o s2 ??? llgmglm ??? () 由于因?yàn)樵趶V義坐標(biāo) 21,?? 上 均無(wú)外力作用，有以下等式成立： 011?????????????? ?? LLdtd ? () 022?????????????? ?? LLdtd ? () 展開(kāi) ()、 ()式，分別得到 ()、 ()式 )c o s (2(3))(3(4)s i n (6 1222211321212222 ??????? ??????? ????? lmlmmmlm 0))c o ss i n))((2( 11321 ????? ?? xgmmm ?? () 22 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 23 sin 6 sin( ) 4 6 c os( ) 3 c os 0g l l l x? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? () 將 ()、 ()式對(duì) 21,?? ?? 求解代數(shù)方程，得到以下兩式 21221312111 s i n)c o s (3s i n4s i n4s i n2(3( ??????? ?????? gmgmgmgm?? 1122212221212112 c o s2)s i n (4)s i n ()c o s (6 ????????? xmlmlm ???? ?????? /))c o s)c o s (3c o s4c o s4 22121312 ????? ???? xmxmxm ?????? )))(c o s912124(2( 21223211 ?? ????? mmmml () )c os3)s i n(6s i n3())(3(94( 221211222132122 ?????? xlgllmmmm ????? ????????? /)))c oss i n))((2(3)s i n(6)(c os (32 11321212222212212 ??????? xgmmmlmllm ??? ??????? ))(c os4))(3(916(21222212222213212 ?? ????? llmllmmmm () 表示成以下形式： ),( 212111 xxxf ??????? ????? ? () 沈陽(yáng)航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) {論文 } 15 ),( 212122 xxxf ??????? ????? ? () 取平衡位置時(shí)各變量的初值為零， 1 2 1 2( , , , , , , ) ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) 0A x x x? ? ? ?? ? ? () 將 ()式在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并線性化，令 111 0 0AfK x ????? () 1 2 311 2 01 1 2 3 13 ( 2 4 4 )2 ( 4 3 1 2 )A g m g m g mfK m m m l? ? ? ? ????? ? ? ? () 121 3 02 1 2 3 192 ( 4 3 1 2 )Af m gK m m m l? ????? ? ? ? () 114 0 0AfK x ????? () 115 01 0AfK ? ????? () 116 02 0AfK ? ????? () 1 2 311 7 0 1 2 3 13 ( 2 4 )2 ( 4 3 1 2 )A m m mfK x m m m l? ? ? ????? ? ? ? () 得到線性化之后的公式 xKKK ???? 172131121 ??? ??? () 將 ),( 212122 xxxf ??????? ????? ? 在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并線性化，令 221 0 0AfK x ????? () 1 2 3222 01 2 2 1 2 3 22 ( 2( ) )164 ( 3 ( ) )9Ag m m mfKm l m m m l? ??????? ? ? ? () 1 2 3223 02 2 2 1 2 3 24 ( 3 ( ) )163 ( 4 ( 3 ( ) ) )9Ag m m mfKm l m m m l? ????? ? ?? ? ? ? () 224 0 0AfK x ????? () 基于 LQR的二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng) 16 225 01 0AfK ? ????? () 226 02 0AfK ? ????? () 1 2 3 1 2 3227 02 2 1 2 3 242( 2( ) ) ( 3 ( )3164 ( 3 ( ) )9Am m m m m mfK xm l m m m l?? ? ? ? ?????? ? ? () 得到 xKKK ???? 272231222 ??? ??? () 即 : xKKK ???? 172131121 ??? ??? () xKKK ???? 272231222 ??? ??? () 現(xiàn)在得到了兩個(gè)線性微分方程，由于我們采用加速度作為輸入，因此還需加上一個(gè)方程 : xu ??? () 取狀態(tài)變量如下： ?????????????????2615423121???????xxxxxxxx () 則 狀態(tài)空間方程如下： uKKxxxxxxKKKKxxxxxx??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????271765432123221312654321100000000000000000100000010000001000?????? () 將以下參數(shù)代入 M= 1m = 沈陽(yáng)航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) {論文 } 17 m2= 1l = l2= 3m = 求出各個(gè) K 值： k12 = k22 = k13 = k23 = k17 = k27 = 得到狀態(tài)方程各個(gè)參數(shù)矩陣： A=??????????????????????000000100000010000001000 B=????????????????????? 1000 C=??????????000100000010000001 D=??????????000 基于 LQR的二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng) 18 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)性能分析 能控性分析 對(duì) 于線形狀態(tài)方程 X AX BUY CX??? () 其能控性矩陣為： 23450 [ , , , , , ]T B A B A B A B A B A B? () 求 0T 的秩 0( ) 6rank T ? () 所以系統(tǒng)是完全能控的。 39。39。 2 2mT — — 擺 桿 繞 質(zhì) 心 轉(zhuǎn) 動(dòng) 動(dòng) 能 2239。 2 2mT — — 擺 桿 質(zhì) 心 平 動(dòng) 動(dòng) 能 39。 139。 1 61312121 ??? ?? lmlmJT pm ????????? () 則 2121111112139。 1 1 1 111( s i n ) ( c o s )12md x l d lTm d t d t?????? ? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ???2 2 21 1 1 1 1 1 1 111c o s22m x m l x m l? ? ??? () 21211212112139。39。 推導(dǎo)建立數(shù)學(xué)模型 在推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型之前，我們需要幾點(diǎn)必要的假設(shè)： 、下擺及小車(chē) 均是剛體； ；傳動(dòng) 皮 帶無(wú)伸長(zhǎng)現(xiàn)象； ； ，且無(wú)滯后，忽略電機(jī)電樞繞組中的電感； ； ； 二級(jí)倒立擺的運(yùn)動(dòng)分析示意圖如圖 圖 二級(jí) 倒立擺運(yùn)動(dòng)分析示意圖 倒立擺系統(tǒng)參數(shù)如下： M= 小車(chē)系統(tǒng)的等效質(zhì)量 1? y x x F m1 m3 2? m2 M 基于 LQR的二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng) 12 1m = 擺桿 1 質(zhì)量 1l = 擺桿 1 轉(zhuǎn)動(dòng)中心到桿質(zhì)心距離 m2= 擺桿 2 質(zhì)量 l2= 擺桿 2 轉(zhuǎn)動(dòng)中心到桿質(zhì)心距離 3m = 質(zhì)量塊質(zhì)量 F：作用在系統(tǒng)上的外力 1? ：擺桿 1 與垂直向上方向的夾角 2? ：擺桿 2 與垂直向上方向的夾角 首先，計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能： 321 mmmM TTTTT ???? () MT 小車(chē)動(dòng)能： 212MT Mx? () 1mT 擺桿 1 動(dòng)能： 111 mmm TTT ????? () 式中， 39。 拉格朗日方程： ( , ) ( , ) ( , )L q q T q q V q q?? () 式中， L —— 拉格朗日算子， q —— 系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)， T —— 系統(tǒng)的動(dòng)能， V —— 系統(tǒng)的勢(shì)能。對(duì)于任一系統(tǒng)可由 n 維空間中的一點(diǎn)來(lái)表征。 廣義坐標(biāo)： 系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)是描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)必需的一組獨(dú)立坐標(biāo)，廣義坐標(biāo)數(shù)等同于系統(tǒng)自由度數(shù)。計(jì)算機(jī)從運(yùn)動(dòng)控制卡中讀取實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，確定控制決策（小車(chē)向哪個(gè)方向移動(dòng)、移動(dòng)速度、加速度等），并由運(yùn)動(dòng)控制卡來(lái)實(shí)現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應(yīng)的控制量，使電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)小車(chē)運(yùn)動(dòng)，保持兩節(jié)擺桿的平衡。 二級(jí)倒立擺的結(jié)構(gòu)和工作原理 如圖 ， 系統(tǒng)包括計(jì)算機(jī)、運(yùn)動(dòng)控制卡、伺服機(jī)構(gòu)、倒立擺本體（小車(chē)，上擺，下擺，皮帶輪等）和光電碼盤(pán)幾大部分，組成了一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)。 方程是以能量觀點(diǎn) 建立起來(lái)的運(yùn)動(dòng)方程，為了列出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，只需要從兩個(gè)方面去分析，一個(gè)是表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)量－系統(tǒng)的動(dòng)能，另一個(gè)是表征主動(dòng)力作用的動(dòng)力學(xué)量－廣義力。 Lagrange 方程有如下特點(diǎn)： ，方程式的數(shù)目和系統(tǒng)的自由度是一致的。它是分析、設(shè)計(jì)、預(yù)報(bào)和控制一個(gè)系統(tǒng)的基礎(chǔ)，所 以要對(duì)一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行研究，首先要建立它的數(shù)學(xué)模型。 2 主要介紹了對(duì)倒立擺的建模 3 主要介紹了最優(yōu)二次算法， 4 闡述了遺傳算法及其應(yīng)用， 5 主要實(shí)現(xiàn) matlab 仿真 與實(shí)物演示的對(duì)比 且 進(jìn)行了實(shí)物演示。 基于 LQR的二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng) 8 ，比如模糊自適應(yīng)控制，分散魯棒自適應(yīng)控制，仿人智能控制等等； ，首先建立倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后為其設(shè)計(jì)出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，再利用改進(jìn)的遺傳算法訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制，采用 GA 學(xué)習(xí)的 NN 控制器兼有 NN 的廣泛映射能力和 GA 快速收斂以及增強(qiáng)式學(xué)習(xí)等性能。模糊控制適用于控制參量無(wú)精確的表示方法和被控對(duì)象參數(shù)之間無(wú)精確的相互關(guān)系的情況 。 ，主要 是以模糊集合論、模糊語(yǔ)言變量以及模糊邏輯推理為基礎(chǔ)的一