【正文】 它的基本原理，容易理解，易于人們掌握。我們大家都知道經(jīng)典控制理論對(duì)被控對(duì)象有著許多約束條件，而且在設(shè)計(jì)控制器時(shí)一般需要有關(guān)被控對(duì)象的較精確模型。 PID控制原理圖由圖 我們可以知道，整個(gè)系統(tǒng)可以簡(jiǎn)要概括為三要素：測(cè)量、比較、執(zhí)行。對(duì)于線性系統(tǒng)，若取狀態(tài)變量的二次型函數(shù)的積分做為系統(tǒng)的性能指標(biāo)，這種系統(tǒng)最優(yōu)化問題稱為線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題，簡(jiǎn)稱線性二次型(LQR)問題。 本章小結(jié)本章主要在狀態(tài)空間模型基礎(chǔ)上對(duì)倒立擺系統(tǒng)的能控性和能觀性以及穩(wěn)定性進(jìn)行定性分析，并用matlab計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證，證明分析正確性，為后面的仿真和實(shí)驗(yàn)控制打下理論基礎(chǔ)。Vo=obsv(A,C)。rank(cona)rank(cona2)得到的結(jié)果如下:ans =6ans =3或是通過 MATLAB 命令ctrb 和obsv 直接得到系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性。cona=[B A*B A^2*B A^3*B A^4*B A^5*B]。0 0 1 0 0 0]。C=[ 1 0 0 0 0 0。0 0 0 0 ]。 0 0 0 0 0 0。0 0 0 0 1 0。系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣A,B,C,D如下:利用 MATLAB 計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)可控性矩陣和輸出可控性矩陣的秩：clear。實(shí)際的倒立擺的非線性很重，同時(shí)一些參數(shù)（如轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等）的數(shù)值并不一定準(zhǔn)確，另外一些參數(shù)（如摩擦力矩系數(shù)）也不準(zhǔn)確，對(duì)象的條件數(shù)較大，這些因素都使得二級(jí)倒立擺的實(shí)際控制比較難以實(shí)現(xiàn)。可控性矩陣的條件數(shù)決定系統(tǒng)控制的難控程度，條件數(shù)越大，系統(tǒng)越難控制。 能控性能觀性分析對(duì)于線形狀態(tài)方程 ()其能控性矩陣為： ()求的秩 ()所以系統(tǒng)是完全能控的。因此，在建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型之后，利用一些仿真手段對(duì)被控對(duì)象的特性加以分析，是很有必要的。 推導(dǎo)建立數(shù)學(xué)模型在推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型之前，我們需要幾點(diǎn)必要的假設(shè)：、擺桿2及小車均是剛體；；傳動(dòng)皮帶無伸長(zhǎng)現(xiàn)象；；，且無滯后，不計(jì)電機(jī)電樞繞組中的電感；；；yxxFm1m3m2M 二級(jí)倒立擺運(yùn)動(dòng)分析示意圖倒立擺系統(tǒng)參數(shù)如下： 小車質(zhì)量 擺桿1質(zhì)量 擺桿2質(zhì)量 質(zhì)量塊質(zhì)量 擺桿1與垂直向上方向的夾角 擺桿2與垂直向上方向的夾角 擺桿1到轉(zhuǎn)動(dòng)中心質(zhì)心的距離 擺桿1到轉(zhuǎn)動(dòng)中心質(zhì)心的距離 作用在系統(tǒng)上的外力首先，計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能： ()小車動(dòng)能： ()擺桿1動(dòng)能： ()式中，——擺桿1質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能 ——擺桿1繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 () ()則 ()擺桿2動(dòng)能： ()式中，——擺桿2質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能 ——擺桿2繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 () () （） 質(zhì)量塊動(dòng)能： ()因此，可以得到系統(tǒng)動(dòng)能： ()系統(tǒng)的勢(shì)能為： ()至此得到拉格朗日算子： ()由于因?yàn)樵趶V義坐標(biāo)上均無外力作用，有以下等式成立： () ()展開()、()式，分別得到()、()式 () ()將()、()式對(duì)求解代數(shù)方程，得到以下兩式 () ()表示成以下形式： () ()取平衡位置時(shí)各變量的初值為零， ()將()式在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，并線性化，令 () () () () () () ()得到線性化之后的公式 ()將在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，并線性化，令 () () () () () () ()得到 ()即: () ()現(xiàn)在得到了兩個(gè)線性微分方程，由于我們采用加速度作為輸入，因此還需加上一個(gè)方程: ()取狀態(tài)變量如下： ()則狀態(tài)空間方程如下： ()將以下參數(shù)代入 求出各個(gè)值：得到狀態(tài)方程各個(gè)參數(shù)矩陣： 本章小結(jié)本章主要運(yùn)用拉格朗日方法對(duì)直線二級(jí)倒立擺進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,并對(duì)數(shù)學(xué)模型線性化，推導(dǎo)出它的狀態(tài)空間方程表達(dá)式，為后面的二級(jí)倒立擺控制策略的研究做好準(zhǔn)備。拉格朗日方程： ()式中， —— 拉格朗日算子， —— 系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)， —— 系統(tǒng)的動(dòng)能， —— 系統(tǒng)的勢(shì)能。對(duì)于任一系統(tǒng)可由n維空間中的一點(diǎn)來表征。廣義坐標(biāo)： 系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)是描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)必需的一組獨(dú)立坐標(biāo)，廣義坐標(biāo)數(shù)等同于系統(tǒng)自由度數(shù)。因此用Lagrange方程來求解系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以大大簡(jiǎn)化建模過程。，因此在建立運(yùn)動(dòng)方程式時(shí)，只需分析已知的主動(dòng)力，而不必分析未知的約束反力。建立倒立擺系統(tǒng)的模型時(shí)，一般采用牛頓運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)果要解算大量的微分方程組，而且考慮到質(zhì)點(diǎn)組受到的約束條件，建模問題將更加復(fù)雜，為此本文采用分析力學(xué)方法中的Lagrange方程推導(dǎo)倒立擺的系統(tǒng)模型。 直線二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)建模的方法所謂系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型就是利用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來反映系統(tǒng)內(nèi)部之間、內(nèi)部與外部某些因素之間的精確的定量的表示。機(jī)械部分包括底座，框架，滑軌，直流永磁式力矩電機(jī)，測(cè)速電機(jī)，電位器，齒型傳動(dòng)皮帶，小車，擺桿，觸發(fā)開關(guān)以及一些連接軸等。在三回路PD控制中主要對(duì)控制器的參數(shù)整定，通過極點(diǎn)配置來整定參數(shù)解決了人工整定的難點(diǎn)，對(duì)PID參數(shù)的整定有了簡(jiǎn)單有效的方法，對(duì)以后的研究起到了引導(dǎo)作用。計(jì)算機(jī)從運(yùn)動(dòng)控制卡中讀取實(shí)時(shí)數(shù)據(jù) ,確定控制決策 (小車向哪個(gè)方向移動(dòng)、 移動(dòng)的速度、 加速度等 ) ,并由運(yùn)動(dòng)控制卡來實(shí)現(xiàn)該控制決策 ,產(chǎn)生相應(yīng)的控制量 ,使電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng) ,帶動(dòng)小車運(yùn)動(dòng) ,保持?jǐn)[桿 1和擺桿 2的平衡. 本章小結(jié)倒立擺是一個(gè)驗(yàn)證理論的正確性及實(shí)際應(yīng)用中的可行性的典型對(duì)象。計(jì)算機(jī)運(yùn)動(dòng)控制卡伺服驅(qū)動(dòng)器伺服電機(jī)光電碼盤1光電碼盤2光電碼盤3擺桿1擺桿2二級(jí)倒立擺計(jì)算機(jī)控制示意圖如圖21； 計(jì)算機(jī)控制結(jié)構(gòu)示意圖圖 1由伺服電機(jī)自帶 ,可以通過該碼盤的反饋換算出小車的位移、 速度信號(hào) ,并反饋給伺服驅(qū)動(dòng)器和運(yùn)動(dòng)控制卡。在小車的運(yùn)動(dòng)導(dǎo)軌上有用于檢測(cè)小車位置的傳感器，小車位置的信號(hào)被傳送給控制系統(tǒng)，通過控制算法計(jì)算出控制量控制電機(jī)，從而控制小車的位置，使兩級(jí)擺桿垂直于水平面。通過控制交流伺服電機(jī)，帶動(dòng)皮帶轉(zhuǎn)動(dòng)，在皮帶的帶動(dòng)下小車可以在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)從而控制兩級(jí)擺桿的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 直線二級(jí)倒立擺的結(jié)構(gòu)和工作原理 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)直線二級(jí)倒立擺系統(tǒng)主要由以下幾部分組成。 3) 開環(huán)不穩(wěn)定性倒立擺的平衡狀態(tài)只有兩個(gè)，即在垂直向上的狀態(tài)和垂直向下的狀態(tài)，其中垂直向上為絕對(duì)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，垂直向下為穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。也可以利用非線性控制理論對(duì)其進(jìn)行控制。 倒立擺的特性 雖然倒立擺的形式和結(jié)構(gòu)各異，但所有的倒立擺都具有以下的特性:1) 耦合性倒立擺的各級(jí)擺桿之間，以及和運(yùn)動(dòng)模塊之間都有很強(qiáng)的耦合關(guān)系，在倒立擺的控制中一般都在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行解耦計(jì)算，忽略一些次要的耦合量。4) 復(fù)合倒立擺系列復(fù)合倒立擺為一類新型倒立擺，由運(yùn)動(dòng)本體和擺桿組件組成，其運(yùn)動(dòng)本體可以很方便的調(diào)整成三種模式，一是2)中所述的環(huán)形倒立擺，還可以把本體翻轉(zhuǎn)90 度，連桿豎直向下和豎直向上組成托擺和頂擺兩種形式的倒立擺。2) 環(huán)形倒立擺系列環(huán)形倒立擺是在圓周運(yùn)動(dòng)模塊上裝有擺體組件，圓周運(yùn)動(dòng)模塊有一個(gè)自由度，可以圍繞齒輪中心做圓周運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)手臂末端裝有擺體組件，根據(jù)擺體組件的級(jí)數(shù)和串連或并聯(lián)的方式，可以組成很多形式的倒立擺。第2章 倒立擺系統(tǒng)簡(jiǎn)介 本章簡(jiǎn)要介紹了倒立擺的分類、倒立擺系統(tǒng)的特性；簡(jiǎn)要分析了倒立擺系統(tǒng)建模的方法；利用Lagrange方程詳細(xì)的推導(dǎo)了直線二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型；根據(jù)倒立擺系統(tǒng)的特點(diǎn)，在平衡點(diǎn)附近得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程；并根據(jù)相關(guān)理論對(duì)倒立擺系統(tǒng)的特性進(jìn)行了分析。最后是結(jié)論。第5章 控制系統(tǒng)的MATLAB仿真。根據(jù)第二章模型的建立與初步分析考慮控制器的設(shè)計(jì)。介紹了直線二級(jí)倒立擺的物理結(jié)構(gòu)，在一定假設(shè)條件下，用拉格朗日方程，建立起二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的標(biāo)稱數(shù)學(xué)模型，并對(duì)其