【正文】 中的坐標。系統(tǒng)在n維空間中運動形成的若干系統(tǒng)點連成一條曲線，此曲線表示系統(tǒng)點的軌跡。拉格朗日方程由廣義坐標和表示為： ()式中，——系統(tǒng)沿該廣義坐標方向上的外力，在本系統(tǒng)中，設(shè)系統(tǒng)的三個廣義坐標分別是。 第4章 二級倒立擺系統(tǒng)控制策略的研究在研究控制方案之前，首先應該對被控對象的特性及本質(zhì)有充分的了解。 穩(wěn)定性分析二級倒立擺的特征方程為: ()MATLAB中，用函數(shù)eig(A)來計算系統(tǒng)矩陣的特征值，經(jīng)過計算，系統(tǒng)的特征值為： ()開環(huán)系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點位于平面右半平面上，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。其能觀性矩陣為： ()求的秩 ()所以系統(tǒng)是完全能觀的。可控性矩陣的條件數(shù)為： ()前面能控性和能觀性的判斷畢竟是針對線性化后的數(shù)學模型。對于倒立擺這一自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，在研究使其能夠穩(wěn)定的控制方案之前，首先要搞清楚倒立擺系統(tǒng)在自然條件下的運動特性是怎樣的？對于這個問題的解有助于我們更加深入了解倒立擺系統(tǒng)的本質(zhì)，進而設(shè)計出比較適合的控制方案。A=[ 0 0 0 1 0 0。0 0 0 0 0 1。0 0 0 0。B=[ 0 0 0 1 ]39。0 1 0 0 0 0。D=[0 0 0]’。cona2=[C C*A C*A^2 C*A^3 C*A^4 C*A^5]。Uc=ctrb(A,B)。rank(Uc)rank(Vo)運行得到結(jié)果:ans =6ans =6可以得到，系統(tǒng)狀態(tài)和輸出都可控，且系統(tǒng)具有可觀測性。第5章 倒立擺系統(tǒng)控制系統(tǒng)的設(shè)計與仿真 倒立擺 PID 控制方法設(shè)計PID 控制算法是控制領(lǐng)域中發(fā)展最早，生命力最強，應用最廣泛的控制算法 ，它簡單明了，易于掌握，時至今日，仍然在很多工業(yè)場合仍是首選的控制方法之一在PID控制算法中將輸出量與輸入量的差值通過比例（P）、積分（I）和微分（D）線性組合構(gòu)成系統(tǒng)的輸出量，輸出量能修正與控制被控對象的作用，故稱 PID 控制器，其原理圖如圖：最優(yōu)控制就是在一定條件下，在完成所要求的控制任務(wù)時，使系統(tǒng)規(guī)定的性能指標具有最優(yōu)值的一種控制。線性二次型控制理論已成為反饋系統(tǒng)設(shè)計的一種重要工具。測量關(guān)注的是輸出量，與輸入量比較，用這個偏差調(diào)節(jié)系統(tǒng)的響應。PID 控制器的關(guān)鍵在于 P、I、D 這三個參數(shù)的調(diào)整，對于參數(shù)的獲取一般可以根據(jù)過往經(jīng)驗，人們在不斷的摸索中總結(jié)了一些規(guī)律。(2)良好的適應性，PID 控制算法之所以被廣泛的使用，正是因為其強大的生命力。(3)系統(tǒng)的魯棒性強是 PID 算法的另外一個優(yōu)點。但是 PID 控制方法并不完美，它的使用有很大的局限性，正是因為這種局限性使其在控制非線性、時變、耦合及參數(shù)和結(jié)構(gòu)不確定的系統(tǒng)中，不能實現(xiàn)理想的效果。對于經(jīng)典 PID 算法中各個校正環(huán)節(jié)的作用具體如下所述：(1)比例環(huán)節(jié)：通過改變 P 可以增大或減小控制系統(tǒng)的偏差信號 e(t)，比例環(huán)節(jié)的控制效果取決于比例系數(shù)的取值，值越大，則系統(tǒng)的響應速度越塊。(2)積分環(huán)節(jié)：可以在一定程度上消除靜差，提高系統(tǒng)的無差度，使系統(tǒng)的靜態(tài)性能得到改善和提高。的取值要適度，當其較大時，積分作用很小，系統(tǒng)雖然不易產(chǎn)生震蕩，但隨之而來的問題是過渡時間較長；當較小時，積分作用較強，這時過渡時間較短，但是有可能產(chǎn)生震蕩。 而其作用的強弱由其時間常數(shù)的大小決定，越大則抑制偏差變化的作用越強，反之則越小。我們都知道，倒立擺系統(tǒng)是一個單輸入多輸出的系統(tǒng)，在整個系統(tǒng)中，小車位移與速度，一二級擺桿角度和角速度的關(guān)系是線性的，整個控制系統(tǒng)的輸出量為：小車位移、一級擺角、二級擺角。由于積分控制對倒立擺的控制不適合，因此本設(shè)計不考慮積分環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的影響，整個系統(tǒng)加入三路 PD 閉環(huán)控制。K 2代表一級擺角度,K 5代表一級擺角度度，K 3代表二級擺角度，K 6代表二級擺角速度。由上圖可以看出其控制結(jié)構(gòu)與狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)極其相似，因此采用狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的極點配置法來確定PD 控制器的六個數(shù)。 PID算法仿真圖由于配置系統(tǒng)的閉環(huán)極點都在S平面的左半部，因此我們知道系統(tǒng)一定穩(wěn)定。另外由圖可知系統(tǒng)超調(diào)量很大，可以適當增加微分系數(shù)。因為PID控制算法中的六個狀態(tài)量的系數(shù)是通過極點配置法計算得出的，分別調(diào)節(jié)各系數(shù)，觀測響應曲線。 二級倒立擺LQR控制設(shè)計及仿真 二級倒立擺控制系統(tǒng)框圖 對二級倒立擺采用LQR控制設(shè)計，確定系統(tǒng)的狀態(tài)反饋?？刂破髟O(shè)計時，系統(tǒng)輸入為單位階躍輸入。用LQR控制，其關(guān)鍵問題是加權(quán)陣的選擇，本文針對加權(quán)陣的確定方式對二級倒立擺系統(tǒng)進行仿真研究。1. 當加權(quán)矩陣：Q=diag[300,500,500,1,1,1]，R=1時，反饋矩陣K=[ ]極點：。3. 當加權(quán)矩陣：Q=diag[10,50,100,1,1,1]，R=1時，反饋矩陣：K =[ ]，極點： 。37結(jié)論和展望 倒立擺系統(tǒng)作為典型的非線性多變量、強耦合和快速運動的高階不穩(wěn)定統(tǒng)，是研究控制理論的理想實驗手段，尤其是二級倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，難度大、挑戰(zhàn)性更強。取得了一些成果和經(jīng)驗并得到了一些結(jié)論。(1) 直線二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型采用經(jīng)典力學進行建模分析，簡單易懂，但需要羅列和解算大量微分方程，同時還需考慮質(zhì)點組受到的約束條件，計算量大且復雜；而采用分析力學中的拉格朗日方程建模只需考慮系統(tǒng)的動能和廣義力兩個方面，計算簡單、工作量小，大大簡化建模過程。如進一步熟練了數(shù)學工具MATLAB及SIMULINK的運用，掌握了對仿真與實際控制系統(tǒng)的調(diào)試方法。 就本文所涉及的范圍來說，研究的內(nèi)容是有限的，只是對直線二級倒立擺系統(tǒng)控制方法進行了很小范圍的探索；由于沒有經(jīng)驗，在進行仿真實驗中也遇到了許多困難，對控制系統(tǒng)參數(shù)的作用沒有理解透徹，對系統(tǒng)穩(wěn)定性和快速性這對矛盾未能很好解決，最后在導師的指導下，對控制算法中的每個參數(shù)度進行了仔細的分析，逐步認識了其作用和對運動模態(tài)的影響，此外由于本人的能力以及時間有限，設(shè)計編寫設(shè)計論文還存在著一些問題和不足之處，懇請各位閱讀本論文的學者和專家批評指正，以便于使本次設(shè)計的內(nèi)容得到進一步的改善和提高。感謝他細心而又耐心的指導。 感謝我的父母，他們給了我無私的愛，我深知他們?yōu)槲仪髮W所付出的巨大犧牲和努力，而我至今仍無以為報。m1 = 。m3 = 。L2 = 。 K12 = 3*g*(2*m1 + 4*m2 + 4*m3)/(2*(4*m1 + 3*m2 + 12*m3)*L1) K22 = 2*g*(m1 + 2*(m2 + m3))/(4*m2*L2 (16/9)*(m1 + 3*(m2 + m3))*L2) K13 = 9*m2*g/(2*(4*m1 + 3*m2 +12*m3)*L1) K23 = 4*g*(m1 +3*(m2 + m3))/(3*(4*m2*L2(16/9)*(m1 + 3*m2 + m3)*L2)) K17 = 3*(2*m1 + m2 + 4*m3)/(2*(4*m1 + 3*m2 + 12*m3)*L1) K27 = (2*(m1 + 2*(m2 + m3)) (4/3)*(m1 + 3*(m2 + m3)))/(4*m2*L2 (16/9)*(m1 + 3*(m2 + m3)*L2)) A=[0 0 0 1 0 0。 0 0 0 0 0 1。 0 K12 K13 0 0 0。B=[0。0。K17。C=[1 0 0 0 0 0 。 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0。 0 0 0 0 0 1]。0。n=length(A)。 Vo = obsv(A,C)。if m==n disp(39。)。System state variables cannot be totally controlled.39。end s=rank(Vo)。System is observable.39。else disp(39。)。0 0 0 0 1 0。0 0 0 0 0 0。0 0 0 0]。C=[1,0,0,0,0,0。0,0,1,0,0,0]。R=1。q11=input(39。)。please input q22 \n q22=39。 q33=input(39。)。your Q matrix is39。 Q=[q11 0 0 0 0 0。 0 0 q33 0 0 0。 0 0 0 0 1 0。 R=1。your feedback matrix 39。 %pc=pole(sys2) %閉環(huán)系統(tǒng)極點 %pc=eig(AB*K) %disp(39。)。T=0::10。[Y,X]=lsim(Ac,B,C,D,U,T)。g.39。b:39。r39。grid。card39。pendulum139。pendulum239。